设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数的差平方分别是（x1-
　　[AKx-D]）2，（x2-[AKx-D]）2，…，（xn-[AKx-D]）2，我们用它们的平均数，即用
　　s2=1n[（x1-[AKx-D]）2+（x2-[AKx-D]）2+…+（xn-[AKx-D]）2] ①来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2.
　　公式①表明，一组数据的方差等于这组数据中的各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数.
　　由方差的计算公式容易得出方差的两条性质：
　　性质1：任何一组数据的方差都是非负实数.
　　性质2：若一组数据的方差为零，则该组数据均相等，且都等于该组数据的平均数.
　　另外，按照公式①计算一组数据的方差比较麻烦.有没有较为简便的计算方法呢？也就是说，能不能将公式①适当化简.为此，我们不妨先将公式①括号内的各项展开后再整理，得s2=1n[（x21-2x1[AKx-D]+[AKx-D]2）+（x22-2x
　　2[AKx-D]+[AKx-D]2）+（x23-2x3[AKx-D]+[AKx-D]2）+…+（x2n-2xn
　　[AKx-D]+[AKx-D]2）]
　　=1n[（x21+x22+x23+…+x2n）-2（x1+x2+x3+…+xn）[AKx-D]+n[AKx-D]2]
　　=1n[（x21+x22+…+x2n）-2n[AKx-D]2+n[AKx-D]2]=
　　1n[（x21+x22+…+x2n）-n[AKx-D]2]
　　=1n
　　（x21+x22+…+x2n）-[AKx-D]2
　　.
　　由此我们得到方差的另一个计算公式s2=
　　1n（x21+x22+…+ x2n）-[AKx-D]2 ②
　　这个公式表明，一组数据的方差等于这组数据中的各个数据的平方和的平均数与这组数据的平均数的平方的差.
　　利用方差的两条性质和公式②，可以帮助我们快速解决一类与之相关的竞赛题.
　　例1已知a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求a+2b+3c的值.
　　分析：已知条件中出现a+b+c=6，因此可直接考察a、b、c三数的方差.
　　解：因为a、b、c的平均数
　　[AKx-D]=a+b+c3=2，
　　所以a、b、c的方差s2=
　　13（a2+b2+c2）-22=
　　13×12-4=0.
　　由性质2，得a=b=c=2.
　　所以a+2b+3c=2+2×2+3×2=12.
　　例2已知x+y=8，xy-z2=16，求x+y+z的值.
　　分析：已知条件中出现x+y=8，因此可直接考察x、y两数的方差.
　　解：因为x、y的平均数
　　[AKx-D]=x+y2=4，xy=16+z2.
　　所以x、y的方差s2=12（x2+y2）-42=
　　12[（x+y）2-2xy]-16=
　　=12[82-2（16+z2）]-16=
　　12（64-32-2z2）-16=-z2.
　　由性质1，得-z2≥0，即z2≤0.所以z2=0，z=0.所以s2=0.
　　由性质2，得x=y=4.
　　所以x+y+z=4+4+0=8.
　　例3已知a、b、c、d、e是满足a+b+c+d+e=8和a2+b2+c2+d2+e2=16的实数，试确定e的最大值.
　　分析：由于要求e的最大值，因此可先将a+b+c+d+e=8变形为a+b+c+d=8-e，然后考察a、b、c、d四数的方差.
　　解：由已知条件，得a+b+c+d=8-e，a2+b2+c2+d2=16-e2.
　　a、b、c、d的平均数[AKx-D]=a+b+c+d4
　　=8-e4
　　=2-e4.
　　a、b、c、d的方差s2=14（a2+b2+c2+d2）-
　　[AKx-D]2=14（16-e2）-（2-
　　e4）2=4-
　　14e2-（4-e+
　　116e2）=e-
　　516e2.
　　由性质1，得e-
　　516e2≥0.解得0≤e≤
　　165.
　　所以e的最大值是165.
　　例4设m、n、p均为正实数，且m2+n2-2p2=0，求
　　pm+n的最小值.
　　分析：根据求值式，可考察m、n两数的方差.
　　解：由已知条件，得m2+n2=2p2.
　　m、n的平均数
　　[AKx-D]=m+n2.
　　m、n的方差s2=12（m2+n2）-[AKx-D]2=
　　12×2p2-（
　　m+n2）2=p2-（m+n2）2.
　　由性质1，得p2-（m+n2）2≥0，即p2≥（
　　m+n2）2.
　　因为m、n、p均为正实数，所以p≥
　　m+n2.即
　　pm+n≥12.