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刘加霞
北京教育学院初等教育学院院长，教育心理学博士，教授，教育部国培专家库成员;提出“把握数学本质是一切教学法的根”“实证研究学生是有效教学的根本”“培训实质是改变与创新”等观点，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《课程教材教法》《中国教育学刊》《中小学管理》《人民教育》《小学数学教师》《小学教学》等期刊发表论文百余篇，著作有《小学数学有效教学》《小学数学有效学习评价》《小学数学课堂教学设计》等。
华罗庚先生曾经说过：“数（shǔ）产生数（shù），量（liánɡ）产生量（liànɡ）”。数“计数单位”的个数产生数，数“计量单位”的个数产生量。数数即获知集合元素个数的多少，它是认识自然数的前提，也是认识四则运算、测量、探索规律以及倍比关系的重要抓手。数数内涵丰富而深刻，它贯穿小学数学内容的始终，是最重要、最基础的活动，甚至可以说“没有‘数数’解决不了的问题”。小学生数数活动的不同发展阶段各有其教育意蕴。
一、利用“唱数”，初步感知十进制思想
数数活动的第一阶段是“唱数”（也叫记忆计数），即像唱歌似的一个接一个地“唱出”各个数词。由于汉语一字一音，有节奏、有韵律，儿童初始“数数”行为类似于念歌谣，并不理解自然数的意义。但是，儿童通过唱数能够初步感知自然数的顺序与大小——先唱的在前面（小），后唱的在后面（大），挨着唱的两个数相邻。唱数是正确“数出”物品个数的基础。中国家庭和幼儿园都非常重视唱数，很多儿童在上小学前就能较顺利地“唱到50”（可能在唱数“拐弯数”时会有停顿或者出现个别错误），初步感知自然数遵循十进制原则，这为他们进一步学习数学奠定了基础。
唱数需要用汉语正确地读数，但是读数与写数不完全一致，尤其数中有“0”时。读数符合伊夫斯在《数学史概论》中提出的“乘法分群记数法”，即在选定10作为数基后，用一组符号表示1、2……9、0（用汉语说就是一、二……九、零），再用第二组符号表示10、102、103、104……，即十、百、千、万，等等。把这两组符号按照从高位到低位的顺序从左到右（古代是从上到下）排列出来，就能表示出任意自然数。例如，25读作“二十五”;2003读作“二千零三”。读数蕴含十进制原理，但没有位值制思想，因此不能用数字所在“位置”表示其大小，需要创造无数个“词”来表示计数单位。例如“千亿”的下一个计数单位是“兆”，然后是“十兆、百兆、千兆”（四位一级）;再下一个计数单位是“京”，等等。目前最大的计数单位是“古戈尔”，即10的10次幂，“谷歌”就是根据这个词命名的。当然，若有需要，还可创造“新词”以表示更大的计数单位。
目前全世界通用印度—阿拉伯十进位值制记数法来写数，这种记数法同时遵循十进制（满十进一，每个“位置”上的最大数字是9）与位值制（数字所在的“位置”决定其大小）原则，因此，0的“占位作用”非常重要。由于读数时“0”有一些特殊读法，所以读、写带“0”的数是学习难点。例如，将读数“十一”错写成“101”，“五万零四十”错写成“50000040”。
会读数和写数（记录数）是数数活动的意义所在。读数的法则到底是什么，目前有一定争议，笔者认为只要能够正确表达、交流、运用“数”，没有必要一定按照某种读数法则读数（考试不应该考读数、写数）。例如，20003读作“二万零三”，也可以读作“二个万零个千零个百零个十加三”，虽然读起来麻烦，但清楚地表达了各个计数单位及其个数，这是数概念的本质。
二、数“计数单位”，理解数概念的本质
“数出”自然数不同计数单位的个数，再累加起来就得到这个自然数。例如，235就是“2个百 3个十 5个一”。小数的构成与此完全相同，也遵循十进位值制原则。分数也是通过数“分数单位”的个数得到的，例如[78]就是7个[18]。由于每一个分数的计数单位不唯一且有无数个计数单位，相应地计数单位的个数也有无数个，即分数具有它独特的性质（分子、分母同时乘或除以同一个非零的数，其大小不变），所以分数的构成比自然数、小数更复杂。分数的这一特性导致每一个分数都“灵活多变”，有无数个“替身（等值分数）”，所以掌握分数的意义、性质以及四则运算等都比较困难。数学直觉派代表人物克罗内克提出，自然数是上帝创造的，其他的数都是人造的。自然数是认识小数、分数及其他数学知识的根基，其发展经历手指计数、结绳计数、象形符号表示数等过程，是非常漫长的。
瑞士心理学家皮亚杰指出，数（自然数）不是某个东西的名称，它是事物与事物之间的相互关系，表明的是一个物体在一个序列中的位置以及一组物体中包含了多少个物体，这种关系不是直接用语言来教的，而是儿童通过感知、操作活动，在动作中体验、发现、创造的。因此，小学生自然数概念的形成不是可以教会的，必须经历边实际操作边数数的过程，通过对具体数量的体验和感悟抽象而來。理解自然数的多重含义离不开数数活动。
在唱数基础上，数出物品的个数，抽象出自然数，理解自然数的基数含义，是数数活动的第二重教育意蕴。此阶段儿童的数数活动必须遵循以下原则，否则得不到物品总个数：一个数词对应一个数过的物品;按正确顺序说出数词;计数可以从所数物品中的任何一个开始，但不要重复和遗漏;基数原则，即最后一个数词是所有数过物品的总数。
小学生的数数活动有不同阶段，具体可以分为：①感知计数阶段：0～4个以内的物品不需要数数也能知道其多少。②理解计数阶段：5个及以上的物品需要数一数才能知道有多少。该阶段主要有一一点数和按群计数（例如2个2个地数、4个4个地继续数。这种方法需要不断地“做加法”，学生极容易得出错误结果）两种数数方法。③在半形象半抽象的数尺、数线或数轴上数数：“数”与数轴上的“点”建立一一对应关系。这样既可以在数轴上表示数，也可以在数轴上通过“数数”进行四则运算。
后文将进一步论述上述第三个阶段，下面笔者深入分析影响第一、二个阶段数数活动的因素：所数对象的物理属性、个数多少、排列方式、结构化程度等。如前所述，0～4个物品不需要逐一点数，凭借人的本能即可知道个数;当数目大于5个时，遵循一一对应思想数数，就不会数重、数漏。所数对象的排列方式、密集程度等因素影响小学生的数数能力，所数对象如果有顺序、有结构地摆放就容易计数，如果无结构、散乱地摆放则容易数错。另外，所数对象的物理属性要相同，例如数教室里有多少人、多少盏灯等相同物品的个数。 教学中，为学生提供可操作的直观化学具（最好不用带“图”的卡片以及糖果等，这些材料的某些特征容易分散学生的注意力）非常重要。这样的学具分三个层次：一是齐性（每一个的物理特征都相同，表示的意义也相同）、无结构的直观化学具，例如散的小棒、豆子、纽扣、第纳斯（Dienes）木块等;二是有结构的直观化学具，例如十根一小捆、百根一大捆的小棒;三是有结构的半直观半抽象化学具，例如算盘、计数器。这些学具，能帮助小学生在操作与数数活动中逐步理解“数位”，进而深入理解用印度—阿拉伯十进位值制记数法表示出来的自然数。
三、在数轴上“数出”四则运算的结果，多视角理解运算
“数”在数尺、数线或数轴上有两种含义：一是表示数轴上的点，一个数与一个点建立一一对应关系;二是用数表示数轴上线段的长度。当以“0”为起点时，这两种含义相同。在数轴上表示数，只能刻画数的大小顺序，蕴含着数形结合思想，但不能凸显“数”概念所蕴含的十进制、位值制思想。例如，下述问题“谁离胡萝卜更近（如图1）”“填上数（如图2）”就是在数尺上认识数的相对大小，这个内容较为抽象，能丰富小学生对“数”概念的理解。
数数活动与四则运算密切相关。例如，向前（右）继续数就是加法;往后（左）倒着数就是减法;几个几个地往前数就是乘法;几个几个地往后数就是除法，能够数到“0”就是整除，不能数到“0”且还剩几个就是有余数除法。通过数数得到计算结果是“最原始”的方法，其思维含量较高。例如求“6 3=？”用数数的方法获得结果就需要学生进行“二重计数”（此概念出自朱莉娅·安吉莱瑞《如何培养学生的数感》）：继续数3个数，数到了9，所以结果是9。在此过程中还有一个难点，即要从7而不是6开始数。
在数尺（数线、数轴）上进行数数活动，为学生理解四则运算提供了新视角（渗透数形结合思想），很多教材都设计了该类学习任务（如图3、图4）。
这类学习任务对很多学生来说都有难度，解题时要把算式中的一个加数（被减数）看作数尺上的“点”，另一个加数（减数）看作“线段”，计算的结果又是数尺上的“点”。
弗赖登塔尔认为，这种解释缺乏对称性，从文法上分析，一个是运算的直接对象，另一个却是间接的，有的数是“点”，有的数是“线段”，这种方法对学生而言很难。基于此，他提出了运算的“算子解释”法，即用数轴上的“有向线段（刚性的小棒）”表示算式中的每一个数。例如“3”不是数轴上的“点”，而是将每一“点”向右移动3个单位的映射，也就是用长度是3的带箭头的线段表示，3 5就是长度是3和5的两个有向线段首位相接，得到长度是8的有向线段。
数数活动具有丰富的教育意蕴。数数活动除了数出集合元素的个数，进一步理解运算以外，2个2个地数、5个5个地数等方法，还可以帮助小学生感悟数列的变化规律，进一步认识数的特性。例如5个一数，末尾的数要么是0，要么是5。数数活动蕴含着丰富的数学思想。例如“点数”时，學生必然要用到一一对应原则，一一对应是学习函数的思想方法储备。另外，在数数时，学生必须有序地数，有序地观察，有序地思考，“有序”也是数学的重要思想方法。
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北京教育学院初等教育学院院长，教育心理学博士，教授，教育部国培专家库成员;提出“把握数学本质是一切教学法的根”“实证研究学生是有效教学的根本”“培训实质是改变与创新”等观点，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《课程教材教法》《中国教育学刊》《中小学管理》《人民教育》《小学数学教师》《小学教学》等期刊发表论文百余篇，著作有《小学数学有效教学》《小学数学有效学习评价》《小学数学课堂教学设计》等。
华罗庚先生曾经说过：“数（shǔ）产生数（shù），量（liánɡ）产生量（liànɡ）”。数“计数单位”的个数产生数，数“计量单位”的个数产生量。数数即获知集合元素个数的多少，它是认识自然数的前提，也是认识四则运算、测量、探索规律以及倍比关系的重要抓手。数数内涵丰富而深刻，它贯穿小学数学内容的始终，是最重要、最基础的活动，甚至可以说“没有‘数数’解决不了的问题”。小学生数数活动的不同发展阶段各有其教育意蕴。
一、利用“唱数”，初步感知十进制思想
数数活动的第一阶段是“唱数”（也叫记忆计数），即像唱歌似的一个接一个地“唱出”各个数词。由于汉语一字一音，有节奏、有韵律，儿童初始“数数”行为类似于念歌谣，并不理解自然数的意义。但是，儿童通过唱数能够初步感知自然数的顺序与大小——先唱的在前面（小），后唱的在后面（大），挨着唱的两个数相邻。唱数是正确“数出”物品个数的基础。中国家庭和幼儿园都非常重视唱数，很多儿童在上小学前就能较顺利地“唱到50”（可能在唱数“拐弯数”时会有停顿或者出现个别错误），初步感知自然数遵循十进制原则，这为他们进一步学习数学奠定了基础。
唱数需要用汉语正确地读数，但是读数与写数不完全一致，尤其数中有“0”时。读数符合伊夫斯在《数学史概论》中提出的“乘法分群记数法”，即在选定10作为数基后，用一组符号表示1、2……9、0（用汉语说就是一、二……九、零），再用第二组符号表示10、102、103、104……，即十、百、千、万，等等。把这两组符号按照从高位到低位的顺序从左到右（古代是从上到下）排列出来，就能表示出任意自然数。例如，25读作“二十五”;2003读作“二千零三”。读数蕴含十进制原理，但没有位值制思想，因此不能用数字所在“位置”表示其大小，需要创造无数个“词”来表示计数单位。例如“千亿”的下一个计数单位是“兆”，然后是“十兆、百兆、千兆”（四位一级）;再下一个计数单位是“京”，等等。目前最大的计数单位是“古戈尔”，即10的10次幂，“谷歌”就是根据这个词命名的。当然，若有需要，还可创造“新词”以表示更大的计数单位。
目前全世界通用印度—阿拉伯十进位值制记数法来写数，这种记数法同时遵循十进制（满十进一，每个“位置”上的最大数字是9）与位值制（数字所在的“位置”决定其大小）原则，因此，0的“占位作用”非常重要。由于读数时“0”有一些特殊读法，所以读、写带“0”的数是学习难点。例如，将读数“十一”错写成“101”，“五万零四十”错写成“50000040”。
会读数和写数（记录数）是数数活动的意义所在。读数的法则到底是什么，目前有一定争议，笔者认为只要能够正确表达、交流、运用“数”，没有必要一定按照某种读数法则读数（考试不应该考读数、写数）。例如，20003读作“二万零三”，也可以读作“二个万零个千零个百零个十加三”，虽然读起来麻烦，但清楚地表达了各个计数单位及其个数，这是数概念的本质。
二、数“计数单位”，理解数概念的本质
“数出”自然数不同计数单位的个数，再累加起来就得到这个自然数。例如，235就是“2个百 3个十 5个一”。小数的构成与此完全相同，也遵循十进位值制原则。分数也是通过数“分数单位”的个数得到的，例如[78]就是7个[18]。由于每一个分数的计数单位不唯一且有无数个计数单位，相应地计数单位的个数也有无数个，即分数具有它独特的性质（分子、分母同时乘或除以同一个非零的数，其大小不变），所以分数的构成比自然数、小数更复杂。分数的这一特性导致每一个分数都“灵活多变”，有无数个“替身（等值分数）”，所以掌握分数的意义、性质以及四则运算等都比较困难。数学直觉派代表人物克罗内克提出，自然数是上帝创造的，其他的数都是人造的。自然数是认识小数、分数及其他数学知识的根基，其发展经历手指计数、结绳计数、象形符号表示数等过程，是非常漫长的。
瑞士心理学家皮亚杰指出，数（自然数）不是某个东西的名称，它是事物与事物之间的相互关系，表明的是一个物体在一个序列中的位置以及一组物体中包含了多少个物体，这种关系不是直接用语言来教的，而是儿童通过感知、操作活动，在动作中体验、发现、创造的。因此，小学生自然数概念的形成不是可以教会的，必须经历边实际操作边数数的过程，通过对具体数量的体验和感悟抽象而來。理解自然数的多重含义离不开数数活动。
在唱数基础上，数出物品的个数，抽象出自然数，理解自然数的基数含义，是数数活动的第二重教育意蕴。此阶段儿童的数数活动必须遵循以下原则，否则得不到物品总个数：一个数词对应一个数过的物品;按正确顺序说出数词;计数可以从所数物品中的任何一个开始，但不要重复和遗漏;基数原则，即最后一个数词是所有数过物品的总数。
小学生的数数活动有不同阶段，具体可以分为：①感知计数阶段：0～4个以内的物品不需要数数也能知道其多少。②理解计数阶段：5个及以上的物品需要数一数才能知道有多少。该阶段主要有一一点数和按群计数（例如2个2个地数、4个4个地继续数。这种方法需要不断地“做加法”，学生极容易得出错误结果）两种数数方法。③在半形象半抽象的数尺、数线或数轴上数数：“数”与数轴上的“点”建立一一对应关系。这样既可以在数轴上表示数，也可以在数轴上通过“数数”进行四则运算。
后文将进一步论述上述第三个阶段，下面笔者深入分析影响第一、二个阶段数数活动的因素：所数对象的物理属性、个数多少、排列方式、结构化程度等。如前所述，0～4个物品不需要逐一点数，凭借人的本能即可知道个数;当数目大于5个时，遵循一一对应思想数数，就不会数重、数漏。所数对象的排列方式、密集程度等因素影响小学生的数数能力，所数对象如果有顺序、有结构地摆放就容易计数，如果无结构、散乱地摆放则容易数错。另外，所数对象的物理属性要相同，例如数教室里有多少人、多少盏灯等相同物品的个数。 教学中，为学生提供可操作的直观化学具（最好不用带“图”的卡片以及糖果等，这些材料的某些特征容易分散学生的注意力）非常重要。这样的学具分三个层次：一是齐性（每一个的物理特征都相同，表示的意义也相同）、无结构的直观化学具，例如散的小棒、豆子、纽扣、第纳斯（Dienes）木块等;二是有结构的直观化学具，例如十根一小捆、百根一大捆的小棒;三是有结构的半直观半抽象化学具，例如算盘、计数器。这些学具，能帮助小学生在操作与数数活动中逐步理解“数位”，进而深入理解用印度—阿拉伯十进位值制记数法表示出来的自然数。
三、在数轴上“数出”四则运算的结果，多视角理解运算
“数”在数尺、数线或数轴上有两种含义：一是表示数轴上的点，一个数与一个点建立一一对应关系;二是用数表示数轴上线段的长度。当以“0”为起点时，这两种含义相同。在数轴上表示数，只能刻画数的大小顺序，蕴含着数形结合思想，但不能凸显“数”概念所蕴含的十进制、位值制思想。例如，下述问题“谁离胡萝卜更近（如图1）”“填上数（如图2）”就是在数尺上认识数的相对大小，这个内容较为抽象，能丰富小学生对“数”概念的理解。
数数活动与四则运算密切相关。例如，向前（右）继续数就是加法;往后（左）倒着数就是减法;几个几个地往前数就是乘法;几个几个地往后数就是除法，能够数到“0”就是整除，不能数到“0”且还剩几个就是有余数除法。通过数数得到计算结果是“最原始”的方法，其思维含量较高。例如求“6 3=？”用数数的方法获得结果就需要学生进行“二重计数”（此概念出自朱莉娅·安吉莱瑞《如何培养学生的数感》）：继续数3个数，数到了9，所以结果是9。在此过程中还有一个难点，即要从7而不是6开始数。
在数尺（数线、数轴）上进行数数活动，为学生理解四则运算提供了新视角（渗透数形结合思想），很多教材都设计了该类学习任务（如图3、图4）。
这类学习任务对很多学生来说都有难度，解题时要把算式中的一个加数（被减数）看作数尺上的“点”，另一个加数（减数）看作“线段”，计算的结果又是数尺上的“点”。
弗赖登塔尔认为，这种解释缺乏对称性，从文法上分析，一个是运算的直接对象，另一个却是间接的，有的数是“点”，有的数是“线段”，这种方法对学生而言很难。基于此，他提出了运算的“算子解释”法，即用数轴上的“有向线段（刚性的小棒）”表示算式中的每一个数。例如“3”不是数轴上的“点”，而是将每一“点”向右移动3个单位的映射，也就是用长度是3的带箭头的线段表示，3 5就是长度是3和5的两个有向线段首位相接，得到长度是8的有向线段。
数数活动具有丰富的教育意蕴。数数活动除了数出集合元素的个数，进一步理解运算以外，2个2个地数、5个5个地数等方法，还可以帮助小学生感悟数列的变化规律，进一步认识数的特性。例如5个一数，末尾的数要么是0，要么是5。数数活动蕴含着丰富的数学思想。例如“点数”时，學生必然要用到一一对应原则，一一对应是学习函数的思想方法储备。另外，在数数时，学生必须有序地数，有序地观察，有序地思考，“有序”也是数学的重要思想方法。
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