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新课程改革特别注重数学的应用性。函数是刻画现实生活中变量之间关系的有效数学模型。在今天这样一个以市场经济为主体的现实生活中，人们在生产经营中都追求利润最大化。现就中考中最大利润问题举例如下，以供大家参考。
一、一次函数型
例1：某石化乙烯厂一车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下：
■
请你解答下列问题：
（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨，利润分别为y1元和y2元，分别求y1和y2与x的函数关系式；
（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，求该月生产甲、乙两种塑料各多少吨，获得的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)y1=（2100－800－200）x=1100x，
y2=(2400－1100－100)x－20000=1200x－20000。
(2)设该车间每月生产甲塑料x吨，则生产乙塑料（700－x）吨，利润为w元，则w=1100x+1200（700－x）－20000=－110x +820000。因为x≤400且700－x≤400，所以300≤x≤400。又因为k=－110＜0，w随x的增大而减小，所以当x=300时，利润最大，最大利润是787000元。
例2：某工程机械厂根据市场需要，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的两型挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表。
■
（1）该厂对两型挖掘机有哪些生产方案；
（2）该厂如何生产能获得最大利润？
（3）根据市场调查研究，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0），该厂如何生产能获得最大利润？
解：设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机(100－x)台，22400≤200x+240(100－x)≤22500, 解得37.5≤x≤40。因为x只能取正整数，所以x可取38、39、40。即该厂可有三种生产方案：⑴A型38台，B型62台；⑵A型39台，B型61台；⑶A型40台，B型60台。
(2)设所获得利润为w万元，则w=50x+60(100－x)=-10x+6000。因为k=-10＜0，所以按方案一生产利润最大，即当x=38时，w最大为5620元。
（3）当B型挖掘机的售价不改变，每台A型挖掘机的售价提高m万元时，利润w=(50+m)x+60(100－x)=(m-10)x+6000。当0＜x＜10时，x=38时，利润最大，即A型38台，B型62台；当m=10时，m－10=0，三种生产方案获利相等；当m＞10时，x=40时，利润最大，即A型40台，B型60台。
评注：此类问题的解题思路是：根据题意建立利润的一次函数，确定自变量的取值范围，在自变量的取值范围内，根据k值的正负，利用一次函数的增减性，求出最大利润。
二、二次函数型
（一）在顶点处取最值的问题
例3：某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个。根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个。
（1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元，这种篮球每月的销售量是 个（用x的代数式表示）；
（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应为多少元？
解：（1）根据题意，利润=售价—进价，所以销售每个篮球所获得的利润是（50+x）-40=（10+x）元，这种篮球每月的销售量是（500-10x）个。
（2）设月销售利润为y元，由题意得y=（10+x）（500-10x），整理得y=-10（x-20）2+9000。易知当x=20，售价为70元时，y有最大值9000。因此，8000元不是最大利润，最大利润是9000元，此时篮球的售价是70元。
（二）有限制条件的最值问题
例4：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。
（1）求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数关系式。
（2）求该批发商平均每天的销售利润 w（元）与售价 x（元/箱）之间函数关系式。
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）y=90－3（x－50），化简得y=-3x+240；
（2）w=（x－40）（－3x+240）=－3x2+360x－9600；
（3）w=－3x2+360x－9600，∵a＜0，∴抛物线开口向下，当x=－■=60时，w有最大值。又因为x＜60，w随x的增大而增大，所以，当x=55时，w的最大值为1125元。∴当每箱苹果的销售价为55元，可以获得最大利润，最大利润是1125元。
例5：如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃．设花圃的一边AB为x m，面积为y m2。
■
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成比63m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由。
解：（1）y＝x（30－3x），即y＝－3x2＋30x；
（2）当y＝63时，有－3x2＋30x＝63，解此方程得x1＝7，x2＝3。当x＝7时，30－3x＝9＜10，符合题意；当x＝3时，30－3x＝21＞10（不符合题意舍去），所以当AB的长为7m时，花圃的面积为63平方米。
（3）∵y＝－3x2＋30x＝－3（x－5）2＋75，由题意得0＜30－3x≤10，解得■≤x＜10。又当x＞5时，y随x的增大而减小，所以，当x＝■m时面积最大，最大面积为66■m2。
评注：利用二次函数的顶点坐标求最大值是大家熟悉的最值问题，当顶点处的最大值不存在的时候，就要注意在自变量的取值范围内，利用对称轴左右两侧函数的增减性来确定最大值。
以上几例选自近年的中考试题，掌握这类问题的解决思路和方法，能让学生感受到数学知识的应用价值，培养学生应用知识解决问题的能力。
（责编 张晶晶）
一、一次函数型
例1：某石化乙烯厂一车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下：
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请你解答下列问题：
（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨，利润分别为y1元和y2元，分别求y1和y2与x的函数关系式；
（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，求该月生产甲、乙两种塑料各多少吨，获得的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)y1=（2100－800－200）x=1100x，
y2=(2400－1100－100)x－20000=1200x－20000。
(2)设该车间每月生产甲塑料x吨，则生产乙塑料（700－x）吨，利润为w元，则w=1100x+1200（700－x）－20000=－110x +820000。因为x≤400且700－x≤400，所以300≤x≤400。又因为k=－110＜0，w随x的增大而减小，所以当x=300时，利润最大，最大利润是787000元。
例2：某工程机械厂根据市场需要，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的两型挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表。
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（1）该厂对两型挖掘机有哪些生产方案；
（2）该厂如何生产能获得最大利润？
（3）根据市场调查研究，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0），该厂如何生产能获得最大利润？
解：设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机(100－x)台，22400≤200x+240(100－x)≤22500, 解得37.5≤x≤40。因为x只能取正整数，所以x可取38、39、40。即该厂可有三种生产方案：⑴A型38台，B型62台；⑵A型39台，B型61台；⑶A型40台，B型60台。
(2)设所获得利润为w万元，则w=50x+60(100－x)=-10x+6000。因为k=-10＜0，所以按方案一生产利润最大，即当x=38时，w最大为5620元。
（3）当B型挖掘机的售价不改变，每台A型挖掘机的售价提高m万元时，利润w=(50+m)x+60(100－x)=(m-10)x+6000。当0＜x＜10时，x=38时，利润最大，即A型38台，B型62台；当m=10时，m－10=0，三种生产方案获利相等；当m＞10时，x=40时，利润最大，即A型40台，B型60台。
评注：此类问题的解题思路是：根据题意建立利润的一次函数，确定自变量的取值范围，在自变量的取值范围内，根据k值的正负，利用一次函数的增减性，求出最大利润。
二、二次函数型
（一）在顶点处取最值的问题
例3：某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个。根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个。
（1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元，这种篮球每月的销售量是 个（用x的代数式表示）；
（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应为多少元？
解：（1）根据题意，利润=售价—进价，所以销售每个篮球所获得的利润是（50+x）-40=（10+x）元，这种篮球每月的销售量是（500-10x）个。
（2）设月销售利润为y元，由题意得y=（10+x）（500-10x），整理得y=-10（x-20）2+9000。易知当x=20，售价为70元时，y有最大值9000。因此，8000元不是最大利润，最大利润是9000元，此时篮球的售价是70元。
（二）有限制条件的最值问题
例4：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。
（1）求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数关系式。
（2）求该批发商平均每天的销售利润 w（元）与售价 x（元/箱）之间函数关系式。
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）y=90－3（x－50），化简得y=-3x+240；
（2）w=（x－40）（－3x+240）=－3x2+360x－9600；
（3）w=－3x2+360x－9600，∵a＜0，∴抛物线开口向下，当x=－■=60时，w有最大值。又因为x＜60，w随x的增大而增大，所以，当x=55时，w的最大值为1125元。∴当每箱苹果的销售价为55元，可以获得最大利润，最大利润是1125元。
例5：如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃．设花圃的一边AB为x m，面积为y m2。
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（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成比63m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由。
解：（1）y＝x（30－3x），即y＝－3x2＋30x；
（2）当y＝63时，有－3x2＋30x＝63，解此方程得x1＝7，x2＝3。当x＝7时，30－3x＝9＜10，符合题意；当x＝3时，30－3x＝21＞10（不符合题意舍去），所以当AB的长为7m时，花圃的面积为63平方米。
（3）∵y＝－3x2＋30x＝－3（x－5）2＋75，由题意得0＜30－3x≤10，解得■≤x＜10。又当x＞5时，y随x的增大而减小，所以，当x＝■m时面积最大，最大面积为66■m2。
评注：利用二次函数的顶点坐标求最大值是大家熟悉的最值问题，当顶点处的最大值不存在的时候，就要注意在自变量的取值范围内，利用对称轴左右两侧函数的增减性来确定最大值。
以上几例选自近年的中考试题，掌握这类问题的解决思路和方法，能让学生感受到数学知识的应用价值，培养学生应用知识解决问题的能力。
（责编 张晶晶）