有些数学问题,看起来无从下手,但是,如果把这些问题与线段“染色”的方法结合起来,有时会收到事半功倍的效果. 请看下面的例题．
　　 例1 (1947年匈牙利数学奥林匹克竞赛试题)世界上任意六个人中,一定有三个人或者互相认识或者互相都不认识.
　　 分析 拿到这个题目后,一时会感到无从下手,但是,如果我们把每个人设想为一个点,并假设这6个点不共线的,把这6个点两两相连,得到15条线段. 用红色和蓝色染这些线段,若两人认识,就把相应的线段染成红色；若两人不认识,就把相应的线段染成蓝色.只要存在红色三角形,就说明至少有三个人互相认识；只要存在蓝色三角形,就说明至少有三个人互相不认识. 这样一来,就把原问题转化为是否存在同色三角形的问题．
　　 证明 设A、B、C、D、E、F是六个人所表示的点.将A点与其余各点进行连接,得到五条线段AB、AC、AD、AE和AF,这五条线段的颜色不会超过两种. 也就是说,在这五条线段中,至少有三条线段的颜色相同,不妨设AB、AC、AD三条线段为红色. 如果BC、BD和CD这三条线段中有一条(不妨设为BC)也为红色,那么三角形ABC就是一个红色三角形(三条边均为红色)；如果BC、BD和CD这三条线段全为蓝色,那么三角形BCD就是一个蓝色三角形(三条边均为蓝色色). 不论哪种情形发生,都说明存在同色三角形.所以,任意六个人中,一定有三个人或者互相认识或者互相都不认识.
　　 例2平面内有六个点,如果连接其中的任何三点都能构成一个不等边三角形,那么在这些三角形中一定存在着这样一个三角形,它的最长边是另一个三角形的最短边．
　　 证明 用红蓝两种颜色对三角形的各边进行染色. 把每个三角形的最短边染成红色,把其余的边都染成蓝色(有些边可能被染成两种颜色,但并不影响我们对问题的讨论),则根据例1的讨论可知,一定会出现同色三角形.因为每一个三角形都有最短边,而每条最短边染的都是红色,所以,这个同色三角形一定是三边全红的三角形,它的最长边当然也是红色,但这条最长边当初是作为某一个三角形的最短边才染上红色的.所以,存在一个三角形,其最长边是另一个三角形的最短边．
　　 例3中国象棋上有一匹马,从A点出发,跳2011步以后,能够跳回到A点吗？
　　 分析 中国象棋棋盘共有64个方格,90个交叉点.把棋盘的交叉点交替染成红色和蓝色,因为,按照象棋规则,“马走日”,所以,马跳一步,所在的交叉点变一次颜色,跳两步又变回原来的颜色.也就是说,马跳奇数步变色,跳偶数步不变色,而2011是一个奇数,所以,马跳2011步以后,不可能跳回到原来的出发点．
　　 通过上面的讨论不难发现,有些看起来似乎无从下手的问题,如果我们采用“染色”的方法,就会感到思路清晰,得心应手. “染色”为我们求解数学问题提供了一种思路,同学们不妨把这种方法应用到解题实践中去,看看效果如何。
　　 例4(首届全国中学生数学冬令营试题)能否把1,1,2,2,3,3,…,1986,1986这些数排成一行,使得两个1之间夹着一个数,两个2之间夹着两个数,…,两个1986之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.
　　 证明在这1986×2个位置中,把奇数位置染成红色,偶数位置染成蓝色,于是红色位置和蓝色位置各有1986个数.因为,在原数列中,每一个数都连续出现两次,所以,任意一个数都占据一个红色位置和一个蓝色位置. 993个偶数占据的红色位置和蓝色位置都是993个；
　　 993个奇数,占据白点A2=2a个,黑点B2=2b个,其中a b=993. 因此,共占白色A=A1 A2=993 2a个. 黑点B=B1 B2=993 2b个,由于a b=993(非偶数!),所以a≠b,从而得A≠B.这与黑、白点各有1986个矛盾. 故这种排法不可能. “点”可以是有限个,也可以是无限个．
　　
　　 作者简介：司志本,男,1959年生,河北兴隆人.教授．