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“倍”这一数学概念比较抽象，二年级学生必须通过大量的感性材料及自身的动手操作、观察思考、抽象推理等活动，才能实现对其真正理解与灵活建模。现撷取三个片段与大家共同分享。
片段一：游戏情境中链接引新，使学生学得主动而深刻
（课前谈话介绍拍手有延长寿命、变得聪明、给人快乐等好处）
师：这节课就从拍手数数开始，行不行？听，我拍了几下？
生：3下。
师：如果把老师拍的3下画出来，你想到画什么？
生1：画叉。
生2：画小圆圈。
……
师：不管画什么都可以，但是哪种简便就画哪种。你觉得画什么比较简便？
生1：画圆圈。
生2：画一竖非常简便。
师：竖线、圆圈都很简便。老师现在就来画3个圆圈。
师：请你们再拍手6下。（生一起拍手）
师：如果让你们上来画，要画几个圆圈？
生：6个。
（师在黑板上画完后让学生一齐数出6个）
师：比较这两个数，你觉得6和3之间有怎样的关系？
生1：6是3的2倍。
师：真了不起，还可以怎么说？
生2：6比3多3个。
师：反过来可以怎么说？
生齐：3比6少3个。
师：这是说6和3相差3个。除了发现6和3的相差关系，我们还发现了什么？
生：2个3就是6。
师：反过来说6里面有——
生：6里面有2个3。
师：他说，6里面不多不少，正好有——
生齐：2个3。
师：伸出手，跟老师一起将2个3圈出来。
师：谁能拍拍手，让人一听就知道是2个3。（指名生拍）
师：拍3下快一点，中间停顿长些，就更好了。我们一起拍一下。（师生齐拍2个3）
师：6里面正好有2个3，我们就说6和3之间正好有2倍的关系。（板书：（ ）是（ ）的2倍）
师：想一想，6和3之间，谁是谁的2倍？同桌之间互相说一说。
生：6是3的2倍。（让生齐读这句话）
师：为什么说“6是3的2倍”？
生：因为6里面正好有2个3。
师：对，因为6里面正好有2个3，所以6是3的2倍。“倍”就是我们今天要认识的新朋友，它是专门用来表示两个数之间关系的。想不想跟“倍”交朋友？谁来跟“倍”打个招呼？
生1：嗨，你好，“倍”！
生2：欢迎你，“倍”，我们来交个朋友吧！
师：想不想跟它交朋友？
生齐：想！
师：能不能跟“倍”交上朋友，就要看我们对“倍”的认识是不是深刻。想想看，还有哪两个数之间有2倍的关系？
生1：2是1的2倍。
生2：10是5的2倍。
……
师：说得完吗？
生：说不完。
师：好，我们继续玩拍手游戏。
评析：课一开始，教师巧妙地将学生喜欢的拍手游戏引入课堂，并以“玩拍手游戏”这一情境串来组织教学，有效地吸引了学生的身心，体现了数学学习的趣味性。同时，又通过多个相关联的问题情境，让学生在情境中思考、建模，很好地体现了数学学习的思考性。如，通过如何将拍手的3下画下来，培养学生的符号意识和
求简思维；通过让学生看图说出6与3的关系，巧妙地激活两数的相差关系，同时引出倍数关系并建立2倍的概念——6里面有2个3，6就是3的2倍。之后，又让学生在类推中说出还有哪两个数之间也有2倍的关系。此时，教师已巧妙地将具体数量间的倍数关系抽象为两个数之间的倍数关系，从而进一步拓展了有关“2倍”概念的外延。在上述学习过程中，学生心动、情动、身动、思动，学得生动而深刻，使学生真正享受了“有营养又好吃”的数学。
片段二：有序操作中抽象建模，使学生学得生动而深厚
师：刚才我们通过拍手游戏初步认识了“倍”。为了能真正成为“倍”的好朋友，我们还要对它作进一步的认识。下面通过画一画、圈一圈来加深对“倍”的认识，好不好？
生：好！
师：拿出作业纸，我们来画小棒并圈一圈。听好要求：第一行画2根小棒，第二行画6根小棒。第二行小棒怎么圈，就能让人一眼看出6是2的（ ）倍？
生：2个2个地圈，有3个2，6是2的3倍。
师：画对的举手，真好！下面来一个小棒多一点的，难一点的。听好要求：第一行画3根小棒，第二行画15根小棒。动脑筋想一想，第二行的小棒怎么圈，就能一眼看出15是3的（ ）倍？
生：3个3个地圈，有5个3，15是3的5倍。
师：真能干！接下来的小棒更多：第一行画8根小棒，第二行画40根小棒。老师有一个要求：如果你不画就知道了40是8的几倍的，就不画了。
生：40是8的5倍。
师：怎么想的？
生：40÷8=5。
师：为什么想到了用除法计算呢？
生：因为求40里面有几个8，所以用除法。
师：对了，求40里面有几个8可以用除法算。因为“倍”表示的是两个数的关系，所以“倍”不是单位名称，算式40÷8=5后面不要写单位。
师：如果小棒的根数更多，能不能算出来？
生：能！
师：第一行8根小棒，第二行72根小棒。72是8的几倍？
生：72÷8=9，72是8的9倍。
师：回到一开始我们所画的3个圆圈和6个圆圈，要求6是3的几倍，可以怎样列式计算？ 生：6÷3=2。
师：6÷3=2表示——
生齐：6是3的2倍。
评析：在建立有关“倍”的概念与算法过程中，教师能引导学生进行由直观到抽象的有序操作活动，使学生真正经历并体验了有关“倍”的建模过程——先通过拍、画、看、说，让学生初步建立2倍、3倍的概念；接着通过圈小棒、说写倍数关系，让学生进一步明晰：一个数里面有几个另一个数，这个数就是另一个数的几倍。最后通过将小棒的根数变大，让学生在自主求简中自然而然地探索出求谁是谁几倍的算法：求一个数是另一个数的几倍，就是要看这个数里面有几个另一个数，用除法算。
在以上建模过程中，教师有序引领学生经历拍手掌、圈小棒、说思路、抽象出除法模型等数学学具操作、符号操作和言语表述的活动过程，将学生内隐的思维过程表征出来，使隐性的思维活动显性化，让学生在主动而有序的操作过程中经历多次的抽象与推理，最终实现有效的建模，从而扎实有效地积累数学活动经验，渗透抽象、推理、建模的数学基本思想和拍、画、圈、算等逐步抽象化的数学方法，很好地体现了新一轮课标中有关落实“四基”的教学理念，使有活动和有思想的数学学习成为学生“成长的载体”，让学生能带走一辈子并终身受用。
片段三：变式练习中运用拓展，使学生学得灵动而深远
师：图1表示谁的人数是谁的5倍？
生：男生人数是女生的5倍。
师：看，现在呢？（指图2）谁来完整地说一说？
生：男生人数是女生的3倍。
师：再看（指图3），谁来说一说？
生：男生人数是女生的2倍。
师：再来看（指图4），谁是谁的几倍？
生：男生人数是女生的1倍。
师：女生人数和男生人数一样了，“男生人数是女生的1倍”还可以怎么说？
生：女生人数是男生的1倍。
师追问：女生人数一直没变，为什么男女生人数的倍数关系却变了呢？
生：因为男生人数在变化，所以他们的倍数关系就变化了。
……
师：○的个数是△的3倍。你能画图表示这样的关系吗？想一想，有没有不同的表示方法？看谁的方法最巧妙？说说你怎么画的？
生1：圆画9个，三角形画3个。
师：同意吗？掌声送给她。还有不同的画法吗？
生2：圆画3个，三角形画1个。
师：还有不同的画法吗？
生3：圆形画6个……
师：停，大家猜猜看，他的三角形画了几个？
生齐：2个。
师：假如三角形画4个，圆形画多少个？
生：12个。
师：假如圆形画15个，三角形画多少个？
生：5个。
师：观察图5这两排数，发现了什么规律？
生：第一排数从小到大在变，第二排数也在变。
师：第一排的数每次多多少？
生齐：1。
师：第二排的数每次多多少？
生齐：3。
师：能发现什么是不变的吗？
生：圆形个数总是三角形的3倍。
师：真好！那表示圆与三角形个数3倍关系的画法有多少种？
生：无数种。
师：如图6，老师用条形图来这样表示可不可以？
生：可以。
师：能简洁点吗？不画长方形了，可以画什么？
生：画线段。
师：对，如图7，可以用线段图来表示。
师：请看：苹果个数是梨的几倍？先一起来数一数苹果的个数。
生：1、2、3、4、5、6、7、8，8个。
师：梨被藏在蓝色长方形的后面，猜猜看，梨有几个？苹果个数是梨的几倍？
生：梨有4个，苹果个数是梨的2倍。
师：好！再猜，梨还可以是几个？（猜到有8个，2个，1个）
……
生：还可以是3个。
师：如果梨有3个，苹果个数是梨的几倍呢？
生：苹果个数是梨的2倍多2个。
师：看一下，去掉2个，苹果个数正好是梨的2倍，所以说——
生齐：苹果个数是梨的2倍多2个。
师：那添上一个，苹果个数正好是梨的3倍，但添上的这一个实际上是没有的，所以说苹果个数是梨的——
生齐：3倍少1个。
……
评析：在练习环节，教师安排了三个维度的变式教学。第一个维度是先出现男生人数是女生5倍的条形图，然后3次变化男生人数的条形图，让学生感悟其中的规律：一份数不变，另一份数变了，两个数之间的倍数关系就变了。第二个维度是出现“圆形个数是三角形的3倍”这一不变的倍数关系，让学生在开放的思考空间想出多种具体的画法，不仅再次让学生感受数学学习中变与不变的规律，还巧妙地渗透了函数思想和数形结合的思想，并抓住时机及时地引导学生学会更抽象、更简洁的数学化表征方式。第三个维度告诉学生苹果8个，让他们猜出梨的个数并说出苹果个数是梨的几倍。这里，学生的思维空间一下子被打开了，创造热情空前高涨。学生不仅会想到梨的个数是1、2、4、8个，还想到可能是3个，等等。这样就将两种水果的倍数关系由整数倍拓展到几倍多几和几倍少几的情况，从而为后续学习打下伏笔，同时又沟通相差关系与倍数关系之间的联系，实现了对两数关系认识的整体建构，同时也很好地培养了学生的开放思维，彰显了数学思考的迷人魅力。
◇责任编辑：徐新亮◇
片段一：游戏情境中链接引新，使学生学得主动而深刻
（课前谈话介绍拍手有延长寿命、变得聪明、给人快乐等好处）
师：这节课就从拍手数数开始，行不行？听，我拍了几下？
生：3下。
师：如果把老师拍的3下画出来，你想到画什么？
生1：画叉。
生2：画小圆圈。
……
师：不管画什么都可以，但是哪种简便就画哪种。你觉得画什么比较简便？
生1：画圆圈。
生2：画一竖非常简便。
师：竖线、圆圈都很简便。老师现在就来画3个圆圈。
师：请你们再拍手6下。（生一起拍手）
师：如果让你们上来画，要画几个圆圈？
生：6个。
（师在黑板上画完后让学生一齐数出6个）
师：比较这两个数，你觉得6和3之间有怎样的关系？
生1：6是3的2倍。
师：真了不起，还可以怎么说？
生2：6比3多3个。
师：反过来可以怎么说？
生齐：3比6少3个。
师：这是说6和3相差3个。除了发现6和3的相差关系，我们还发现了什么？
生：2个3就是6。
师：反过来说6里面有——
生：6里面有2个3。
师：他说，6里面不多不少，正好有——
生齐：2个3。
师：伸出手，跟老师一起将2个3圈出来。
师：谁能拍拍手，让人一听就知道是2个3。（指名生拍）
师：拍3下快一点，中间停顿长些，就更好了。我们一起拍一下。（师生齐拍2个3）
师：6里面正好有2个3，我们就说6和3之间正好有2倍的关系。（板书：（ ）是（ ）的2倍）
师：想一想，6和3之间，谁是谁的2倍？同桌之间互相说一说。
生：6是3的2倍。（让生齐读这句话）
师：为什么说“6是3的2倍”？
生：因为6里面正好有2个3。
师：对，因为6里面正好有2个3，所以6是3的2倍。“倍”就是我们今天要认识的新朋友，它是专门用来表示两个数之间关系的。想不想跟“倍”交朋友？谁来跟“倍”打个招呼？
生1：嗨，你好，“倍”！
生2：欢迎你，“倍”，我们来交个朋友吧！
师：想不想跟它交朋友？
生齐：想！
师：能不能跟“倍”交上朋友，就要看我们对“倍”的认识是不是深刻。想想看，还有哪两个数之间有2倍的关系？
生1：2是1的2倍。
生2：10是5的2倍。
……
师：说得完吗？
生：说不完。
师：好，我们继续玩拍手游戏。
评析：课一开始，教师巧妙地将学生喜欢的拍手游戏引入课堂，并以“玩拍手游戏”这一情境串来组织教学，有效地吸引了学生的身心，体现了数学学习的趣味性。同时，又通过多个相关联的问题情境，让学生在情境中思考、建模，很好地体现了数学学习的思考性。如，通过如何将拍手的3下画下来，培养学生的符号意识和
求简思维；通过让学生看图说出6与3的关系，巧妙地激活两数的相差关系，同时引出倍数关系并建立2倍的概念——6里面有2个3，6就是3的2倍。之后，又让学生在类推中说出还有哪两个数之间也有2倍的关系。此时，教师已巧妙地将具体数量间的倍数关系抽象为两个数之间的倍数关系，从而进一步拓展了有关“2倍”概念的外延。在上述学习过程中，学生心动、情动、身动、思动，学得生动而深刻，使学生真正享受了“有营养又好吃”的数学。
片段二：有序操作中抽象建模，使学生学得生动而深厚
师：刚才我们通过拍手游戏初步认识了“倍”。为了能真正成为“倍”的好朋友，我们还要对它作进一步的认识。下面通过画一画、圈一圈来加深对“倍”的认识，好不好？
生：好！
师：拿出作业纸，我们来画小棒并圈一圈。听好要求：第一行画2根小棒，第二行画6根小棒。第二行小棒怎么圈，就能让人一眼看出6是2的（ ）倍？
生：2个2个地圈，有3个2，6是2的3倍。
师：画对的举手，真好！下面来一个小棒多一点的，难一点的。听好要求：第一行画3根小棒，第二行画15根小棒。动脑筋想一想，第二行的小棒怎么圈，就能一眼看出15是3的（ ）倍？
生：3个3个地圈，有5个3，15是3的5倍。
师：真能干！接下来的小棒更多：第一行画8根小棒，第二行画40根小棒。老师有一个要求：如果你不画就知道了40是8的几倍的，就不画了。
生：40是8的5倍。
师：怎么想的？
生：40÷8=5。
师：为什么想到了用除法计算呢？
生：因为求40里面有几个8，所以用除法。
师：对了，求40里面有几个8可以用除法算。因为“倍”表示的是两个数的关系，所以“倍”不是单位名称，算式40÷8=5后面不要写单位。
师：如果小棒的根数更多，能不能算出来？
生：能！
师：第一行8根小棒，第二行72根小棒。72是8的几倍？
生：72÷8=9，72是8的9倍。
师：回到一开始我们所画的3个圆圈和6个圆圈，要求6是3的几倍，可以怎样列式计算？ 生：6÷3=2。
师：6÷3=2表示——
生齐：6是3的2倍。
评析：在建立有关“倍”的概念与算法过程中，教师能引导学生进行由直观到抽象的有序操作活动，使学生真正经历并体验了有关“倍”的建模过程——先通过拍、画、看、说，让学生初步建立2倍、3倍的概念；接着通过圈小棒、说写倍数关系，让学生进一步明晰：一个数里面有几个另一个数，这个数就是另一个数的几倍。最后通过将小棒的根数变大，让学生在自主求简中自然而然地探索出求谁是谁几倍的算法：求一个数是另一个数的几倍，就是要看这个数里面有几个另一个数，用除法算。
在以上建模过程中，教师有序引领学生经历拍手掌、圈小棒、说思路、抽象出除法模型等数学学具操作、符号操作和言语表述的活动过程，将学生内隐的思维过程表征出来，使隐性的思维活动显性化，让学生在主动而有序的操作过程中经历多次的抽象与推理，最终实现有效的建模，从而扎实有效地积累数学活动经验，渗透抽象、推理、建模的数学基本思想和拍、画、圈、算等逐步抽象化的数学方法，很好地体现了新一轮课标中有关落实“四基”的教学理念，使有活动和有思想的数学学习成为学生“成长的载体”，让学生能带走一辈子并终身受用。
片段三：变式练习中运用拓展，使学生学得灵动而深远
师：图1表示谁的人数是谁的5倍？
生：男生人数是女生的5倍。
师：看，现在呢？（指图2）谁来完整地说一说？
生：男生人数是女生的3倍。
师：再看（指图3），谁来说一说？
生：男生人数是女生的2倍。
师：再来看（指图4），谁是谁的几倍？
生：男生人数是女生的1倍。
师：女生人数和男生人数一样了，“男生人数是女生的1倍”还可以怎么说？
生：女生人数是男生的1倍。
师追问：女生人数一直没变，为什么男女生人数的倍数关系却变了呢？
生：因为男生人数在变化，所以他们的倍数关系就变化了。
……
师：○的个数是△的3倍。你能画图表示这样的关系吗？想一想，有没有不同的表示方法？看谁的方法最巧妙？说说你怎么画的？
生1：圆画9个，三角形画3个。
师：同意吗？掌声送给她。还有不同的画法吗？
生2：圆画3个，三角形画1个。
师：还有不同的画法吗？
生3：圆形画6个……
师：停，大家猜猜看，他的三角形画了几个？
生齐：2个。
师：假如三角形画4个，圆形画多少个？
生：12个。
师：假如圆形画15个，三角形画多少个？
生：5个。
师：观察图5这两排数，发现了什么规律？
生：第一排数从小到大在变，第二排数也在变。
师：第一排的数每次多多少？
生齐：1。
师：第二排的数每次多多少？
生齐：3。
师：能发现什么是不变的吗？
生：圆形个数总是三角形的3倍。
师：真好！那表示圆与三角形个数3倍关系的画法有多少种？
生：无数种。
师：如图6，老师用条形图来这样表示可不可以？
生：可以。
师：能简洁点吗？不画长方形了，可以画什么？
生：画线段。
师：对，如图7，可以用线段图来表示。
师：请看：苹果个数是梨的几倍？先一起来数一数苹果的个数。
生：1、2、3、4、5、6、7、8，8个。
师：梨被藏在蓝色长方形的后面，猜猜看，梨有几个？苹果个数是梨的几倍？
生：梨有4个，苹果个数是梨的2倍。
师：好！再猜，梨还可以是几个？（猜到有8个，2个，1个）
……
生：还可以是3个。
师：如果梨有3个，苹果个数是梨的几倍呢？
生：苹果个数是梨的2倍多2个。
师：看一下，去掉2个，苹果个数正好是梨的2倍，所以说——
生齐：苹果个数是梨的2倍多2个。
师：那添上一个，苹果个数正好是梨的3倍，但添上的这一个实际上是没有的，所以说苹果个数是梨的——
生齐：3倍少1个。
……
评析：在练习环节，教师安排了三个维度的变式教学。第一个维度是先出现男生人数是女生5倍的条形图，然后3次变化男生人数的条形图，让学生感悟其中的规律：一份数不变，另一份数变了，两个数之间的倍数关系就变了。第二个维度是出现“圆形个数是三角形的3倍”这一不变的倍数关系，让学生在开放的思考空间想出多种具体的画法，不仅再次让学生感受数学学习中变与不变的规律，还巧妙地渗透了函数思想和数形结合的思想，并抓住时机及时地引导学生学会更抽象、更简洁的数学化表征方式。第三个维度告诉学生苹果8个，让他们猜出梨的个数并说出苹果个数是梨的几倍。这里，学生的思维空间一下子被打开了，创造热情空前高涨。学生不仅会想到梨的个数是1、2、4、8个，还想到可能是3个，等等。这样就将两种水果的倍数关系由整数倍拓展到几倍多几和几倍少几的情况，从而为后续学习打下伏笔，同时又沟通相差关系与倍数关系之间的联系，实现了对两数关系认识的整体建构，同时也很好地培养了学生的开放思维，彰显了数学思考的迷人魅力。
◇责任编辑：徐新亮◇