论文部分内容阅读
谁都知道方程在算术思维过渡到代数思维过程中的重要价值，但是真正要让学生熟练地运用方程来解决问题，这条路却很漫长。由于多年从事高年级数学教学的经历，我一直在关注与思考围绕这个主题产生的一些来自现实的问题。例如：
1、作为一种重要的解决问题的思维策略，方程真的在小学生眼里就如成人所认为的比算术思维方法高级吗?
2、学生即使高度认同代数思维方式的优越性(降低思考难度)，就代表学生一定会无折扣地使用这种方法吗?
3、从“算术”走向“代数”的转折点究竟如何把握?是完全回避算术思维方法还是两种思维方式此消彼长地长期共存?
思考，在实践中走向深刻
稍复杂分数应用题是整个苏教版教材(修订本)第11册的重点，而其中的稍复杂的分数除法应用题更加是其中的难点。本来小学生的数学思维发展水平到六年级已经处于算术思维与代数思维的转折点，尤其在稍复杂的分数除法应用题这个知识块更是这种转折过程中矛盾凸显的“事故多发地带”，由于数量关系的复杂化，带来学生不易判断单位“1”的数量与数量之间的关系，特别是遇到较小量作为单位“1”时，判断往往出错。加上分数乘法应用题中算术方法解题思维的负迁移，因此这块内容的教学是公认的老大难问题。
在我校进行的同课异构的校本教研活动中，数学组迎难而上，选择了“稍复杂分数除法应用题”的一课为切入点，推出了思路不同的课例，并且由此引发了笔者的深深思考与追问。在参与开课与研讨的过程中，笔者对于新课程改革的许多理念又有了更深的体验与理解，同时也产生了许多新的困惑留待今后研究解决……
1、创设情境，引出同题。
我的开场白以去扬州游玩需要准备什么开始，学生说出了不同建议，然后教师归纳为“钱”的问题。学生根据教师提供的两个素材(600元、1／3)编出了不同类型的问题，有分数乘法问题，当然也包括将要学习的分数除法问题。
2、引导学生自主解答，并且进行充分讨论。
学生出现了以下不同的思路：
生甲：我的算式是600÷(1-1／3)。
(教师现场调查：选择此方法并做对的学生有10人，均为优生)
生乙：我的算式是600÷(3-1)×3=900(元)，因为根据题目条件中的1／3可以看出，把刘老师带的钱看作3份。用去的是1份，剩下的就是2份，所以先求出每份多少钱，再乘以3，就是刘老师带的钱。
(生乙在班上属于“怪才”，常有奇思妙解。全班选择此方法的只有他1人，但是认同率很高)
教师继续介绍学生另外的两种错误思路：
A、600×(1-1／3)=400(元) B、600÷1／3=1800(元)
(现场调查，做错的人数约有全班人数的一半)
师：看了你们刚才的情况，老师既高兴又担忧。高兴的是有一批聪明的同学不用老师教就会解答稍复杂的分数除法应用题了，担忧的是这么多解答错误的同学怎么办?我们得帮他们寻找一种思考起来比较简单的方法呀。
生丙：老师，可以让他们列方程解答!
3、重点介绍列方程解答的步骤与格式要求。(略)
4、小结回顾。
师：刚才我们又学习了一种解题的新方法，你有什么感受?
生丁：比分数除法算式要容易些，就是书写麻烦。
生戊：和600÷(3-1)×3这种方法差不多。都很简便。
(教师现场调查：愿意选择列方程解答方法的同学约有全班人数的三分之一多一些，而做错题目的学生中有超过半数的人认同列方程解应用题，剩下的学生偏爱600÷(3-1)×3这种算术方法。)
5、布置课堂作业：
教师不作任何强制要求，学生自由选择自己最喜欢的方法，但鼓励学生一题多解。
课后作业调查显示数据如下(作业题共4题，难易适中，全班42人)：
①选用列方程解答的学生14人，13人对，1人有错。
②选择分数除法解答的15人，12人正确，3人有错。
③选择按比例分配和整数除法的12人，全部正确。
活动结束讨论时。听到的大多数是好评声。我并没有满足于其中，而是以继续审视着自己的教学，许多新的困惑依然萦绕于脑海之中。
困惑一：两种不同解题思维的平均安排，虽然暂时效果很好，但是否会阻碍学生代数思维的发展，进而影响后继学习?
困惑二：先尝试再教的模式真的适合于这类课吗?
困惑三：学生的代数思维发展是否存在明显的差异性呢?这对我们的数学又有什么影响?
归因与出路——到原点后的感悟
每一个教师都知道“教无定法”，我们特定的国度、特定的时代、特定的教材与师生群体决定了我们要以宽容、理性的心态来面对“算术思维”过渡到“代数思维”这一背景下在课例教学时所遭遇的尴尬。对此，我们可以从以下几个方面来思考。
一、深刻理解传统数学教学文化对于教师的影响
中国是一个典型的东方古国，自古以来数学这门学科一直被称为“算术”，传统的观念对小学数学教学影响深远，曾几何时，我们的教学对学生的算术思维训练可谓登峰造极，后来经过十多年的发展，教师的观念才有所转变，从单一的算术思维训练到两种思维方式并存，再到现在提倡的代数思维在大众数学教育中的重要性。这些都是积极的信号，但是冰冻三尺非一日之寒，许多观念还需要纠正与转变：
1、现在的应用题教学不能再停留在解题技巧的封闭操练与生搬硬套上，而应该站在解决问题的高度去实践，让学生以数学的视角发现提出数学问题，然后帮助学生形成基本的解决问题的方法与策略，让他们智慧地学习。这样，从算术思维方式过渡到代数思维方式就不是那么生硬了，遗憾的是，目前许多数学教师在教学列方程解答应用题时思路仍然停留在一种技巧性的演练，而没有挖掘其背后的数学背景——数量关系与数学建模的思想。
2、从算术思维方式过渡到代数思维方式绝对不能淡化数量关系的训练，数量关系训练无论在以前还是现在都是有效的思维训练的抓手与载体，许多常见的数量关系本身就是学生经常接触并且容易理解的。因此教师在教学中可以就同一个问题让学生从不同的数量关系来列出算式和方程。这样的训练实际上是一个数学建模的过程。
3、教师自身也要调整观念，不要随意流露出对于某种思维方式的喜好，因为教师的喜好不代表学生的选择，反而会干扰学生的思维方式选择。千万不可以过分强行推广代数思维方法，这样做实际上又走了一条片面化的极端之路，因为这种思维方式的过渡是一个漫长而又螺旋式的上升过程，加上在复杂多变的现实情境中，往往无法确定算术思维与代数思维孰比孰劣，我们只有尽最大可能去追求更适合和更恰当的方法。
课堂教学是为了大多数学生思维发展服务，而不是迎合少数优等生的学习。虽然算术方法有时十分简 洁，但是这并不能动摇我们引导孩子们的思维从算术走向代数，而这两者之间的冲突也许正好是课堂遭遇尴尬之所在。
二、勇于应对来自课堂教学中学生现实的挑战
华东师大的著名教育学者吴亚萍教授认为：教学要对于学生的思维发展产生真实的推进意义，其前提是不仅需要面对和承认学生的差异，而目还要关注和解读学生各自的状态，并且在此基础上提出不同的要求，以促进他们达到更高的水平。她的研究发现，大部分学生在教学一开始的状态大多只是具象的思考与应用一般方法甚至是低级方法的水平，正因为如此，需要我们的教学来引导这些学生学会应用高级的思维方法，提升他们的抽象思考水平。
以上论述精辟地指出了小学阶段从算术思维过渡到代数思维方式的重要性和基本原则，那就是要不断地提升，又不能一味地迎合学生的喜好，在螺旋上升的教学中让学生的代数思维发展达到结构化的思维水平。
让我们再回到现实课堂：我们不妨按学生的思维水平高低分布程度将课堂分为三类：A类：优、中学生占大多数，学困生极个别。B类：优、中、差各占三分之一。C类：优等生极少数，中、差生占大多数。也许我们很少关注这种分类。但它的确是在城乡各类学校普遍存在的。如果我们用下面的关系图来说明什么是最适合它们的最佳模式，也就从根本上理解课堂教学的民主化推进也是分阶段的。
不难想象，如果在C类班过早地放开让学生思考解答，而没有一种主导性的思维，学生会无所适从，而如果在A类班级采用一种思维强制渗透的话，也会导致学生的反感与不解。而处于B类水平的班级，则处于两者之间，既要考虑建立主导的解题思维模式，又要兼顾各种个性化的解题思路。
基于以上的感悟，我认为自己的那次教学尝试也许并不是成功的案例，因为我教的那个班思维水平介于A类与B类之间，表面的和谐并不能说明我把课堂上的收与放已经控制在一个恰当程度。
三、寻找中间地带——培养学生的准变量思维能力
国内的数学教育学者徐文彬提出了培养学生准变量思维能力的观点，可以有效地缓解从算术思维过渡到代数思维之间的割裂状态。那么，什么是准变量思维呢?准变量思维的对象主要是准变量(表达式)及其代数关系与结构的非符号陈述；准变量思维的核心是充分利用算术中所隐含的代数关系与结构，以对算术及其问题进行“代数地思考”。准变量既不是常量也不是变量，而是介于两者之间，即，它是数字语句中数字的关系和结构解释，或数字语句中数字的代数意义；而准变量思维则是介于算术思维和代数思维之间的一种数学思维形式，它是学生数学思维从算术思维发展到代数思维的桥梁和纽带。
那么如何培养学生的准变量思维的能力呢?
1、教师要习惯用自己的“代数眼睛和代数耳朵”，敏锐发掘可以培养学生准变量思维的素材。其实在小学低年级的一些加减法计算中就蕴涵了代数的变量思维素材，例如：
12 ( )=20 32-( )：8
总之我们在日常课堂教学中，应把培养学生的准变量思维贯穿于教学的各个环节或方面：在教学的准备工作中，要充分挖掘算术中的准变量素材(比如，等号的关系性质，算术任务及其表达式在其未完成的形式中也还保留着代数的韵味，等等)，做好教学设计；在课堂教学当中，要明确培养学生准变量思维的具体要求和目标，努力提高小学数学有效教学的层次与水平：在数学学习成绩评价方面，也应给予准变量思维以一定的“空间”，以确保准变量思维培养的落实；在课外辅导、各种竞赛训练和(数学)综合实践探索活动中，更要有意识地培养学生准变量思维，以提升他们对算术基础的理解，并孕伏对算术和代数之间关系的认识。所有这一切都非常有利于学生数学素质的培养与提高，也有助于教师自身数学素养的升华和教学水平的提升。
2、在开展准变量思维教学时，教师应有意识防止两种错误倾向：用准变量思维代替算术思维；用代数思维来取代准变量思维。这样，就会造成把算术思维与准变量思维对立起来，而用准变量思维代替算术思维的错误倾向。总体上来看，这种“对立与代替”不利于学生数学素质的培养与提高。因此，为防止这种错误倾向的出现，我们应该在小学数学教学中，把数的常量特性和准变量特性以及算术思维和准变量思维有机地结合起来，以培养与提高学生的数学素质。也就是说，虽然我们在小学数学教学中提倡培养学生的准变量思维，但这并不排斥数概念、数计算以及数计算程序等的获得。
最后还要强调：虽然我们在小学数学教学中提倡培养学生的准变量思维，但无意要把代数及其思维作为小学数学教学的内容和目标。小学生数学思维仍然是算术思维为主，处于算术思维向代数思维的过渡状态，这一点毋庸置疑。
1、作为一种重要的解决问题的思维策略，方程真的在小学生眼里就如成人所认为的比算术思维方法高级吗?
2、学生即使高度认同代数思维方式的优越性(降低思考难度)，就代表学生一定会无折扣地使用这种方法吗?
3、从“算术”走向“代数”的转折点究竟如何把握?是完全回避算术思维方法还是两种思维方式此消彼长地长期共存?
思考，在实践中走向深刻
稍复杂分数应用题是整个苏教版教材(修订本)第11册的重点，而其中的稍复杂的分数除法应用题更加是其中的难点。本来小学生的数学思维发展水平到六年级已经处于算术思维与代数思维的转折点，尤其在稍复杂的分数除法应用题这个知识块更是这种转折过程中矛盾凸显的“事故多发地带”，由于数量关系的复杂化，带来学生不易判断单位“1”的数量与数量之间的关系，特别是遇到较小量作为单位“1”时，判断往往出错。加上分数乘法应用题中算术方法解题思维的负迁移，因此这块内容的教学是公认的老大难问题。
在我校进行的同课异构的校本教研活动中，数学组迎难而上，选择了“稍复杂分数除法应用题”的一课为切入点，推出了思路不同的课例，并且由此引发了笔者的深深思考与追问。在参与开课与研讨的过程中，笔者对于新课程改革的许多理念又有了更深的体验与理解，同时也产生了许多新的困惑留待今后研究解决……
1、创设情境，引出同题。
我的开场白以去扬州游玩需要准备什么开始，学生说出了不同建议，然后教师归纳为“钱”的问题。学生根据教师提供的两个素材(600元、1／3)编出了不同类型的问题，有分数乘法问题，当然也包括将要学习的分数除法问题。
2、引导学生自主解答，并且进行充分讨论。
学生出现了以下不同的思路：
生甲：我的算式是600÷(1-1／3)。
(教师现场调查：选择此方法并做对的学生有10人，均为优生)
生乙：我的算式是600÷(3-1)×3=900(元)，因为根据题目条件中的1／3可以看出，把刘老师带的钱看作3份。用去的是1份，剩下的就是2份，所以先求出每份多少钱，再乘以3，就是刘老师带的钱。
(生乙在班上属于“怪才”，常有奇思妙解。全班选择此方法的只有他1人，但是认同率很高)
教师继续介绍学生另外的两种错误思路：
A、600×(1-1／3)=400(元) B、600÷1／3=1800(元)
(现场调查，做错的人数约有全班人数的一半)
师：看了你们刚才的情况，老师既高兴又担忧。高兴的是有一批聪明的同学不用老师教就会解答稍复杂的分数除法应用题了，担忧的是这么多解答错误的同学怎么办?我们得帮他们寻找一种思考起来比较简单的方法呀。
生丙：老师，可以让他们列方程解答!
3、重点介绍列方程解答的步骤与格式要求。(略)
4、小结回顾。
师：刚才我们又学习了一种解题的新方法，你有什么感受?
生丁：比分数除法算式要容易些，就是书写麻烦。
生戊：和600÷(3-1)×3这种方法差不多。都很简便。
(教师现场调查：愿意选择列方程解答方法的同学约有全班人数的三分之一多一些，而做错题目的学生中有超过半数的人认同列方程解应用题，剩下的学生偏爱600÷(3-1)×3这种算术方法。)
5、布置课堂作业：
教师不作任何强制要求，学生自由选择自己最喜欢的方法，但鼓励学生一题多解。
课后作业调查显示数据如下(作业题共4题，难易适中，全班42人)：
①选用列方程解答的学生14人，13人对，1人有错。
②选择分数除法解答的15人，12人正确，3人有错。
③选择按比例分配和整数除法的12人，全部正确。
活动结束讨论时。听到的大多数是好评声。我并没有满足于其中，而是以继续审视着自己的教学，许多新的困惑依然萦绕于脑海之中。
困惑一：两种不同解题思维的平均安排，虽然暂时效果很好，但是否会阻碍学生代数思维的发展，进而影响后继学习?
困惑二：先尝试再教的模式真的适合于这类课吗?
困惑三：学生的代数思维发展是否存在明显的差异性呢?这对我们的数学又有什么影响?
归因与出路——到原点后的感悟
每一个教师都知道“教无定法”，我们特定的国度、特定的时代、特定的教材与师生群体决定了我们要以宽容、理性的心态来面对“算术思维”过渡到“代数思维”这一背景下在课例教学时所遭遇的尴尬。对此，我们可以从以下几个方面来思考。
一、深刻理解传统数学教学文化对于教师的影响
中国是一个典型的东方古国，自古以来数学这门学科一直被称为“算术”，传统的观念对小学数学教学影响深远，曾几何时，我们的教学对学生的算术思维训练可谓登峰造极，后来经过十多年的发展，教师的观念才有所转变，从单一的算术思维训练到两种思维方式并存，再到现在提倡的代数思维在大众数学教育中的重要性。这些都是积极的信号，但是冰冻三尺非一日之寒，许多观念还需要纠正与转变：
1、现在的应用题教学不能再停留在解题技巧的封闭操练与生搬硬套上，而应该站在解决问题的高度去实践，让学生以数学的视角发现提出数学问题，然后帮助学生形成基本的解决问题的方法与策略，让他们智慧地学习。这样，从算术思维方式过渡到代数思维方式就不是那么生硬了，遗憾的是，目前许多数学教师在教学列方程解答应用题时思路仍然停留在一种技巧性的演练，而没有挖掘其背后的数学背景——数量关系与数学建模的思想。
2、从算术思维方式过渡到代数思维方式绝对不能淡化数量关系的训练，数量关系训练无论在以前还是现在都是有效的思维训练的抓手与载体，许多常见的数量关系本身就是学生经常接触并且容易理解的。因此教师在教学中可以就同一个问题让学生从不同的数量关系来列出算式和方程。这样的训练实际上是一个数学建模的过程。
3、教师自身也要调整观念，不要随意流露出对于某种思维方式的喜好，因为教师的喜好不代表学生的选择，反而会干扰学生的思维方式选择。千万不可以过分强行推广代数思维方法，这样做实际上又走了一条片面化的极端之路，因为这种思维方式的过渡是一个漫长而又螺旋式的上升过程，加上在复杂多变的现实情境中，往往无法确定算术思维与代数思维孰比孰劣，我们只有尽最大可能去追求更适合和更恰当的方法。
课堂教学是为了大多数学生思维发展服务，而不是迎合少数优等生的学习。虽然算术方法有时十分简 洁，但是这并不能动摇我们引导孩子们的思维从算术走向代数，而这两者之间的冲突也许正好是课堂遭遇尴尬之所在。
二、勇于应对来自课堂教学中学生现实的挑战
华东师大的著名教育学者吴亚萍教授认为：教学要对于学生的思维发展产生真实的推进意义，其前提是不仅需要面对和承认学生的差异，而目还要关注和解读学生各自的状态，并且在此基础上提出不同的要求，以促进他们达到更高的水平。她的研究发现，大部分学生在教学一开始的状态大多只是具象的思考与应用一般方法甚至是低级方法的水平，正因为如此，需要我们的教学来引导这些学生学会应用高级的思维方法，提升他们的抽象思考水平。
以上论述精辟地指出了小学阶段从算术思维过渡到代数思维方式的重要性和基本原则，那就是要不断地提升，又不能一味地迎合学生的喜好，在螺旋上升的教学中让学生的代数思维发展达到结构化的思维水平。
让我们再回到现实课堂：我们不妨按学生的思维水平高低分布程度将课堂分为三类：A类：优、中学生占大多数，学困生极个别。B类：优、中、差各占三分之一。C类：优等生极少数，中、差生占大多数。也许我们很少关注这种分类。但它的确是在城乡各类学校普遍存在的。如果我们用下面的关系图来说明什么是最适合它们的最佳模式，也就从根本上理解课堂教学的民主化推进也是分阶段的。
不难想象，如果在C类班过早地放开让学生思考解答，而没有一种主导性的思维，学生会无所适从，而如果在A类班级采用一种思维强制渗透的话，也会导致学生的反感与不解。而处于B类水平的班级，则处于两者之间，既要考虑建立主导的解题思维模式，又要兼顾各种个性化的解题思路。
基于以上的感悟，我认为自己的那次教学尝试也许并不是成功的案例，因为我教的那个班思维水平介于A类与B类之间，表面的和谐并不能说明我把课堂上的收与放已经控制在一个恰当程度。
三、寻找中间地带——培养学生的准变量思维能力
国内的数学教育学者徐文彬提出了培养学生准变量思维能力的观点，可以有效地缓解从算术思维过渡到代数思维之间的割裂状态。那么，什么是准变量思维呢?准变量思维的对象主要是准变量(表达式)及其代数关系与结构的非符号陈述；准变量思维的核心是充分利用算术中所隐含的代数关系与结构，以对算术及其问题进行“代数地思考”。准变量既不是常量也不是变量，而是介于两者之间，即，它是数字语句中数字的关系和结构解释，或数字语句中数字的代数意义；而准变量思维则是介于算术思维和代数思维之间的一种数学思维形式，它是学生数学思维从算术思维发展到代数思维的桥梁和纽带。
那么如何培养学生的准变量思维的能力呢?
1、教师要习惯用自己的“代数眼睛和代数耳朵”，敏锐发掘可以培养学生准变量思维的素材。其实在小学低年级的一些加减法计算中就蕴涵了代数的变量思维素材，例如：
12 ( )=20 32-( )：8
总之我们在日常课堂教学中，应把培养学生的准变量思维贯穿于教学的各个环节或方面：在教学的准备工作中，要充分挖掘算术中的准变量素材(比如，等号的关系性质，算术任务及其表达式在其未完成的形式中也还保留着代数的韵味，等等)，做好教学设计；在课堂教学当中，要明确培养学生准变量思维的具体要求和目标，努力提高小学数学有效教学的层次与水平：在数学学习成绩评价方面，也应给予准变量思维以一定的“空间”，以确保准变量思维培养的落实；在课外辅导、各种竞赛训练和(数学)综合实践探索活动中，更要有意识地培养学生准变量思维，以提升他们对算术基础的理解，并孕伏对算术和代数之间关系的认识。所有这一切都非常有利于学生数学素质的培养与提高，也有助于教师自身数学素养的升华和教学水平的提升。
2、在开展准变量思维教学时，教师应有意识防止两种错误倾向：用准变量思维代替算术思维；用代数思维来取代准变量思维。这样，就会造成把算术思维与准变量思维对立起来，而用准变量思维代替算术思维的错误倾向。总体上来看，这种“对立与代替”不利于学生数学素质的培养与提高。因此，为防止这种错误倾向的出现，我们应该在小学数学教学中，把数的常量特性和准变量特性以及算术思维和准变量思维有机地结合起来，以培养与提高学生的数学素质。也就是说，虽然我们在小学数学教学中提倡培养学生的准变量思维，但这并不排斥数概念、数计算以及数计算程序等的获得。
最后还要强调：虽然我们在小学数学教学中提倡培养学生的准变量思维，但无意要把代数及其思维作为小学数学教学的内容和目标。小学生数学思维仍然是算术思维为主，处于算术思维向代数思维的过渡状态，这一点毋庸置疑。