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摘 要：第32届全国中学生物理竞赛预赛第12题考查了抛体运动的相遇情况。本文中灵活选用参考系解此题，简化运动过程，拓展了思维，以期为教学带来借鉴。
关键词：物理竞赛；抛体运动；参考系
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）1-0036-2
1 试题展现
从左至右在同—水平地面上依次有3个质点a、b、c，且三者共线，a与b相距l1，b与c相距l2。现同时将它们从其初始位置抛出。已知质点b以初速度v0竖直上抛，质点c以某一初速度竖直上抛。设在这3个质点的运动过程中，a能碰到质点b和质点c，并假设质点a的质量远大于质点b的质量，且a与b的碰撞时间极短。求质点c的初速度vc和质点a的初速度所满足的条件。所求的结果均用题中的已知量表示出来。
2 地面参考系
以向右为x轴正向，向上为y轴正向。质点a的初速度的x和y分量分别为vx和vy，设经过t1时间质点a与质点b相遇，如图1，由抛体运动可知
vyt1- gt =v t - gt ，
l1=vxt1。
运动过程中相遇，要求
v t - gt ≥0，联立解得
vx≥ ，v =v 。
由于质点a、b碰撞的时间极短，可认为两质点系统碰撞前后动量守恒和动能不变。设碰前质点a的分速度和b的速度分别为vx、vy 和vby ，碰后a的分速度分别为v’x、v’y ，b的分速度分别为v’bx、v’by
mavx=mav’x mbv’bx，
mavy mbvby =mav’y mbv’by ，
m （v v ） m v =
m （v v ） m （v v ）。
由题意知ma>>mb，代入可得
vx=v’x，vy =v’y ，vby =v’by 。
即质点b对质点a的运动的影响可以忽略。同理设经过t2时间质点a、c相遇，则满足
vyt2- gt =v t - gt ，
l1 l2=vxt2，
vct - gt ≥0。解得
vc=vy，vx≥ 。
故最终可得，质点c的速度vc=v0。
质点a的速度满足vx≥ ，vy=v0。
点评 地面是抛体运动最常用的参考系，易于接受，但其过程往往较为复杂。例如：本题即为斜抛与竖直上抛的相遇问题，有些学生还会仔细考虑是上升还是下降阶段，并且这类方程的求解也相对较为繁琐。
3 自由落体参考系
另以一个做自由落体运动的物体为参考系，则3个质点均以原速度做匀速直线运动，如图2所示。运动过程中相遇，b、c做竖直上抛运动，时间关系满足t1≤ ，t2≤ 。a若要与b相遇，其竖直分运动需相同，故满足vy=v0，水平方向vx= ≥ 。依题意，碰撞对a的速度无影响，同理分析a、c若相遇，其竖直分运动相同vc=vy=v0，水平方向vx= ≥ 。
故质点a的速度满足vx≥ ，vy=v0，质点c的速度vc=v0。
点评 自由落体参考系是抛体运动中常用的参考系。由于此参考系的加速度与其他物体相同，而初速度为零，在此参考系中，做抛体运动的物体将以原速度做匀速直线运动。将复杂的曲线运动相遇简化为匀速直线运动相遇，降低了思维难度。
4 质点b参考系
3个质点都为抛体运动，加速度相同，故以b为参考系，a、c均为匀速直线运动。质点a若要和质点b相遇，其速度v’a必须水平向右，如图3。题中要求在运动过程中相遇，b、c做竖直上抛运动，故t1≤ ，t2≤ 。由此可知质点a的速度满足：
竖直分量vy=v0，水平分量vx= ≥ 。
质点a的质量远大于质点b，碰撞之后可认为对a的速度无影响，仍然水平向右。因此，若要与c相碰，c需保持在原位置，即v’c=0，可得vc=v0。且vx= ≥ 。
综合可得vx≥ ，vy=v0。
点评 选质点b为参考系，将原来抛物线轨迹的斜抛运动和有往返的竖直上抛运动大大简化，成为水平方向的匀速直线运动与静止物体相遇问题，运动过程最为简单。
5 两点商榷
首先，题中给出a的质量远大于b，其意为b对a的运动无影响。参考答案中是由碰撞时间极短，得出动量守恒和动能不变的结论。而实际上时间短只能认为内力极大，可以忽略重力得到动量守恒，而动能不变需要说明是弹性碰撞。
再次，a与b碰撞时，由于两质点竖直方向分速度相同，所以碰后b的竖直分速度不变，水平分速度大于a。在此情形下，b必然会先于a与c碰撞，且b、c碰撞竖直速度也不变，b其实一直在a、c之间，这点可以在质点b参考系解法中直接看出。题中交代了a能碰到质点b和c，相当于第一次碰撞后将b撤去。从赛后学生的反馈情况来看，如果只告诉a、c能相碰，会让学生误以为碰后还会经过一些复杂过程才使a、c相碰，笔者认为描述时不如直接告诉碰后撤去b，以使题意更加清晰。
参考文献：
[1]涂星火，彭小娟，罗琬华.浅析参照系与力学规律的关系[J].物理教学探讨，2006，24（4）：38—39.
[2]程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程力学篇[M].合肥：中学科学技术大学出版社，2002：15—28.
[3]漆安慎，杜婵英.普通物理学教程力学[M].北京：高等教育出版社，1997：37—49.
（栏目编辑 罗琬华）
关键词：物理竞赛；抛体运动；参考系
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）1-0036-2
1 试题展现
从左至右在同—水平地面上依次有3个质点a、b、c，且三者共线，a与b相距l1，b与c相距l2。现同时将它们从其初始位置抛出。已知质点b以初速度v0竖直上抛，质点c以某一初速度竖直上抛。设在这3个质点的运动过程中，a能碰到质点b和质点c，并假设质点a的质量远大于质点b的质量，且a与b的碰撞时间极短。求质点c的初速度vc和质点a的初速度所满足的条件。所求的结果均用题中的已知量表示出来。
2 地面参考系
以向右为x轴正向，向上为y轴正向。质点a的初速度的x和y分量分别为vx和vy，设经过t1时间质点a与质点b相遇，如图1，由抛体运动可知
vyt1- gt =v t - gt ，
l1=vxt1。
运动过程中相遇，要求
v t - gt ≥0，联立解得
vx≥ ，v =v 。
由于质点a、b碰撞的时间极短，可认为两质点系统碰撞前后动量守恒和动能不变。设碰前质点a的分速度和b的速度分别为vx、vy 和vby ，碰后a的分速度分别为v’x、v’y ，b的分速度分别为v’bx、v’by
mavx=mav’x mbv’bx，
mavy mbvby =mav’y mbv’by ，
m （v v ） m v =
m （v v ） m （v v ）。
由题意知ma>>mb，代入可得
vx=v’x，vy =v’y ，vby =v’by 。
即质点b对质点a的运动的影响可以忽略。同理设经过t2时间质点a、c相遇，则满足
vyt2- gt =v t - gt ，
l1 l2=vxt2，
vct - gt ≥0。解得
vc=vy，vx≥ 。
故最终可得，质点c的速度vc=v0。
质点a的速度满足vx≥ ，vy=v0。
点评 地面是抛体运动最常用的参考系，易于接受，但其过程往往较为复杂。例如：本题即为斜抛与竖直上抛的相遇问题，有些学生还会仔细考虑是上升还是下降阶段，并且这类方程的求解也相对较为繁琐。
3 自由落体参考系
另以一个做自由落体运动的物体为参考系，则3个质点均以原速度做匀速直线运动，如图2所示。运动过程中相遇，b、c做竖直上抛运动，时间关系满足t1≤ ，t2≤ 。a若要与b相遇，其竖直分运动需相同，故满足vy=v0，水平方向vx= ≥ 。依题意，碰撞对a的速度无影响，同理分析a、c若相遇，其竖直分运动相同vc=vy=v0，水平方向vx= ≥ 。
故质点a的速度满足vx≥ ，vy=v0，质点c的速度vc=v0。
点评 自由落体参考系是抛体运动中常用的参考系。由于此参考系的加速度与其他物体相同，而初速度为零，在此参考系中，做抛体运动的物体将以原速度做匀速直线运动。将复杂的曲线运动相遇简化为匀速直线运动相遇，降低了思维难度。
4 质点b参考系
3个质点都为抛体运动，加速度相同，故以b为参考系，a、c均为匀速直线运动。质点a若要和质点b相遇，其速度v’a必须水平向右，如图3。题中要求在运动过程中相遇，b、c做竖直上抛运动，故t1≤ ，t2≤ 。由此可知质点a的速度满足：
竖直分量vy=v0，水平分量vx= ≥ 。
质点a的质量远大于质点b，碰撞之后可认为对a的速度无影响，仍然水平向右。因此，若要与c相碰，c需保持在原位置，即v’c=0，可得vc=v0。且vx= ≥ 。
综合可得vx≥ ，vy=v0。
点评 选质点b为参考系，将原来抛物线轨迹的斜抛运动和有往返的竖直上抛运动大大简化，成为水平方向的匀速直线运动与静止物体相遇问题，运动过程最为简单。
5 两点商榷
首先，题中给出a的质量远大于b，其意为b对a的运动无影响。参考答案中是由碰撞时间极短，得出动量守恒和动能不变的结论。而实际上时间短只能认为内力极大，可以忽略重力得到动量守恒，而动能不变需要说明是弹性碰撞。
再次，a与b碰撞时，由于两质点竖直方向分速度相同，所以碰后b的竖直分速度不变，水平分速度大于a。在此情形下，b必然会先于a与c碰撞，且b、c碰撞竖直速度也不变，b其实一直在a、c之间，这点可以在质点b参考系解法中直接看出。题中交代了a能碰到质点b和c，相当于第一次碰撞后将b撤去。从赛后学生的反馈情况来看，如果只告诉a、c能相碰，会让学生误以为碰后还会经过一些复杂过程才使a、c相碰，笔者认为描述时不如直接告诉碰后撤去b，以使题意更加清晰。
参考文献：
[1]涂星火，彭小娟，罗琬华.浅析参照系与力学规律的关系[J].物理教学探讨，2006，24（4）：38—39.
[2]程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程力学篇[M].合肥：中学科学技术大学出版社，2002：15—28.
[3]漆安慎，杜婵英.普通物理学教程力学[M].北京：高等教育出版社，1997：37—49.
（栏目编辑 罗琬华）