论文部分内容阅读
摘 要： 本节课采用提出问题、探索讨论、师生互动、生生点评、教师总结相结合的方式，在学生自主探索讨论过程中，教师循循善诱，学生拾级而上，围绕问题进行观察、思考、分析、讨论，从而概括、迁移、综合数学方法，推导出点到直线距离公式.
关键词： 点到直线距离公式 转化与化归 分类讨论 坐标法
新课程下的数学课堂教学中，教师应该以学生发展为主轴，所创设的情境是学生熟悉的，设计的问题是学生能解决的，采用的教学方式是学生易接受的，符合维果斯基所倡导的“最近发展区”理论.通过特殊的、典型的问题，以及学生共同体的自主探索活动，将已解决问题中所蕴含的数学思想方法迁移到更一般的待解决问题中，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.
“点到直线的距离”这一节内容是在学生学习直线方程及两点间的距离公式的基础上，为以后研究平行直线之间的距离，直线与圆的位置关系，乃至以后解析几何中的三角形面积问题埋下伏笔.新课程标准要求教学过程不仅要重视基础知识、技能教学，更要关注知识形成过程与方法的教学，也就是不仅知其然，更要知其所以然，因此这节课的内容不仅是公式的运用，还要在公式的推导中，让学生体会数学思想，锻炼思维品质，提升数学素养，感受数学方法的奥妙.
1.教学课题
人民教育出版社的普通高中课程标准实验教科书（必修）《数学2》，第三章第三节的第三小节“点到直线的距离”，共1个课时.
2.教学对象
宁波市鄞州区鄞州高级中学高二学生.
3.设计要点
本设计以问题“求点到直线的距离”为中心，运用启发式教学模式，采用提出问题—解决问题—启发迁移—解决问题—总结思想方法的设计模式，要求学生不断分析、探究问题，制定解决问题的策略.此外，教师给予适当数学支持，实现教学目标.
4.教学目标
4.1知识与技能目标
4.1.1掌握点到直线距离公式的若干推导方法，体会其中的数学思想方法；
4.1.2能运用点到直线距离公式求点到直线距离及与之相关的问题.
4.2过程与方法目标
4.2.1在对问题观察、思考、分析、讨论的过程中，让学生体会数学知识的产生、迁移、概括、发展和应用，进一步培养学生数学思维能力；
4.2.2渗透推导中的数学思想方法；
4.2.3通过对问题的思考、探究交流，培养学生良好的数学交流能力，以及形成数学知识的概括能力.
4.3情感态度与价值观目标
4.3.1体验获取数学知识的成功感受，激发学生自主学习和研究几何的积极性及对数学的情感；
4.3.2通过生生、师生之间的交流与配合，在问题的探究、讨论中，培养学生严谨的治学态度及良好的思维习惯；
4.3.3培养学生团队合作意识，个性品质，以及勇于探究的科学精神.
5.教学重点、难点
5.1教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用；
5.2教学难点：点到直线的距离公式的推导.
6.教学方法
研究式与启发式并用
7.教学过程
7.1小试牛刀——情感体验
一、点到特殊直线的距离问题
教师用电脑显示屏展示以下两个问题：
以上师生共同归纳完成，具体过程恕不赘述.
以学生熟悉的数学问题为情景，学生自主研究、探索，从而获得点到特殊直线距离公式的发生过程，可采用图像法，定性地归纳，让学生体验获得数学知识的信心与乐趣.
7.2借题引路——授生以渔
教师用电脑显示屏展示以下四个问题，同时要求学生以6人或6人以上为一组，集体探究、讨论.
二、点到一般直线的距离问题
（2）求点P到直线l的距离.
7.3合作交流——模型迁移
著名心理学家巴甫洛夫的理论认为：创造性思维活动称为原型启发，创造性思维通常是在某个原型的启发下形成的.例如伟大的数学家笛卡尔在梦见蜘蛛“表演”的启示下，创造了笛卡尔坐标系，由此可见，启发原型在数学的发现中有多么重要.
启发式教学就是在教师引导下，要以问题为载体，以培养学生的创新素质为中心，以学生的动手实践、自主探究、合作交流为主要学习方式，通过小组合作学习和组间交流竞争为主要途径，实现全体学生的主动性、社会性和创造性地和谐发展的教学活动方式，要体现教师为主导、学生为主体，思维训练为主线的教育理念.在巡视教室的同时，教师要给予学生适当的数学支持，保持课堂气氛活跃，使得生生、师生之间产生互动，激发学生学习兴趣，活跃课堂气氛，进一步发挥学生的主体意识和主观能动性，使学生从具体问题的分析过程中得到启发，从而更好地优化课堂教学，改善课堂教学效果.
7.4庖丁解牛——达成共识
7.5生生互评——对比总结
教师：通过这节课，我们进行了点到直线距离公式的推导，方法多种多样，实际上方法不止十种，由于时间关系，在这里仅仅是研究了其中的四種.那么我们再来品味一下，每种方法的本质，以及蕴含着的数学思想如何？
众生议论，每组又派出另外一名代表，针对推导的方法进行总结.
学生1：方法1是最常规的，虽然直接求射影运算比较繁琐，但是通过设而不求，整体代换，用一种凑的技巧来求解，使得运算简化很多.该方法的本质，是把点到直线的距离转化为点与点之间的距离，也就是直线外一点与该点在直线上射影之间的距离，体现转化与化归思想.
学生2：方法2是运算相对比较常规，通过作辅助线，构造直角三角形，运用等积法求点到直线的距离公式，其实也与方法1类似，体现数学中的转化思想.
学生3：方法3的特点是运用向量数量积的几何意义，将点到直线的距离转化为点与直线上的点所成的向量在直线法向量方向上投影的长度，也体现转化思想.
学生4：方法4的特点是根据已经成立的不等式，将两点间的距离公式凑成与之结构相应的不等式，构思非常巧妙，最后用函数思想求代数式的最小值，也是将几何中的最值问题化归为代数中的最值问题.
话音刚落，又有一位学生举手欲语，老师示意让其发言.
学生5：我觉得这四种方法还有内在联系，不仅体现在数学思想上的相同，还有这四个方法都是以坐标法为核心的，都需要借助于坐标求解或表示相关量.
7.6教师点评——课堂小结
教师：五位同学的点评比较到位，也把其中的数学思想方法讲得比较透彻.通过点到直线的距离公式的推导，我们用不同技巧方法，不同思维角度进行探究，四种方法可谓各有千秋，但是其中蕴含的思想方法却大同小异，借助于特殊问题的启发，运用转化与化归思想和坐标法思想来推导.此外，对于以上四种方法，其实方法1、2在细节上还要进行分类讨论，也就是直线方程l：Ax By C=0中的A=0，或B=0中有一个成立的时候，公式还是成立的，具体操作请同学们在课后完成.
7.7运用公式——体会价值
例1.（1）求点P（1，-3）到直线l：2x y-3=0的距离；
（2）求点P（1，-3）到直线l：2x y 1=0的距离.
例2.已知A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积.
设计这两个例题的目的是说明点到直线距离公式不仅适用于特殊直线、特殊点、一般直线，还可以应用到距离相关的三角形面积问题.具体过程不再赘述.
7.8课后作业（略）
参考文献：
[1]袁振国.当代教育学.
[2]黄希庭.心理学.
[3]冯斌，尚俊.等比数列前n项和的教学设计.上海中学数学，2006，5.
关键词： 点到直线距离公式 转化与化归 分类讨论 坐标法
新课程下的数学课堂教学中，教师应该以学生发展为主轴，所创设的情境是学生熟悉的，设计的问题是学生能解决的，采用的教学方式是学生易接受的，符合维果斯基所倡导的“最近发展区”理论.通过特殊的、典型的问题，以及学生共同体的自主探索活动，将已解决问题中所蕴含的数学思想方法迁移到更一般的待解决问题中，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.
“点到直线的距离”这一节内容是在学生学习直线方程及两点间的距离公式的基础上，为以后研究平行直线之间的距离，直线与圆的位置关系，乃至以后解析几何中的三角形面积问题埋下伏笔.新课程标准要求教学过程不仅要重视基础知识、技能教学，更要关注知识形成过程与方法的教学，也就是不仅知其然，更要知其所以然，因此这节课的内容不仅是公式的运用，还要在公式的推导中，让学生体会数学思想，锻炼思维品质，提升数学素养，感受数学方法的奥妙.
1.教学课题
人民教育出版社的普通高中课程标准实验教科书（必修）《数学2》，第三章第三节的第三小节“点到直线的距离”，共1个课时.
2.教学对象
宁波市鄞州区鄞州高级中学高二学生.
3.设计要点
本设计以问题“求点到直线的距离”为中心，运用启发式教学模式，采用提出问题—解决问题—启发迁移—解决问题—总结思想方法的设计模式，要求学生不断分析、探究问题，制定解决问题的策略.此外，教师给予适当数学支持，实现教学目标.
4.教学目标
4.1知识与技能目标
4.1.1掌握点到直线距离公式的若干推导方法，体会其中的数学思想方法；
4.1.2能运用点到直线距离公式求点到直线距离及与之相关的问题.
4.2过程与方法目标
4.2.1在对问题观察、思考、分析、讨论的过程中，让学生体会数学知识的产生、迁移、概括、发展和应用，进一步培养学生数学思维能力；
4.2.2渗透推导中的数学思想方法；
4.2.3通过对问题的思考、探究交流，培养学生良好的数学交流能力，以及形成数学知识的概括能力.
4.3情感态度与价值观目标
4.3.1体验获取数学知识的成功感受，激发学生自主学习和研究几何的积极性及对数学的情感；
4.3.2通过生生、师生之间的交流与配合，在问题的探究、讨论中，培养学生严谨的治学态度及良好的思维习惯；
4.3.3培养学生团队合作意识，个性品质，以及勇于探究的科学精神.
5.教学重点、难点
5.1教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用；
5.2教学难点：点到直线的距离公式的推导.
6.教学方法
研究式与启发式并用
7.教学过程
7.1小试牛刀——情感体验
一、点到特殊直线的距离问题
教师用电脑显示屏展示以下两个问题：
以上师生共同归纳完成，具体过程恕不赘述.
以学生熟悉的数学问题为情景，学生自主研究、探索，从而获得点到特殊直线距离公式的发生过程，可采用图像法，定性地归纳，让学生体验获得数学知识的信心与乐趣.
7.2借题引路——授生以渔
教师用电脑显示屏展示以下四个问题，同时要求学生以6人或6人以上为一组，集体探究、讨论.
二、点到一般直线的距离问题
（2）求点P到直线l的距离.
7.3合作交流——模型迁移
著名心理学家巴甫洛夫的理论认为：创造性思维活动称为原型启发，创造性思维通常是在某个原型的启发下形成的.例如伟大的数学家笛卡尔在梦见蜘蛛“表演”的启示下，创造了笛卡尔坐标系，由此可见，启发原型在数学的发现中有多么重要.
启发式教学就是在教师引导下，要以问题为载体，以培养学生的创新素质为中心，以学生的动手实践、自主探究、合作交流为主要学习方式，通过小组合作学习和组间交流竞争为主要途径，实现全体学生的主动性、社会性和创造性地和谐发展的教学活动方式，要体现教师为主导、学生为主体，思维训练为主线的教育理念.在巡视教室的同时，教师要给予学生适当的数学支持，保持课堂气氛活跃，使得生生、师生之间产生互动，激发学生学习兴趣，活跃课堂气氛，进一步发挥学生的主体意识和主观能动性，使学生从具体问题的分析过程中得到启发，从而更好地优化课堂教学，改善课堂教学效果.
7.4庖丁解牛——达成共识
7.5生生互评——对比总结
教师：通过这节课，我们进行了点到直线距离公式的推导，方法多种多样，实际上方法不止十种，由于时间关系，在这里仅仅是研究了其中的四種.那么我们再来品味一下，每种方法的本质，以及蕴含着的数学思想如何？
众生议论，每组又派出另外一名代表，针对推导的方法进行总结.
学生1：方法1是最常规的，虽然直接求射影运算比较繁琐，但是通过设而不求，整体代换，用一种凑的技巧来求解，使得运算简化很多.该方法的本质，是把点到直线的距离转化为点与点之间的距离，也就是直线外一点与该点在直线上射影之间的距离，体现转化与化归思想.
学生2：方法2是运算相对比较常规，通过作辅助线，构造直角三角形，运用等积法求点到直线的距离公式，其实也与方法1类似，体现数学中的转化思想.
学生3：方法3的特点是运用向量数量积的几何意义，将点到直线的距离转化为点与直线上的点所成的向量在直线法向量方向上投影的长度，也体现转化思想.
学生4：方法4的特点是根据已经成立的不等式，将两点间的距离公式凑成与之结构相应的不等式，构思非常巧妙，最后用函数思想求代数式的最小值，也是将几何中的最值问题化归为代数中的最值问题.
话音刚落，又有一位学生举手欲语，老师示意让其发言.
学生5：我觉得这四种方法还有内在联系，不仅体现在数学思想上的相同，还有这四个方法都是以坐标法为核心的，都需要借助于坐标求解或表示相关量.
7.6教师点评——课堂小结
教师：五位同学的点评比较到位，也把其中的数学思想方法讲得比较透彻.通过点到直线的距离公式的推导，我们用不同技巧方法，不同思维角度进行探究，四种方法可谓各有千秋，但是其中蕴含的思想方法却大同小异，借助于特殊问题的启发，运用转化与化归思想和坐标法思想来推导.此外，对于以上四种方法，其实方法1、2在细节上还要进行分类讨论，也就是直线方程l：Ax By C=0中的A=0，或B=0中有一个成立的时候，公式还是成立的，具体操作请同学们在课后完成.
7.7运用公式——体会价值
例1.（1）求点P（1，-3）到直线l：2x y-3=0的距离；
（2）求点P（1，-3）到直线l：2x y 1=0的距离.
例2.已知A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积.
设计这两个例题的目的是说明点到直线距离公式不仅适用于特殊直线、特殊点、一般直线，还可以应用到距离相关的三角形面积问题.具体过程不再赘述.
7.8课后作业（略）
参考文献：
[1]袁振国.当代教育学.
[2]黄希庭.心理学.
[3]冯斌，尚俊.等比数列前n项和的教学设计.上海中学数学，2006，5.