角是几何图形中最重要的元素之一，而圆的旋转不变性和对称性，又赋予了角极强的灵活性，使得角之间的相互转化成为了解题的关键要素。初中阶段圆中角的常用定理有一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是90°；圆内接四边形对角互补；灵活运用转化圆中的角，往往能起到事半功倍的效果。本文拟从一道初三几何选择题的探究与解析中让学生体会圆中角的灵活与妙用，一题多解使试题的讲解真正发挥复习的效用，让学生思维上通下达左关右联，引发进一步的启示与思考。
　　题目：如图（1），已知A、B两点的坐标分别为（2 ，0），（0，2），P是△AOB外接圆上一点，且∠AOP=45°，则P点到x轴的距离为（ ）
　　A. B.2 C. + D. +1
　　基本思路分析：提到求P点到x轴的距离，大多数学生自然会第一时间将点P到x轴的垂线段作出来，继而发现直角三角形，通过解直角三角形求解问题。可是不少学生对于圆中角的条件挖掘不够，虽然做出来，但计算相对繁琐，容易出错。若能仔细观察分析，活用圆中角的条件，可以简化计算，更快速准确求值。这里展示几种不同解法供大家参考体会。
　　图（1） 图（2） 图（3）
　　法1：直角建方程
　　利用勾股定理构造方程，此为学生常用方法。
　　如图（2）过点P作PM⊥x轴于点M。
　　∵∠AOB=90°，∴AB为△AOB外接圆的直径。∴∠APB=90°。
　　又∵∠PBA=∠POA=45°，∴△ABP为等腰直角三角形。
　　在Rt△AOB中，AB= =4，∴PA=2 。设PM=x，
　　则OM=PM=x，AM=2 -x，∴在Rt△PMA中，x2+（2 -x）2=（2 ）2，
　　整理得x2-2 x+2=0，解得x= ±1，因此选D。
　　多观察一下还会发现，OP是∠AOB的角平分线，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=PM，在Rt△PNB中，x2+（x-2）2=（2 ）2，计算会简便一些。
　　法2：巧用特殊角
　　分析：在Rt△PMO中，∠POM=45°，所以PM= ，所以只需求出PO即可。
　　在Rt△AOB中，OB=2，OA=2 ，利用三角函数得∠BAO=30°，根据同弧所对的圆周角相等得∠BPO=∠BAO=30°，此时在△OBP中，就有两个角是特殊角，因此，可过点B向OP作垂线，使得两个特殊角在直角三角形中发挥更大功用，进而求出OP，如图（3）
　　解：过点B作BH垂直于OP于点H，
　　在Rt△BHO中，∠BOH=45°，OB=2，∴OH=BH= 。
　　在Rt△BHP中，∠BPH=30°，∴PH= BH= ∴OP= + 。
　　在Rt△OPH中，∠POH=45°∴PM= = +1。
　　法3：计算器助攻
　　由法一开始部分知PA=2 。在Rt△PMA中若能得知一个锐角，即可用三角函数求出PM，同法一法二求角的方法易得∠BAO=45°，∠PAB=30°，
　　所以∠PAM=75°，借助三角函数Sin75°= = ，所以PM=2 ×Sin75°，按计算器即可得到答案的近似值，从而选出选项。
　　法4：旋转妙处多
　　分析：因为四边形OAPC是圆内接四边形，所以∠PAO+∠PBO=180°。易知△ABP为等腰直角三角形，所以PA=PB。这两个元素为旋转提供了非常便利的条件。等边共顶点，旋转是首选，而互补的角使得O、A、O′三点共线，更是将四边形巧妙的转化为了三角形，此时△POO′为等腰直角三角形，所以点P到x轴的距离即为等腰直角三角形斜边OO′的一半。如图（4）。
　　解：过点P作PM⊥x轴于点M，
　　同法1知△ABP为等腰直角三角形。
　　∵四边形OAPC是圆内接四边形，∴∠PAO+∠PBO=180°。
　　将△PBO绕点P逆时针旋转90°得△PAO′，则∠PAO′=∠PBO，PO=PO′，
　　∴∠PAO′+∠PBO=180°， ∴O、A、O′三点共线，
　　∴△POO′为等腰直角三角形，AO′=BO=2。
　　这里四种不同的方法，分别运用了圆中角的常用定理，有的方法同时用到了多条。我们发现对圆中角的条件挖掘的越多，往往计算更为简便。同时在一题多解中灵活运用旋转、方程建模，含特殊角直角三角形的边角关系等数学知识，促进学生全面复习联想，对学生的思维有很好的提升作用，从而真正发挥解题，讲题的价值。