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【摘要】概念教学要指导学生亲历数学化的学习过程，一是指导学生根据已有的生活经验理解数学概念的本质；二是指导学生亲历数学知识形成过程，建构数学知识之间纵向联系的认知系统。
【关键词】概念教学；数学化；过程
数学概念的教学重点是要指导学生把握三个核心要素：“是什么”“如何是”以及“为何是”。《倍的认识》是三年级上册一节概念课，那么，“倍”这一数学概念本质是什么呢？是两种量进行比较，把一种量“看作一份”，另一种量“有这样的几份”，我们就说“一种量”是“另一种量”的几倍。对三年级学生而言，“倍”这个数学概念比较抽象。那么，“倍”这一抽象的数学概念应该如何进行教学呢？本人认为，关键是指导学生弄清关键的两个问题：一是学生学习“倍”这一数学概念“现实模型”是什么？也就是说，指导学生从哪里学习“倍”这一数学概念呢？学生在一年级的时候已有了这样的认知结构：用“一一对应”的方式“一个一个”地比较两种量的多少；二是“倍”这一数学概念的本质是什么？也就是说，要引导学生亲历寻找数学概念本质的过程。“倍”这一概念的本质是“比较”。教学时，基于学生的旧知：通过“一一对应”的方式“一个一个”地进行比较两种量的多少，学生用数学语言表达：一个数比另一个数多（或少）几。引导学生学习新知：通过“一一对应”的方式“一份一份”地进行比较两种量的多少，学生用数学语言表达：一个数是另一个数的几倍。这样，以“旧知”作为学习“新知”的支架，建立了新旧知识之间纵向联系的纽带，学生亲历数学知识的形成过程，自主建构“倍”这一概念的认知结构。
【学习过程】
一、创设情境，回顾旧知
师：（出示图片1）同学们，大家知道这是什么吗？
生：小兔子。
师：小兔子最喜欢吃什么？
生：萝卜。
师：请同学们再来看图（出示图2）你能比一比这两种萝卜的根数码？
生：胡萝卜有2根，红萝卜有6根，红萝卜比胡萝卜多4根。
师：（说得真流利，表扬！）你是怎样知道红萝卜比胡萝卜多4根的？
生：一根一根的比，大家都有2根，红萝卜多出4根，就是红萝卜比胡萝卜多4根。
师：我们之前所学的比较是一根一根比较，今天我们要学习一份一份地比较。（出示课题并板书：倍的认识）
二、直观体验，学习倍数
1.说一说，圈一圈，初步感知“倍”。
师：我们看胡萝卜有几根？
生：2根。
师：我们就把这2根看作一份，有几个2根？
生：一个2根。
师：那么红萝卜有几个2根？
生：三个2根。
师：说得真好！你是怎样知道的？
生：把2根2根圈起来，就有三个2根。
师：为什么要把2根2根圈起来？可以1根1根或3根3根圈起来吗？
生：不行，因为一份是2根。胡萝卜有一份，红萝卜有三份。
师：思考：红萝卜的根数是胡萝卜根数的几倍？
生：三倍。
师：（您真棒！说对了）小结：我们一份一份进行比较，是把胡萝卜作为标准，把它的根数看作一份，这一份就是一倍的数，红萝卜跟它比较有3份，所以说红萝卜根数是胡萝卜根数的3倍
2.变一变，建立“倍”的模型。
（1）标准量不变，改变比较量。
师：（出示圖片3）勤劳的兔子爸爸拔来了10根白萝卜，请看白萝卜是胡萝卜的几倍？
生：白萝卜是胡萝卜的5倍。
师：你是怎么比的？
生：我一份一份比较，因为胡萝卜有2根，白萝卜有10根，胡萝卜有1个2根，白萝卜有5个2根，白萝卜是胡萝卜的5倍。
师：如果胡萝卜的根数不变，你能举出更大倍数的例子吗？
生：如果白萝卜有20根，他就有10个2根，白萝卜根数是胡萝卜的10倍。
师：通过这些例子你有什么发现呢？
生：胡萝卜的根数不变，白萝卜有几个2根，白萝卜就是胡萝卜的几倍。
（2）比较量不变，改变标准量。
师：（出示图4）后来兔子妈妈又拿来了3根胡萝卜，请问白萝卜是胡萝卜的几倍？
生：胡萝卜原有2根，现在多了3根，一共5根，胡萝卜有一个5根，白萝卜有2个5根，所以白萝卜是胡萝卜的2倍。
三、拓展应用，加深对“倍”的理解。
1.摆一摆，创造“倍”。
出示图片5：学生数出24根小棒，根据要求摆小棒，教师巡视后学生汇报
（1）摆两行小棒，第二行摆的小棒必须是第一行小棒的倍数。
（2）摆好后，同桌互相交流，说出自己摆出的倍数。
教师巡视，派出代表汇报：
生1：第一行摆6根小棒，第二行摆3个6根，第二行摆的小棒是第一行的3倍。
生2：第一行摆8根小棒，第二行摆2个8根，第二行摆的小棒是第一行的2倍。
师：同学们创造的“倍”真多！今天我们学习“倍”的认识，实际上就是以前学过的“几个几”的基础上发展的，我们在解决这样的问题要弄清楚以下几点：
（1）以谁作为标准；（2）谁和谁比；（3）有几个几，就有几倍。
2.变一变，创造“倍”，灵活学生思维。
师：（出示小黑板），你发现有哪些数学信息？
生：红萝卜有6根，白萝卜有10根。
师：有办法使到白萝卜是红萝卜2倍或3倍这样的几倍关系吗？
生1：可以改变白萝卜的根数。
生2：还可以改变红萝卜的根数。
师：请同学们利用手上的学习单，4人小组合作交流，讨论一下应该怎样变，才能使红萝卜和白萝卜成为倍数关系？ 生1：我们小组是红萝卜不变，白萝卜添上2根，就有12根，红萝卜有1个6，白萝卜有2个6，所以白萝卜是红萝卜的2倍。
生2：我们小组是白萝卜不变，红萝卜拿走4根，剩下1个2，白萝卜有5个2，白萝卜是红萝卜的5倍。
师：（你们真聪明！想得真仔细）当白萝卜与红萝卜的根数相同时，白萝卜是红萝卜的1倍，有办法使它们成为1倍的关系吗？
生：白萝卜不变，红萝卜补上4根，这时白萝卜和红萝卜一样，大家都是一份，白萝卜是红萝卜的1倍。
师：同学们，你们的汇报很好，这些就是两种量之间的倍数关系，它们可以形成1倍数，2倍数，3倍数…这样几倍数的关系。
【我的思考】
一、基于学生生活经验，建立“倍”的概念数学模型
《数学课程标准2011版》指出：义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。即十分强调数学与现实生活的联系，要求数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的生活情境，让学生在数学活动中掌握基本的数学知识和技能。初步学会从数学的角度去观察事物，思考问题，增强应用数学的意识。教学时，我设计了学生喜欢的小动物——兔子情境切入。然后出示兔子喜欢吃的萝卜主题图，让学生从中寻找相关的数学信息。引导学生将思维引向两个数量之间的比较。让学生以原有认知结构，运用一一对应的方法进行比较，用语言描述就是：一种量比另一种量多多少（或一种量比例一种量少多少？）。进而我把2根胡萝卜圈成一份，把学生引入新知——“倍”的认识。基于三年级学生的年龄特点，这种设计可以更形象地使学生把原有模型“一一对应”数量关系认识扩展到对“倍”的关系的认识。
当揭示“倍”的课题后，让学生通过圈一圈，摆一摆、说一说、看书指导、教师重点谈话等多种形式来让学生理解一份、几个几和几倍之间的关系，初步建立“倍”的概念数学模型：两种量之间的比较，也可以运用“一一对应”的方法进行“一份一份”的比较，知道把一种量，看作“一份”，另一种比较量有这样的“几份”，我们就说谁是谁的“几倍”。
二、基于知识纵向联系，寻找“倍”的概念数学本质
1.标准量不变，改变比较量。使学生的注意力能集中在构建新知识的重点“倍”的认识，然后设计向导：可以把2根胡萝卜看作一份，就让学生从旧知“一个个”比较迁移到“一份份”比较。当学生明白了红萝卜与胡萝卜的倍数关系后，进行适时反问：“为什么要把胡萝卜2根2根圈起来，可以1根1根或3根3根圈起来吗？”通过反问，让学生明确比较的标准量是几就是把几看作一份，跟他相比的那个量也必须以标准量的“几”作为标准圈份数。让学生把知识从知其然转化到知其所以然。接着出示另一种白萝卜跟胡萝卜比较，让学生感知比较量数量的变化，倍数也会跟着变化。特别是让学生通过自己列举例子，感知有这样的几个几，就是几倍。既锻炼了学生的推理能力，抽象的力和概括能力，又拓宽了学生对“倍”的理解。
2. 改变标准量，加深学生对“倍”的本质认识。在前面的活动中，我设计了标准量不变，比较量的根数发生变化，倍数也跟着变化。在此基础上，再设计比较量不变，改变标准量，倍数也会跟着发生改变。通过这种比较学习，学生逐渐明白：当标准量一份数的具体数量发生变化时，即使比较的数量不变，倍数也会跟着改变。
在教学的过程中，设计一个个很简单的生活情境，使是问题带上情境色彩，让学生觉得学习更有情趣。而且，不同的知识点设计了不同变式的情景。一方面让学生感到数学就来源于生活，充满了“生活味”。另一方面让学生感悟到，进行“一份一份”比较的两个量，不管是作为标准量还是比较量，如果他们的数量发生变化时，它们之间的倍数也会跟着变化，可见在构建“倍”的模型所组织的学习活动：从实物到数量，从内容到形式，从感观到直观，在教师的指引下学生层层深入理解“倍”的概念和本质，使学生亲身经历了数学知识从“生活味‘到’數学味”的升华。
3. 多种形式练习，加深对“倍”的理解。学生已初步学会用数学的思维方式去观察，分析现实数学。为了让学生巩固和多角度感知“倍”的认识。设计摆一摆、变一变等多种形式的练习，加深学生对“倍”的理解。例如，让学生摆一摆——摆小棒，教师提出了更高层次的要求：让学生根据要求创造“倍”，具体第一行、第二行各摆几根，由学生决定，把出题的权利下放给学生，更体现了学生的主体性。又如在“变一变” 练习活动中，怎样使比较的两种数量成为倍数关系：红萝卜有6根，白萝卜有10根，6与10不是整数倍的关系。此时，学生就会寻求改变比较量或标准量的根数使他们之间成为倍数关系。此活动的设计是通过观察、分析，使学生从发散的思维过程中寻找出规律，进行抽象、建模，使学生的思维水平进入更高的一个层次。
【参考文献】
[1]吴正宪.小学数学教学基本概念解读.教育科学出版社，2014（09）.
[2]俞正强.一个数学特级教师的思与行.教育科学出版社，2013（05）.
【关键词】概念教学；数学化；过程
数学概念的教学重点是要指导学生把握三个核心要素：“是什么”“如何是”以及“为何是”。《倍的认识》是三年级上册一节概念课，那么，“倍”这一数学概念本质是什么呢？是两种量进行比较，把一种量“看作一份”，另一种量“有这样的几份”，我们就说“一种量”是“另一种量”的几倍。对三年级学生而言，“倍”这个数学概念比较抽象。那么，“倍”这一抽象的数学概念应该如何进行教学呢？本人认为，关键是指导学生弄清关键的两个问题：一是学生学习“倍”这一数学概念“现实模型”是什么？也就是说，指导学生从哪里学习“倍”这一数学概念呢？学生在一年级的时候已有了这样的认知结构：用“一一对应”的方式“一个一个”地比较两种量的多少；二是“倍”这一数学概念的本质是什么？也就是说，要引导学生亲历寻找数学概念本质的过程。“倍”这一概念的本质是“比较”。教学时，基于学生的旧知：通过“一一对应”的方式“一个一个”地进行比较两种量的多少，学生用数学语言表达：一个数比另一个数多（或少）几。引导学生学习新知：通过“一一对应”的方式“一份一份”地进行比较两种量的多少，学生用数学语言表达：一个数是另一个数的几倍。这样，以“旧知”作为学习“新知”的支架，建立了新旧知识之间纵向联系的纽带，学生亲历数学知识的形成过程，自主建构“倍”这一概念的认知结构。
【学习过程】
一、创设情境，回顾旧知
师：（出示图片1）同学们，大家知道这是什么吗？
生：小兔子。
师：小兔子最喜欢吃什么？
生：萝卜。
师：请同学们再来看图（出示图2）你能比一比这两种萝卜的根数码？
生：胡萝卜有2根，红萝卜有6根，红萝卜比胡萝卜多4根。
师：（说得真流利，表扬！）你是怎样知道红萝卜比胡萝卜多4根的？
生：一根一根的比，大家都有2根，红萝卜多出4根，就是红萝卜比胡萝卜多4根。
师：我们之前所学的比较是一根一根比较，今天我们要学习一份一份地比较。（出示课题并板书：倍的认识）
二、直观体验，学习倍数
1.说一说，圈一圈，初步感知“倍”。
师：我们看胡萝卜有几根？
生：2根。
师：我们就把这2根看作一份，有几个2根？
生：一个2根。
师：那么红萝卜有几个2根？
生：三个2根。
师：说得真好！你是怎样知道的？
生：把2根2根圈起来，就有三个2根。
师：为什么要把2根2根圈起来？可以1根1根或3根3根圈起来吗？
生：不行，因为一份是2根。胡萝卜有一份，红萝卜有三份。
师：思考：红萝卜的根数是胡萝卜根数的几倍？
生：三倍。
师：（您真棒！说对了）小结：我们一份一份进行比较，是把胡萝卜作为标准，把它的根数看作一份，这一份就是一倍的数，红萝卜跟它比较有3份，所以说红萝卜根数是胡萝卜根数的3倍
2.变一变，建立“倍”的模型。
（1）标准量不变，改变比较量。
师：（出示圖片3）勤劳的兔子爸爸拔来了10根白萝卜，请看白萝卜是胡萝卜的几倍？
生：白萝卜是胡萝卜的5倍。
师：你是怎么比的？
生：我一份一份比较，因为胡萝卜有2根，白萝卜有10根，胡萝卜有1个2根，白萝卜有5个2根，白萝卜是胡萝卜的5倍。
师：如果胡萝卜的根数不变，你能举出更大倍数的例子吗？
生：如果白萝卜有20根，他就有10个2根，白萝卜根数是胡萝卜的10倍。
师：通过这些例子你有什么发现呢？
生：胡萝卜的根数不变，白萝卜有几个2根，白萝卜就是胡萝卜的几倍。
（2）比较量不变，改变标准量。
师：（出示图4）后来兔子妈妈又拿来了3根胡萝卜，请问白萝卜是胡萝卜的几倍？
生：胡萝卜原有2根，现在多了3根，一共5根，胡萝卜有一个5根，白萝卜有2个5根，所以白萝卜是胡萝卜的2倍。
三、拓展应用，加深对“倍”的理解。
1.摆一摆，创造“倍”。
出示图片5：学生数出24根小棒，根据要求摆小棒，教师巡视后学生汇报
（1）摆两行小棒，第二行摆的小棒必须是第一行小棒的倍数。
（2）摆好后，同桌互相交流，说出自己摆出的倍数。
教师巡视，派出代表汇报：
生1：第一行摆6根小棒，第二行摆3个6根，第二行摆的小棒是第一行的3倍。
生2：第一行摆8根小棒，第二行摆2个8根，第二行摆的小棒是第一行的2倍。
师：同学们创造的“倍”真多！今天我们学习“倍”的认识，实际上就是以前学过的“几个几”的基础上发展的，我们在解决这样的问题要弄清楚以下几点：
（1）以谁作为标准；（2）谁和谁比；（3）有几个几，就有几倍。
2.变一变，创造“倍”，灵活学生思维。
师：（出示小黑板），你发现有哪些数学信息？
生：红萝卜有6根，白萝卜有10根。
师：有办法使到白萝卜是红萝卜2倍或3倍这样的几倍关系吗？
生1：可以改变白萝卜的根数。
生2：还可以改变红萝卜的根数。
师：请同学们利用手上的学习单，4人小组合作交流，讨论一下应该怎样变，才能使红萝卜和白萝卜成为倍数关系？ 生1：我们小组是红萝卜不变，白萝卜添上2根，就有12根，红萝卜有1个6，白萝卜有2个6，所以白萝卜是红萝卜的2倍。
生2：我们小组是白萝卜不变，红萝卜拿走4根，剩下1个2，白萝卜有5个2，白萝卜是红萝卜的5倍。
师：（你们真聪明！想得真仔细）当白萝卜与红萝卜的根数相同时，白萝卜是红萝卜的1倍，有办法使它们成为1倍的关系吗？
生：白萝卜不变，红萝卜补上4根，这时白萝卜和红萝卜一样，大家都是一份，白萝卜是红萝卜的1倍。
师：同学们，你们的汇报很好，这些就是两种量之间的倍数关系，它们可以形成1倍数，2倍数，3倍数…这样几倍数的关系。
【我的思考】
一、基于学生生活经验，建立“倍”的概念数学模型
《数学课程标准2011版》指出：义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。即十分强调数学与现实生活的联系，要求数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的生活情境，让学生在数学活动中掌握基本的数学知识和技能。初步学会从数学的角度去观察事物，思考问题，增强应用数学的意识。教学时，我设计了学生喜欢的小动物——兔子情境切入。然后出示兔子喜欢吃的萝卜主题图，让学生从中寻找相关的数学信息。引导学生将思维引向两个数量之间的比较。让学生以原有认知结构，运用一一对应的方法进行比较，用语言描述就是：一种量比另一种量多多少（或一种量比例一种量少多少？）。进而我把2根胡萝卜圈成一份，把学生引入新知——“倍”的认识。基于三年级学生的年龄特点，这种设计可以更形象地使学生把原有模型“一一对应”数量关系认识扩展到对“倍”的关系的认识。
当揭示“倍”的课题后，让学生通过圈一圈，摆一摆、说一说、看书指导、教师重点谈话等多种形式来让学生理解一份、几个几和几倍之间的关系，初步建立“倍”的概念数学模型：两种量之间的比较，也可以运用“一一对应”的方法进行“一份一份”的比较，知道把一种量，看作“一份”，另一种比较量有这样的“几份”，我们就说谁是谁的“几倍”。
二、基于知识纵向联系，寻找“倍”的概念数学本质
1.标准量不变，改变比较量。使学生的注意力能集中在构建新知识的重点“倍”的认识，然后设计向导：可以把2根胡萝卜看作一份，就让学生从旧知“一个个”比较迁移到“一份份”比较。当学生明白了红萝卜与胡萝卜的倍数关系后，进行适时反问：“为什么要把胡萝卜2根2根圈起来，可以1根1根或3根3根圈起来吗？”通过反问，让学生明确比较的标准量是几就是把几看作一份，跟他相比的那个量也必须以标准量的“几”作为标准圈份数。让学生把知识从知其然转化到知其所以然。接着出示另一种白萝卜跟胡萝卜比较，让学生感知比较量数量的变化，倍数也会跟着变化。特别是让学生通过自己列举例子，感知有这样的几个几，就是几倍。既锻炼了学生的推理能力，抽象的力和概括能力，又拓宽了学生对“倍”的理解。
2. 改变标准量，加深学生对“倍”的本质认识。在前面的活动中，我设计了标准量不变，比较量的根数发生变化，倍数也跟着变化。在此基础上，再设计比较量不变，改变标准量，倍数也会跟着发生改变。通过这种比较学习，学生逐渐明白：当标准量一份数的具体数量发生变化时，即使比较的数量不变，倍数也会跟着改变。
在教学的过程中，设计一个个很简单的生活情境，使是问题带上情境色彩，让学生觉得学习更有情趣。而且，不同的知识点设计了不同变式的情景。一方面让学生感到数学就来源于生活，充满了“生活味”。另一方面让学生感悟到，进行“一份一份”比较的两个量，不管是作为标准量还是比较量，如果他们的数量发生变化时，它们之间的倍数也会跟着变化，可见在构建“倍”的模型所组织的学习活动：从实物到数量，从内容到形式，从感观到直观，在教师的指引下学生层层深入理解“倍”的概念和本质，使学生亲身经历了数学知识从“生活味‘到’數学味”的升华。
3. 多种形式练习，加深对“倍”的理解。学生已初步学会用数学的思维方式去观察，分析现实数学。为了让学生巩固和多角度感知“倍”的认识。设计摆一摆、变一变等多种形式的练习，加深学生对“倍”的理解。例如，让学生摆一摆——摆小棒，教师提出了更高层次的要求：让学生根据要求创造“倍”，具体第一行、第二行各摆几根，由学生决定，把出题的权利下放给学生，更体现了学生的主体性。又如在“变一变” 练习活动中，怎样使比较的两种数量成为倍数关系：红萝卜有6根，白萝卜有10根，6与10不是整数倍的关系。此时，学生就会寻求改变比较量或标准量的根数使他们之间成为倍数关系。此活动的设计是通过观察、分析，使学生从发散的思维过程中寻找出规律，进行抽象、建模，使学生的思维水平进入更高的一个层次。
【参考文献】
[1]吴正宪.小学数学教学基本概念解读.教育科学出版社，2014（09）.
[2]俞正强.一个数学特级教师的思与行.教育科学出版社，2013（05）.