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数列{an}中，如果其中几项满足公式an+k=f(an+k-1，an+k-2，…，an)，则称此公式为数列{an}的递推公式，通过递推公式给出的数列，一般称之为递推数列．为了能进一步研究该类数列的性质，通常需要将数列的通项公式求出，以下通过几个实例来归纳常见递推数列求通项的解法．
1.累加法
例1已知数列{an},a1=1，n∈N*，an=an-1+1n2-n（n≥2，n∈N*），求通项公式an．
解：∵ an-an-1=1n2-n=1n(n-1)=1n-1-1n（n≥2）．
∴ an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+1-12+12-13+…+1n-1-1n=2-1n．
评注：形如an=an-1+f(n)的递推数列，其中数列{f(n)}可求和，则可通过恒等式an=a1+(a2-a1)+(a2-a2)+…+(an-an-1)累加求通项．
2. 累乘法
例2已知数列{an}，a1=1，an＞0，(n+1)a2n-na2n-1+anan-1=0（n≥2，n∈N*），求数列an通项公式．解：∵ na2n-(n-1)a2n-1+anan-1=0，∴ ［nan-(n-1)an-1］(an+an-1)=0．
∵ an＞0，∴ an+an-1＞0，∴ nan-(n-1)an-1=0，∴ anan-1=n-1n．
∴ an=a1•a2a1•a3a2…anan-1=1•12•23…n-1n=1n．
评注：形如anan-1=f(n)的递推数列，其中数列{f(n)}可求积，则可通过恒等式an=a1•a2a1•a3a2…anan-1累乘求通项．
3.构造法
① 待定系数法
例3已知数列{an}，a1=1，an=3an-1+2（n≥2，n∈N*），求数列{an}通项公式．
解：∵ an=3an-1+2，令an+x=3(an+x)，
∴ x=1，∴ an+1=3(an+1)，∴ {an+1}为等比数列，首项为a1+1=2，公比q=3，∴ an+1=2•3n-1，∴ an=2•3n-1-1．
评注：形如an=qan-1+d（q，d为常数，q≠0，q≠1），可通过待定系数法凑配成an+dq-1=qan+dq-1，构造等比数列an+dq-1求通项，特别的，当q=1时{an}为等差数列．
② 取倒数法
例4已知f(x)=2x2x+1，数列an=f(an-1)(n≥2，n∈N*)，且a1=f(1)，求数列{an}的通项公式．
解：∵ an=f(an-1)，∴ an=2an-12an-1+1，∴ 1an=2an-1+12an-1，∴ 1an=12an-1+1，令1an+x=121an-1+x，∴ x=-2，∴ 1an-2是等比数列，首项为1a1-2=1f(2)-2=-12，公比q=12，∴ 1an-2=1a1-2•qn-1=-12•12n-1，∴ 1an=-2-n+2，∴ an=2n2n+1-1．
评注：形如an=can-1an-1+d（c,d为常数，c≠d,c≠0,d≠0）的递推数列，可通过取倒数1an=dc•1an-1+1c，再通过待定系数法构造等比数列求通项，特别的，当c=d时数列1an为等差数列．
③ 取对数法
例5已知数列{an}，a1=10，an=10a2n-1，(n≥2，n∈N*)，an＞0求数列{an}的通项公式．
解：∵ an=10a2n-1，∴ lgan=2lgan-1+1，令(lgan+x)=2(lgan-1+x)，∴ x=1，∴ {lgan+1}为等比数列，首项为lga1+1=2，公比q=2，∴ lgan+1=2n，∴ an=102n-1．
评注：形如an=can-1p（c，p为常数，an＞0，c＞0,p＞0，p≠1），两边取对数lgan=plgan-1+lgc，再通过待定系数法构造等比数列求通项，当p=1时，数列{lgan}为等差数列．
④ 换元法
例6已知数列{an}，a1=1，an=2an-1+3n（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式．
解：∵ an=2an-1+3n，∴ an3n=2an-13n+1，
∴ an3n=23•an-13n-1+1，令bn=an3n，bn+x=23（bn-1+x），
∴ x=-3，∴ {bn-3}为等比数列，首项为b1-3=-83，公比q=23，∴ bn-3=an3n-3=-83•23n-1=-2n+23n，∴ an=3n+1-2n+2．
评注：形如an=qan-1+dn（q，d为常数，q≠0，d≠0，q≠1，d≠1，d≠q）的递推数列，可变换成andn=qd•an-1dn-1+1，令bn=andn，转化为bn=qdbn-1+1，通过待定系数法求通项．特别的，q=d时，bn为等差数列．
4.数学归纳法
例7已知数列{an}满足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9（n∈N*），求数列{an}的通项公式．
解：∵ a1=1，4an+1-anan+1+2an=9(n∈N*)，∴ a2=73，a3=135，a4=197．
猜想： an=1+6(n-1)2n-1．
下证：当n=1时，猜想成立．当n=k（k∈N*）时，猜想成立，即ak=1+6(k-1)2k-1则当n=k+1时，有ak+1=2-1ak-4=2-16k-52k-1-4=6k+12k+1=1+6［(k+1)-1］2(k+1)-1．
∴ 当n=k+1时也成立．综上可知an=1+6（n-1）2n-1成立．
评注：数学归纳法求通项公式遵循“归纳，猜想，证明”，三步曲．
从数列的递推关系式求出数列通项的过程中，有时需要构造一个全新的数列，有时需要从特殊归纳到一般结论，这实际上是一次思维的整理，和创新的过程．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1.累加法
例1已知数列{an},a1=1，n∈N*，an=an-1+1n2-n（n≥2，n∈N*），求通项公式an．
解：∵ an-an-1=1n2-n=1n(n-1)=1n-1-1n（n≥2）．
∴ an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+1-12+12-13+…+1n-1-1n=2-1n．
评注：形如an=an-1+f(n)的递推数列，其中数列{f(n)}可求和，则可通过恒等式an=a1+(a2-a1)+(a2-a2)+…+(an-an-1)累加求通项．
2. 累乘法
例2已知数列{an}，a1=1，an＞0，(n+1)a2n-na2n-1+anan-1=0（n≥2，n∈N*），求数列an通项公式．解：∵ na2n-(n-1)a2n-1+anan-1=0，∴ ［nan-(n-1)an-1］(an+an-1)=0．
∵ an＞0，∴ an+an-1＞0，∴ nan-(n-1)an-1=0，∴ anan-1=n-1n．
∴ an=a1•a2a1•a3a2…anan-1=1•12•23…n-1n=1n．
评注：形如anan-1=f(n)的递推数列，其中数列{f(n)}可求积，则可通过恒等式an=a1•a2a1•a3a2…anan-1累乘求通项．
3.构造法
① 待定系数法
例3已知数列{an}，a1=1，an=3an-1+2（n≥2，n∈N*），求数列{an}通项公式．
解：∵ an=3an-1+2，令an+x=3(an+x)，
∴ x=1，∴ an+1=3(an+1)，∴ {an+1}为等比数列，首项为a1+1=2，公比q=3，∴ an+1=2•3n-1，∴ an=2•3n-1-1．
评注：形如an=qan-1+d（q，d为常数，q≠0，q≠1），可通过待定系数法凑配成an+dq-1=qan+dq-1，构造等比数列an+dq-1求通项，特别的，当q=1时{an}为等差数列．
② 取倒数法
例4已知f(x)=2x2x+1，数列an=f(an-1)(n≥2，n∈N*)，且a1=f(1)，求数列{an}的通项公式．
解：∵ an=f(an-1)，∴ an=2an-12an-1+1，∴ 1an=2an-1+12an-1，∴ 1an=12an-1+1，令1an+x=121an-1+x，∴ x=-2，∴ 1an-2是等比数列，首项为1a1-2=1f(2)-2=-12，公比q=12，∴ 1an-2=1a1-2•qn-1=-12•12n-1，∴ 1an=-2-n+2，∴ an=2n2n+1-1．
评注：形如an=can-1an-1+d（c,d为常数，c≠d,c≠0,d≠0）的递推数列，可通过取倒数1an=dc•1an-1+1c，再通过待定系数法构造等比数列求通项，特别的，当c=d时数列1an为等差数列．
③ 取对数法
例5已知数列{an}，a1=10，an=10a2n-1，(n≥2，n∈N*)，an＞0求数列{an}的通项公式．
解：∵ an=10a2n-1，∴ lgan=2lgan-1+1，令(lgan+x)=2(lgan-1+x)，∴ x=1，∴ {lgan+1}为等比数列，首项为lga1+1=2，公比q=2，∴ lgan+1=2n，∴ an=102n-1．
评注：形如an=can-1p（c，p为常数，an＞0，c＞0,p＞0，p≠1），两边取对数lgan=plgan-1+lgc，再通过待定系数法构造等比数列求通项，当p=1时，数列{lgan}为等差数列．
④ 换元法
例6已知数列{an}，a1=1，an=2an-1+3n（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式．
解：∵ an=2an-1+3n，∴ an3n=2an-13n+1，
∴ an3n=23•an-13n-1+1，令bn=an3n，bn+x=23（bn-1+x），
∴ x=-3，∴ {bn-3}为等比数列，首项为b1-3=-83，公比q=23，∴ bn-3=an3n-3=-83•23n-1=-2n+23n，∴ an=3n+1-2n+2．
评注：形如an=qan-1+dn（q，d为常数，q≠0，d≠0，q≠1，d≠1，d≠q）的递推数列，可变换成andn=qd•an-1dn-1+1，令bn=andn，转化为bn=qdbn-1+1，通过待定系数法求通项．特别的，q=d时，bn为等差数列．
4.数学归纳法
例7已知数列{an}满足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9（n∈N*），求数列{an}的通项公式．
解：∵ a1=1，4an+1-anan+1+2an=9(n∈N*)，∴ a2=73，a3=135，a4=197．
猜想： an=1+6(n-1)2n-1．
下证：当n=1时，猜想成立．当n=k（k∈N*）时，猜想成立，即ak=1+6(k-1)2k-1则当n=k+1时，有ak+1=2-1ak-4=2-16k-52k-1-4=6k+12k+1=1+6［(k+1)-1］2(k+1)-1．
∴ 当n=k+1时也成立．综上可知an=1+6（n-1）2n-1成立．
评注：数学归纳法求通项公式遵循“归纳，猜想，证明”，三步曲．
从数列的递推关系式求出数列通项的过程中，有时需要构造一个全新的数列，有时需要从特殊归纳到一般结论，这实际上是一次思维的整理，和创新的过程．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文