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“综合与实践”作为一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动，她基于已有的知识和经验，经历自主探索，在获得深刻数学理解的同时，感悟基本数学思想，积累数学活动经验，孕育良好的学科情怀。如何实现数学综合实践活动的本真境界？下面以《奇妙的图形密铺》为例谈谈自己的实践与思考。
【教学片断】
1. 实践探究。
师：通过操作验证知道有些图形可以密铺，有些图形不能密铺，你有没有考虑这与什么有关呢？
生1：可能与图形的形状有关
生2：可能与图形的边有关，圆没有边也没有角所以圆不能密铺。
师：圆的边是曲的再怎么靠也靠不到一起，圆确实不能密铺。正五边形的边是直的也有角，为什么也不能密铺呢？而平行四边形、等边三角形、等腰梯形的边是直的也有角却能密铺，你觉得图形能否密铺到底与什么有关呢？
师：实践出真知，先用等边三角形来实验（用等边三角形动态呈现密铺过程），观察到了什么？
生3：6个等边三角形铺在一起，6个角正好围成一圈。
生4： 6个等边三角形铺在平面上，围绕公共顶点正好形成一个周角。
师：等边三角形一个内角是60°度，3个60°角拼在一起正好形成180°平角，再加上三个这样的角也是180°，合在一起正好形成360°的周角，等边三角形可以密铺。
生5：看来真的和角的度数有很大关系呢！
师：通过动手铺一铺，已经知道 可以密铺，说说平行四边形为什么可以密铺？
生6：我想象平行四边形向上平移，向右上平移，向右平移，围绕公共顶点可以铺成360度周角。
生7：由于等边三角形可以密铺， 平行四边形可以分成两个三角形，所以平行四边形也可以密铺。
生8：平行四边形内角和是360°，四个角围绕在公共顶点形成360°周角可以密铺。
追问：等腰梯形呢？正五边形呢？为什么不能密铺？
一个内角108°，2个内角拼起来216°，3个内角呢？再放一个角呢？（重叠，结合讲解动态呈现正五边形铺的过程。）
2.解释应用。
师：回过头来看一看（再现课始出示的用正方形、长方形、正六边形瓷砖密铺的地面）：生活中的这些地面分别是由哪些图形密铺而成的？
为什么正方形、长方形、正六边形可以密铺？（出现了不同的意见。）
师：（交互式白板动态演示正六边形密铺的过程）正六边形一个内角是120°，2个铺在一起呢？（240°）三个铺在一起呢？（360°）三个正六边形铺在一起形成360°周角，所以正六边形可以密铺。
3. 拓展延伸。
（1）深入探究正多边形的密铺。
①正三角形、正方形能密铺、正五边形不能密铺，正六边形能密铺，那正七边形、正八边形、正九边形、正十边形呢？更多边的正多边形呢？
生1：正多边形的一个内角最大不能超过180°，要是平角就不能围成正多边形了，正六边形往后的正多边形的角都大于120°小于180°，不可能拼成360°周角，所以这些正多边形都不能密铺。
生2：正多边形内角的度数随着边数的增多而增大，正六边形一个内角是120°，正七边形、正八边形、正九边形……甚至更多边的正多边形的一个内角都大于120°而小于180°，2个180°是360°，三个120°是360°，而正七边形、正八边形、正九边形……甚至更多边的正多边形铺在一起都不能铺成360°周角，所以不能密铺。
生3：我发现了正多边形中只有正三角形、正方形可以密铺，正六边形是能密铺的正多边形中边数最多的。
②揭示蜂房的奥秘。
（课件展示蜂巢的图片）大自然的能工巧匠、聪明的小蜜蜂就是利用这一原理——用能密铺的正多边形中边数最多的正六边形来做蜂房，使储物空间达到最大。
（2） 深入探究任意三角形和任意四边形的密铺。
①等边三角形可以密铺，那么任意的三角形是不是也可以密铺呢？（学生出现不同的意见）
师：谁来说说自己的想法？为什么？生1：两个完全一样的任意三角形可以拼成平行四边形，平行四边形可以密铺，所以任意三角形也可以密铺。（学生用白板动态演示任意三角形密铺的过程。）
生2：三角形的内角和是180°，三个三角形拼在一起形成180°角，再倒过来这三个三角形一样形成180°角，合在一起，即围绕公共顶点形成360°周角，任意三角形可以密铺。
②正方形、长方形、平行四边形、等腰梯形这些特殊的四边形可以密铺，那么任意四边形呢？（课件出示一个任意四边形。）
生：四边形的内角和都是360°，围绕其中一个角的顶点可以拼成360°周角（用白板演示任意四边形密铺的过程。）
（3）小结：研究到这里，大家发现图形能否密铺的秘密了吗？
师：正如同学们所说的那样：只要一种图形铺在平面上，围绕公共顶点形成360度的周角，它就可以密铺。
……
【教学反思】
本课借助图形密铺的素材，给学生提供了一个参与学习、亲身体验、获取经验和丰富感知的舞台，引导学生通过观察、实验、猜测、推理、验证等数学探索活动，尤为突出“做”、突出“过程”、注重培养学生应用意识和创新意识。具体表现在：
1.注重实践，优选形式。在数学综合实践活动中，注重学生自主参与、全程参与，重视学生积极动脑、动手、动口。片断中学生借助互动学习工具的克隆、拖动、旋转、组合等功能在电脑上实践操作，通过“铺一铺”验证自己的猜想，发现：“有些图形可以密铺，有些图形不能密铺”，灵动的思维，深入的思考激起学生质疑：“图形能否密铺可能与什么有关呢？”儿童的思维特点是从形象思维逐步向抽象思维过度，在形象思维阶段往往又要依靠事物或动作行为为思维的起点。片断中学生利用等边三角形等图形借助交互式白板结合问题再次实践验证，促使学生独立、自由地思考，把操作过程中获得的直观感知进行内化形成表象：等边三角形、平行四边形、等腰梯形围绕公共顶点可以铺成360°周角，正五边形不能围绕公共顶点铺成360°周角，由动作思维逐步过渡到具体思维。伴随着操作、思考，学生用语言总结表达操作、思考的过程，强化操作引起的形象思维，从而摆脱对直观思维的依赖，最终发现：“把平面图形铺在一个平面上围绕在公共顶点可以铺成360°的周角，这样的图形就可以密铺。”学生动手、动脑、动口参与知识形成过程，调动全体学生的学习积极性，从每个学生的基础水平和个性差异出发，让不同层次的学生拥有同等参与学习活动的机会，实现有差异发展。
2.注重综合，关注内容。在数学综合实践活动中，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用。片断中学生在了解图形密铺的原由后，理论联系实际，运用密铺知识解决生活问题：为什么正方形、长方形及正六边形地砖可以密铺？学生感到在学有用的数学，激起学生热爱数学的情感。一波未平一波又起，顺应学生思维发展，从纵横两个方向质疑：第一，正三角形、正方形、正六边形能密铺，正五边形不能密铺，其他的正多边形都能密铺吗？一石激起千层浪，学生们陷入深度思考，面对这一挑战性的问题，学生不可能穷尽对所有正多边形的验证，而是综合利用角和正多边形的相关知识及求正多边形内角和等知识从数学视角利用密铺的本质进行推理探究，正七边形、正八边形……甚至更多边的正多边形都不能密铺，正多边形中只有正三角形、正方形、正六边形可以密铺，正六边形是能密铺的正多边形中边数最多的，进而揭示蜂房奥秘，有机渗透我们人类要与小蜜蜂和平共处的人文精神。第二，任意三角形、任意四边形能密铺吗？困能激思，惑能启智，创设有利于学生思考的时空，实践探究，再次把学生的思维推向深处，在解决问题的过程中不断地积累解决问题的经验。形成“全面关注、平等对话、资源共享”的课堂教学文化。真正以学生发展为本，深入学生思维深处，将学生的思维从具象水平提升到抽象水平，更进一步逼近数学的本质。
【教学片断】
1. 实践探究。
师：通过操作验证知道有些图形可以密铺，有些图形不能密铺，你有没有考虑这与什么有关呢？
生1：可能与图形的形状有关
生2：可能与图形的边有关，圆没有边也没有角所以圆不能密铺。
师：圆的边是曲的再怎么靠也靠不到一起，圆确实不能密铺。正五边形的边是直的也有角，为什么也不能密铺呢？而平行四边形、等边三角形、等腰梯形的边是直的也有角却能密铺，你觉得图形能否密铺到底与什么有关呢？
师：实践出真知，先用等边三角形来实验（用等边三角形动态呈现密铺过程），观察到了什么？
生3：6个等边三角形铺在一起，6个角正好围成一圈。
生4： 6个等边三角形铺在平面上，围绕公共顶点正好形成一个周角。
师：等边三角形一个内角是60°度，3个60°角拼在一起正好形成180°平角，再加上三个这样的角也是180°，合在一起正好形成360°的周角，等边三角形可以密铺。
生5：看来真的和角的度数有很大关系呢！
师：通过动手铺一铺，已经知道 可以密铺，说说平行四边形为什么可以密铺？
生6：我想象平行四边形向上平移，向右上平移，向右平移，围绕公共顶点可以铺成360度周角。
生7：由于等边三角形可以密铺， 平行四边形可以分成两个三角形，所以平行四边形也可以密铺。
生8：平行四边形内角和是360°，四个角围绕在公共顶点形成360°周角可以密铺。
追问：等腰梯形呢？正五边形呢？为什么不能密铺？
一个内角108°，2个内角拼起来216°，3个内角呢？再放一个角呢？（重叠，结合讲解动态呈现正五边形铺的过程。）
2.解释应用。
师：回过头来看一看（再现课始出示的用正方形、长方形、正六边形瓷砖密铺的地面）：生活中的这些地面分别是由哪些图形密铺而成的？
为什么正方形、长方形、正六边形可以密铺？（出现了不同的意见。）
师：（交互式白板动态演示正六边形密铺的过程）正六边形一个内角是120°，2个铺在一起呢？（240°）三个铺在一起呢？（360°）三个正六边形铺在一起形成360°周角，所以正六边形可以密铺。
3. 拓展延伸。
（1）深入探究正多边形的密铺。
①正三角形、正方形能密铺、正五边形不能密铺，正六边形能密铺，那正七边形、正八边形、正九边形、正十边形呢？更多边的正多边形呢？
生1：正多边形的一个内角最大不能超过180°，要是平角就不能围成正多边形了，正六边形往后的正多边形的角都大于120°小于180°，不可能拼成360°周角，所以这些正多边形都不能密铺。
生2：正多边形内角的度数随着边数的增多而增大，正六边形一个内角是120°，正七边形、正八边形、正九边形……甚至更多边的正多边形的一个内角都大于120°而小于180°，2个180°是360°，三个120°是360°，而正七边形、正八边形、正九边形……甚至更多边的正多边形铺在一起都不能铺成360°周角，所以不能密铺。
生3：我发现了正多边形中只有正三角形、正方形可以密铺，正六边形是能密铺的正多边形中边数最多的。
②揭示蜂房的奥秘。
（课件展示蜂巢的图片）大自然的能工巧匠、聪明的小蜜蜂就是利用这一原理——用能密铺的正多边形中边数最多的正六边形来做蜂房，使储物空间达到最大。
（2） 深入探究任意三角形和任意四边形的密铺。
①等边三角形可以密铺，那么任意的三角形是不是也可以密铺呢？（学生出现不同的意见）
师：谁来说说自己的想法？为什么？生1：两个完全一样的任意三角形可以拼成平行四边形，平行四边形可以密铺，所以任意三角形也可以密铺。（学生用白板动态演示任意三角形密铺的过程。）
生2：三角形的内角和是180°，三个三角形拼在一起形成180°角，再倒过来这三个三角形一样形成180°角，合在一起，即围绕公共顶点形成360°周角，任意三角形可以密铺。
②正方形、长方形、平行四边形、等腰梯形这些特殊的四边形可以密铺，那么任意四边形呢？（课件出示一个任意四边形。）
生：四边形的内角和都是360°，围绕其中一个角的顶点可以拼成360°周角（用白板演示任意四边形密铺的过程。）
（3）小结：研究到这里，大家发现图形能否密铺的秘密了吗？
师：正如同学们所说的那样：只要一种图形铺在平面上，围绕公共顶点形成360度的周角，它就可以密铺。
……
【教学反思】
本课借助图形密铺的素材，给学生提供了一个参与学习、亲身体验、获取经验和丰富感知的舞台，引导学生通过观察、实验、猜测、推理、验证等数学探索活动，尤为突出“做”、突出“过程”、注重培养学生应用意识和创新意识。具体表现在：
1.注重实践，优选形式。在数学综合实践活动中，注重学生自主参与、全程参与，重视学生积极动脑、动手、动口。片断中学生借助互动学习工具的克隆、拖动、旋转、组合等功能在电脑上实践操作，通过“铺一铺”验证自己的猜想，发现：“有些图形可以密铺，有些图形不能密铺”，灵动的思维，深入的思考激起学生质疑：“图形能否密铺可能与什么有关呢？”儿童的思维特点是从形象思维逐步向抽象思维过度，在形象思维阶段往往又要依靠事物或动作行为为思维的起点。片断中学生利用等边三角形等图形借助交互式白板结合问题再次实践验证，促使学生独立、自由地思考，把操作过程中获得的直观感知进行内化形成表象：等边三角形、平行四边形、等腰梯形围绕公共顶点可以铺成360°周角，正五边形不能围绕公共顶点铺成360°周角，由动作思维逐步过渡到具体思维。伴随着操作、思考，学生用语言总结表达操作、思考的过程，强化操作引起的形象思维，从而摆脱对直观思维的依赖，最终发现：“把平面图形铺在一个平面上围绕在公共顶点可以铺成360°的周角，这样的图形就可以密铺。”学生动手、动脑、动口参与知识形成过程，调动全体学生的学习积极性，从每个学生的基础水平和个性差异出发，让不同层次的学生拥有同等参与学习活动的机会，实现有差异发展。
2.注重综合，关注内容。在数学综合实践活动中，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用。片断中学生在了解图形密铺的原由后，理论联系实际，运用密铺知识解决生活问题：为什么正方形、长方形及正六边形地砖可以密铺？学生感到在学有用的数学，激起学生热爱数学的情感。一波未平一波又起，顺应学生思维发展，从纵横两个方向质疑：第一，正三角形、正方形、正六边形能密铺，正五边形不能密铺，其他的正多边形都能密铺吗？一石激起千层浪，学生们陷入深度思考，面对这一挑战性的问题，学生不可能穷尽对所有正多边形的验证，而是综合利用角和正多边形的相关知识及求正多边形内角和等知识从数学视角利用密铺的本质进行推理探究，正七边形、正八边形……甚至更多边的正多边形都不能密铺，正多边形中只有正三角形、正方形、正六边形可以密铺，正六边形是能密铺的正多边形中边数最多的，进而揭示蜂房奥秘，有机渗透我们人类要与小蜜蜂和平共处的人文精神。第二，任意三角形、任意四边形能密铺吗？困能激思，惑能启智，创设有利于学生思考的时空，实践探究，再次把学生的思维推向深处，在解决问题的过程中不断地积累解决问题的经验。形成“全面关注、平等对话、资源共享”的课堂教学文化。真正以学生发展为本，深入学生思维深处，将学生的思维从具象水平提升到抽象水平，更进一步逼近数学的本质。