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[摘要]数学课堂应注重引导学生从低水平认知向高水平认知转变，其中，创设探究活动，让学生用分析和探究的方式去获得结论是有效途径之一。以“美丽的正多面体”教学为例，创设活动让学生经历探究的全过程，并通过反思与提炼，提升学生的研究意识，促进学生高阶思维水平的发展。
[关键词]正多面体;正多边形;探究;想象;验证
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）14-0055-03
【教前思考】
“美丽的正多面体”属于数学拓展性内容，选自《小学数学文化读本》五年级下册。原教材呈现的主要环节是让学生在认识了正多面体的概念之后，有顺序地数一数正多面体的面数、棱数和顶点数，然后通过观察发现“正多面体的面数 顶点数=棱数 2”的规律，即欧拉定理，以及正六面体和正八面体、正十二面体和正二十面体之间面数与顶点数互换的规律。教者对教材内容进行了改编，将教学的重点放在探究有多少种正多面体上，通过巧妙的环节设计和启发、引导，让学生猜想、操作、发现关键点、验证、反思等，置身于探究的全过程，在拼搭中发现奥秘，在反思中提炼方法，让探究成为整节课的核心，而将欧拉定理的发现放在课末，让学生课后自主探究，丰富学生对正多面体的数学特性的认知。
【教学目标】
1.通过观察、动手搭一搭等活动，认识正多面体，感知正多面体的特征。
2.經历提出猜想、操作讨论、推理论证等过程，得出只有5种正多面体的结论，提高推理能力、思维能力，发展空间观念和研究意识。
3.感知正多面体形状的美丽和奇妙的数学特性，感受数学之美，并在探索验证的过程中培养不断钻研的探索精神。
【教学重难点】探究一共有多少种正多面体。
【教学准备】课件;正三边形、正四边形、正五边形、正六边形磁力片学具若干。
【教学过程】
一、回顾旧知，做好知识铺垫
出示：磁力片学具上的正多边形。
师：平面有正多边形，在三维立体空间则有正多_面体。今天我们就来认识美丽的正多面体。
【教学意图：引导学生回忆各正多边形的内角度数，及正多边形随着边数的增多内角逐渐增大的特征，为后续探究正多面体的个数做好铺垫。】
二、操作实践，经历探究过程
1.认识正多面体
①直接出示正多面体的概念，学生根据概念尝试搭出正多面体。（学生大多能分别用正三边形、正四边形和正五边形磁力片搭出正四面体、正六面体和正十二面体，以及一些非正多面体）
②判断搭出的各种立体图形是否是正多面体，在辨析中明确正多面体的特征：每个面都是相同的正多边形;每个顶点所接的面数相同。
【教学意图：根据给出的概念搭正多面体，并辨析搭出的是否是正多面体，使学生初步感知到正多面体的特征，为搭正多面体埋下伏笔。】
2.探究一共有多少种正多面体
①猜想：像这样的正多面体能搭出多少种？说说理由。
（学生容易认为每种正多边形都能搭成正多面体，正多边形有无数种，从而认为正多面体也有无数种）
引发认知冲突：早在2400多年前，古希腊的哲学家柏拉图在其著作中提出“正多面体只有5种”。
【教学意图：学生通过类比推理很容易认为能搭出无数种正多面体，个别学生在之前搭的活动中发现了正六边形搭不起来，从而会认为只有3种正多面体，这时获知正多面体有5种，强烈的认知冲突极大地激发了学生探究的欲望，学生自然而然会去思考为什么是5种正多面体。】
②提出研究问题，思考研究方法。
师：为什么只有5种正多面体？还有哪2种正多面体？……一边搭一边思考，正六边形为什么搭不成正多面体？搭不搭得成与什么有关？
③探究一：哪些正多边形能搭成正多面体？
生1：拿2个正六边形拼在一起后，第3个就放不进去了，要想放进去只有铺平的时候。
师：用数学的语言来说，就是3个正六边形拼在一起，一个顶点所接的角度之和已经是360度，搭不成立体的图形。
④发现关键点，缩小范围。
师：由此可以推论，还有哪些正多边形也肯定搭不成正多面体？为什么？
生2：正七边形、正八边形……角度越大，越搭不成正多面体。
师：为什么之前用正五边形、正四边形、正三边形却可以？
生3：用3个正五边形、正四边形或正三边形拼在一起时，它们顶角的角度之和小于360度，还有空隙，就有空间能拉成一个立体的角。
（学生照样子摆一摆、拉一拉，看是否都能拉成一个立体的角）
【教学意图：用正六边形磁力片尝试搭正多面体的过程是学生积累经验的过程。教师的追问能引导学生关注到能不能搭成正多面体与一个顶点所接角度之和有关，从而缩小问题的范围。】
⑤探究二：还有哪两种正多面体？
师：一个顶点所接角度之和小于360°才有可能搭得成。经过之前的操作证明，它们确实能搭成正多面体，那还有两种呢？
生4：一个顶点所接的三角形还可以是4个或5个，因为加上三角形之后一个顶点所接的角度之和也没超过360度。
师：这样的推理有道理吗？那一个顶点多接一个四边形或五边形可以吗？为什么？
生5：不可以，那样一个顶点所接的角度之和会等于或超过360度。
⑥验证。
师：根据我们的推理，发现只有这样的另外2种可能，它们真的能搭出正多面体吗？试一试！
【教学意图：“还有哪两种正多面体？”的问题产生是水到渠成，而不是教师授意的。探究进一步深入，学生在独立思考后小组交流讨论，结合之前发现的关键点，分享初步的推理思路，促进更多学生的实质性参与。】 3.回顾探究过程
师：让我们理一理，怎么从最初猜想会有无数种正多面体，到得出只有5种正多面体的？
【教学意图：通过回顾探究的整个历程，让学生在_反思中提煉解决问题过程中的关键步骤，帮助学生建构研究一个数学问题的基本模型，并将这一模型运用到后续的探索研究之中。】
三、拓展延伸，激发探究热情
师：稀有而美丽的正多面体因为它丰富的数学特性吸引了很多数学家的研究。你们猜，数学家还会研究什么？
研究问题一：欧拉定理——多面体面数、棱数和顶点数之间的关系
研究问题二：对偶关系——不同的正多面体之间的关系
师：把正多面体每个面的中心点相连，会得到什么图形？
师：课后研究完成后，扫一扫作业单上的二维码，听听微课，发现更多正多面体的奥秘。
【教学意图：后续的作业设计旨在让学生经历猜想、想象、操作、验证等过程，用探究的方式去研究数学问题、发现数学规律，并在此过程中感受到正多面体丰富的数学特性，感受到探究的乐趣，感受到数学之美。】
四、板书设计
五、课后反思
1.巧用磁力片学具，丰富活动体验
磁力片作为益智类玩具，在韩国、日本等国家的数学课堂上被广泛使用，其最大的特点是能通过提拉，使平面图形转变为立体图形，也能轻而易举地将立体图形展开成平面图形;另外，通过磁力片可建构一个透视的中空形体，充分暴露点、线、面的特征。因此，笔者选用磁力片作为教学用具，使学生在小组合作拼搭的过程中，认识正多面体点、线、面的特征，发现能否搭成正多面体与选用的正多边形的内角度数有关。可见，巧妙借助学具的拼搭，能丰富学生的数学活动经验，使学生在操作尝试中发现搭成正多面体的关键点。
2.巧设过程教学，激发高水平认知
数学课程标准指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆。动手实践、自主探究与合作交流是学习数学的重要方式。”华东师范大学数学系鲍建生教授在《改进教学设计提高学生高层次数学思维能力》一文中也曾指出，数学教学目标分类的四层次架构中，计算——操作性记忆水平、概念——概念性记忆水平属于较低认知水平，而领会——说明性理解水平、分析——探究性理解水平则属于较高认知水平。他在研究中发现，中国的学生在领会和分析这两种高层次认知水平的能力表现上远不如计算与概念等低层次认知。因此，在教学中，教师应在重视知识传授和技能训练的同时突出教学最本质的目的——注重学生探究能力的培养，引导学生在亲身经历和探究中自主建构知识，获得丰富的内心真实体验，从而逐步培养自主探究的能力。正是基于以上的思考，笔者设计了本节课的核心环节：在学生通过类比推理，猜想会有无数种正多面体后，教师直接告知只有5种正多面体，从而引发认知冲突，那么“为什么只有5种正多面体？”“还有哪两种正多面体？”等问题的提出也就水到渠成了。从猜想到操作，发现能不能搭成的关键点，再动手验证，在整个探究与证明的过程中，教师适时追问：“为什么正六边形搭不成正多面体，而正五边形、正四边形、正三边形可以？除了搭成的3种正多面体，还有哪两种正多面体？”在学生探究的关键处巧设问题框架，突破关键点，体现教师的主导性，逐步将学生的探究引向深处。采用探究——发现式的活动形式也是本节课的最大特点。
3.巧搭探究框架，提升研究意识
数学思维品质是以深刻性为基础的，而思维的深刻性是在不断反思中实现的。在学生经历了“为什么只有5种正多面体”这样一个探究过程之后，教师适时引导学生回顾、反思整个探究过程：从探究伊始如何产生问题意识，将探究目标怎样科学地分解成若干个探究的问题和任务，并在探究过程中发现解决问题的关键点，最终通过操作来验证结论。
除了对探究过程进行反思，笔者认为运用这样的“探究支架”引导学生构建探究框架，对于探究经验不甚丰富的小学生来说也是十分有必要的。“探究支架”能把探究任务和逻辑线索合二为一，丰富学生的探究经验。最后教师在课末给出关于正多面体更多值得研究的奥秘，将能引导学生将这样的模式加以运用，从而提升研究意识。
（责编：金铃）
[关键词]正多面体;正多边形;探究;想象;验证
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）14-0055-03
【教前思考】
“美丽的正多面体”属于数学拓展性内容，选自《小学数学文化读本》五年级下册。原教材呈现的主要环节是让学生在认识了正多面体的概念之后，有顺序地数一数正多面体的面数、棱数和顶点数，然后通过观察发现“正多面体的面数 顶点数=棱数 2”的规律，即欧拉定理，以及正六面体和正八面体、正十二面体和正二十面体之间面数与顶点数互换的规律。教者对教材内容进行了改编，将教学的重点放在探究有多少种正多面体上，通过巧妙的环节设计和启发、引导，让学生猜想、操作、发现关键点、验证、反思等，置身于探究的全过程，在拼搭中发现奥秘，在反思中提炼方法，让探究成为整节课的核心，而将欧拉定理的发现放在课末，让学生课后自主探究，丰富学生对正多面体的数学特性的认知。
【教学目标】
1.通过观察、动手搭一搭等活动，认识正多面体，感知正多面体的特征。
2.經历提出猜想、操作讨论、推理论证等过程，得出只有5种正多面体的结论，提高推理能力、思维能力，发展空间观念和研究意识。
3.感知正多面体形状的美丽和奇妙的数学特性，感受数学之美，并在探索验证的过程中培养不断钻研的探索精神。
【教学重难点】探究一共有多少种正多面体。
【教学准备】课件;正三边形、正四边形、正五边形、正六边形磁力片学具若干。
【教学过程】
一、回顾旧知，做好知识铺垫
出示：磁力片学具上的正多边形。
师：平面有正多边形，在三维立体空间则有正多_面体。今天我们就来认识美丽的正多面体。
【教学意图：引导学生回忆各正多边形的内角度数，及正多边形随着边数的增多内角逐渐增大的特征，为后续探究正多面体的个数做好铺垫。】
二、操作实践，经历探究过程
1.认识正多面体
①直接出示正多面体的概念，学生根据概念尝试搭出正多面体。（学生大多能分别用正三边形、正四边形和正五边形磁力片搭出正四面体、正六面体和正十二面体，以及一些非正多面体）
②判断搭出的各种立体图形是否是正多面体，在辨析中明确正多面体的特征：每个面都是相同的正多边形;每个顶点所接的面数相同。
【教学意图：根据给出的概念搭正多面体，并辨析搭出的是否是正多面体，使学生初步感知到正多面体的特征，为搭正多面体埋下伏笔。】
2.探究一共有多少种正多面体
①猜想：像这样的正多面体能搭出多少种？说说理由。
（学生容易认为每种正多边形都能搭成正多面体，正多边形有无数种，从而认为正多面体也有无数种）
引发认知冲突：早在2400多年前，古希腊的哲学家柏拉图在其著作中提出“正多面体只有5种”。
【教学意图：学生通过类比推理很容易认为能搭出无数种正多面体，个别学生在之前搭的活动中发现了正六边形搭不起来，从而会认为只有3种正多面体，这时获知正多面体有5种，强烈的认知冲突极大地激发了学生探究的欲望，学生自然而然会去思考为什么是5种正多面体。】
②提出研究问题，思考研究方法。
师：为什么只有5种正多面体？还有哪2种正多面体？……一边搭一边思考，正六边形为什么搭不成正多面体？搭不搭得成与什么有关？
③探究一：哪些正多边形能搭成正多面体？
生1：拿2个正六边形拼在一起后，第3个就放不进去了，要想放进去只有铺平的时候。
师：用数学的语言来说，就是3个正六边形拼在一起，一个顶点所接的角度之和已经是360度，搭不成立体的图形。
④发现关键点，缩小范围。
师：由此可以推论，还有哪些正多边形也肯定搭不成正多面体？为什么？
生2：正七边形、正八边形……角度越大，越搭不成正多面体。
师：为什么之前用正五边形、正四边形、正三边形却可以？
生3：用3个正五边形、正四边形或正三边形拼在一起时，它们顶角的角度之和小于360度，还有空隙，就有空间能拉成一个立体的角。
（学生照样子摆一摆、拉一拉，看是否都能拉成一个立体的角）
【教学意图：用正六边形磁力片尝试搭正多面体的过程是学生积累经验的过程。教师的追问能引导学生关注到能不能搭成正多面体与一个顶点所接角度之和有关，从而缩小问题的范围。】
⑤探究二：还有哪两种正多面体？
师：一个顶点所接角度之和小于360°才有可能搭得成。经过之前的操作证明，它们确实能搭成正多面体，那还有两种呢？
生4：一个顶点所接的三角形还可以是4个或5个，因为加上三角形之后一个顶点所接的角度之和也没超过360度。
师：这样的推理有道理吗？那一个顶点多接一个四边形或五边形可以吗？为什么？
生5：不可以，那样一个顶点所接的角度之和会等于或超过360度。
⑥验证。
师：根据我们的推理，发现只有这样的另外2种可能，它们真的能搭出正多面体吗？试一试！
【教学意图：“还有哪两种正多面体？”的问题产生是水到渠成，而不是教师授意的。探究进一步深入，学生在独立思考后小组交流讨论，结合之前发现的关键点，分享初步的推理思路，促进更多学生的实质性参与。】 3.回顾探究过程
师：让我们理一理，怎么从最初猜想会有无数种正多面体，到得出只有5种正多面体的？
【教学意图：通过回顾探究的整个历程，让学生在_反思中提煉解决问题过程中的关键步骤，帮助学生建构研究一个数学问题的基本模型，并将这一模型运用到后续的探索研究之中。】
三、拓展延伸，激发探究热情
师：稀有而美丽的正多面体因为它丰富的数学特性吸引了很多数学家的研究。你们猜，数学家还会研究什么？
研究问题一：欧拉定理——多面体面数、棱数和顶点数之间的关系
研究问题二：对偶关系——不同的正多面体之间的关系
师：把正多面体每个面的中心点相连，会得到什么图形？
师：课后研究完成后，扫一扫作业单上的二维码，听听微课，发现更多正多面体的奥秘。
【教学意图：后续的作业设计旨在让学生经历猜想、想象、操作、验证等过程，用探究的方式去研究数学问题、发现数学规律，并在此过程中感受到正多面体丰富的数学特性，感受到探究的乐趣，感受到数学之美。】
四、板书设计
五、课后反思
1.巧用磁力片学具，丰富活动体验
磁力片作为益智类玩具，在韩国、日本等国家的数学课堂上被广泛使用，其最大的特点是能通过提拉，使平面图形转变为立体图形，也能轻而易举地将立体图形展开成平面图形;另外，通过磁力片可建构一个透视的中空形体，充分暴露点、线、面的特征。因此，笔者选用磁力片作为教学用具，使学生在小组合作拼搭的过程中，认识正多面体点、线、面的特征，发现能否搭成正多面体与选用的正多边形的内角度数有关。可见，巧妙借助学具的拼搭，能丰富学生的数学活动经验，使学生在操作尝试中发现搭成正多面体的关键点。
2.巧设过程教学，激发高水平认知
数学课程标准指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆。动手实践、自主探究与合作交流是学习数学的重要方式。”华东师范大学数学系鲍建生教授在《改进教学设计提高学生高层次数学思维能力》一文中也曾指出，数学教学目标分类的四层次架构中，计算——操作性记忆水平、概念——概念性记忆水平属于较低认知水平，而领会——说明性理解水平、分析——探究性理解水平则属于较高认知水平。他在研究中发现，中国的学生在领会和分析这两种高层次认知水平的能力表现上远不如计算与概念等低层次认知。因此，在教学中，教师应在重视知识传授和技能训练的同时突出教学最本质的目的——注重学生探究能力的培养，引导学生在亲身经历和探究中自主建构知识，获得丰富的内心真实体验，从而逐步培养自主探究的能力。正是基于以上的思考，笔者设计了本节课的核心环节：在学生通过类比推理，猜想会有无数种正多面体后，教师直接告知只有5种正多面体，从而引发认知冲突，那么“为什么只有5种正多面体？”“还有哪两种正多面体？”等问题的提出也就水到渠成了。从猜想到操作，发现能不能搭成的关键点，再动手验证，在整个探究与证明的过程中，教师适时追问：“为什么正六边形搭不成正多面体，而正五边形、正四边形、正三边形可以？除了搭成的3种正多面体，还有哪两种正多面体？”在学生探究的关键处巧设问题框架，突破关键点，体现教师的主导性，逐步将学生的探究引向深处。采用探究——发现式的活动形式也是本节课的最大特点。
3.巧搭探究框架，提升研究意识
数学思维品质是以深刻性为基础的，而思维的深刻性是在不断反思中实现的。在学生经历了“为什么只有5种正多面体”这样一个探究过程之后，教师适时引导学生回顾、反思整个探究过程：从探究伊始如何产生问题意识，将探究目标怎样科学地分解成若干个探究的问题和任务，并在探究过程中发现解决问题的关键点，最终通过操作来验证结论。
除了对探究过程进行反思，笔者认为运用这样的“探究支架”引导学生构建探究框架，对于探究经验不甚丰富的小学生来说也是十分有必要的。“探究支架”能把探究任务和逻辑线索合二为一，丰富学生的探究经验。最后教师在课末给出关于正多面体更多值得研究的奥秘，将能引导学生将这样的模式加以运用，从而提升研究意识。
（责编：金铃）