论文部分内容阅读
二元一次不等式的证明是高中数学的一个难点，它将函数、导数、不等式等诸多知识融为一体，充分考查了学生综合解决问题的能力及转化和化归的数学思想，下面依托于一些具体问题谈谈二元一次不等式证明的两大策略.
策略一换元转化法
对二元一次不等式进行合理变形后实施代数换元，进而实现二元向一元的转化，这种方法本文称之为换元转化法.
例1已知函数f （x）=lnx-a（x-1）x+1，（1）若函数f （x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围.（2）设m，n∈（0，+∞）且m≠n，求证：m-nlnm-lnn 分析：本题第（1）问是导数题中一类常规问题，利用导数易求得参数a的取值范围是（-∞，2]，对于问题（2），注意到目标不等式具有对称性，可对其作合理的变化后进行“比值”换元.令t=mn，进而将问题转化为关于t的一元不等式证明这一大家所熟知的问题上来.
解：（1）a∈（-∞，2] （过程略）.
（2）因为n，m∈（0，+∞），且m≠n，不失一般性，不妨设m>n>0，于是：要证原不等式成立只需证：mn-1lnmn2（mn-1）mn+1.令t=mn，t>1，从而只需证：lnt>2（t-1）t+1（t>1）.由（1）知：当a≤2时f （x）在（0，+∞）上单调增函数，而t>1，故f （t）>f （1）=0，即lnt>2（t-1）t+1，原不等式得证.
评注：在换元转化法中，着重于已知条件与目标式子结构形式上特点的分析是问题得以成功转化的关键，其中通过对目标不等式合理变形后进行“比值”换元来实现二元向一元的转化是换元转化法中一重要处理手段.
例2已知函数f （x）=2lnx-x2.
（1）若方程f （x）+m=0在[1e，e]内有两个不等的实根，求实数m的取值范围（e为自然对数的底数）；
（2）如果函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）且0 分析：本题第（1）问是函数中一类常规问题，利用函数图象数形结合可得m∈[1，2+1e2]，对于问题（2）其关键是消元，在消元过程中要善于发现元与元之间的联系.为此，可试着将A、B两点坐标代入方程，将a用x1、x2表示出来，然后对目标式子合理变形，适当转化，最后通过代数换元实现二元向一元的转化.
该类方法的关键是如何结合题目条件对目标不等式进行合理变形，适当转化，进而利用代数换元来实现二元向一元的转化.为此，在问题的求解中，多注重于题设条件与目标式子结构形式上的特征分析，去差异，找联系，挖掘式子内在的函数关系.
策略二转换视角转化法
在证明二元一次不等式时，通过转换视角，将两个变量其中一个视为自变量，另一个视为参变量，进而将问题转化为一元不等式的证明，这种方法本位称之为转换视角转化法.
例3若0≤blna+1b+1.
分析：由于区间[b，a]的端点a，b就是所证不等式涉及的两个变量，因此只要把其中一个端点设为自变量，另一个端点视为参变量，即可将问题转化为证明给定区间端点含字母参数的一元不等式.
证明：令F（x）=ex-b-1-lnx+1b+1，则F′（x）=ex-b-1x+1=（x+1）ex-b-1x+1，又x≥b≥0时，ex-b≥1，从而（x+1）ex-b≥x+1>1.于是：x∈[b，+∞）时，F′（x）>0，即F（x）在[b，+∞）上单调递增，所以x≥b时，F（x）>F（b）=0.又a>b，于是取x=a，则有F（a）>0，即：ea-b-1>lna+1b+1，原命题得证.
点评：对于含有两个（或多个）参变量的不等式证明，通过转换视角，将其中一个视为主元，其余的视为辅元，进而实现二元（多元）向一元的转化，最后借助已知函数的性质（或新构造的函数的性质的探究）来分析求解也是我们常见的解题套路.
策略一换元转化法
对二元一次不等式进行合理变形后实施代数换元，进而实现二元向一元的转化，这种方法本文称之为换元转化法.
例1已知函数f （x）=lnx-a（x-1）x+1，（1）若函数f （x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围.（2）设m，n∈（0，+∞）且m≠n，求证：m-nlnm-lnn
解：（1）a∈（-∞，2] （过程略）.
（2）因为n，m∈（0，+∞），且m≠n，不失一般性，不妨设m>n>0，于是：要证原不等式成立只需证：mn-1lnmn
评注：在换元转化法中，着重于已知条件与目标式子结构形式上特点的分析是问题得以成功转化的关键，其中通过对目标不等式合理变形后进行“比值”换元来实现二元向一元的转化是换元转化法中一重要处理手段.
例2已知函数f （x）=2lnx-x2.
（1）若方程f （x）+m=0在[1e，e]内有两个不等的实根，求实数m的取值范围（e为自然对数的底数）；
（2）如果函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）且0
该类方法的关键是如何结合题目条件对目标不等式进行合理变形，适当转化，进而利用代数换元来实现二元向一元的转化.为此，在问题的求解中，多注重于题设条件与目标式子结构形式上的特征分析，去差异，找联系，挖掘式子内在的函数关系.
策略二转换视角转化法
在证明二元一次不等式时，通过转换视角，将两个变量其中一个视为自变量，另一个视为参变量，进而将问题转化为一元不等式的证明，这种方法本位称之为转换视角转化法.
例3若0≤b
分析：由于区间[b，a]的端点a，b就是所证不等式涉及的两个变量，因此只要把其中一个端点设为自变量，另一个端点视为参变量，即可将问题转化为证明给定区间端点含字母参数的一元不等式.
证明：令F（x）=ex-b-1-lnx+1b+1，则F′（x）=ex-b-1x+1=（x+1）ex-b-1x+1，又x≥b≥0时，ex-b≥1，从而（x+1）ex-b≥x+1>1.于是：x∈[b，+∞）时，F′（x）>0，即F（x）在[b，+∞）上单调递增，所以x≥b时，F（x）>F（b）=0.又a>b，于是取x=a，则有F（a）>0，即：ea-b-1>lna+1b+1，原命题得证.
点评：对于含有两个（或多个）参变量的不等式证明，通过转换视角，将其中一个视为主元，其余的视为辅元，进而实现二元（多元）向一元的转化，最后借助已知函数的性质（或新构造的函数的性质的探究）来分析求解也是我们常见的解题套路.