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【摘 要】 呈现一道PISA试题的命制过程：抽象简化，创设问题情境——观察调整，修正问题情境——追根溯源，还原真实情境.提出应还原现实问题的真实结构，才能命制出有效的PISA试题.
【关键字】 PISA试题;问题情境;命题
PISA2021数学测评框架将数学素养定义为：个体在真实世界的不同情境下进行数学推理，并表达、应用和阐释数学以解决问题的能力，它包括使用数学概念、过程、事实和工具来描述、解释和预测现象的能力，它有助于个体作为一个关心社会、善于思考的21世纪建设性公民，了解数学在世界中所起的作用以及做出有根据的数学判断和决定[1].数学素养的定义要求PISA试题是真实的，尽可能地呈现给学生应用数学时遇到的挑战，就像在现实世界中遇到的一样.本文通过呈现一道PISA试题的命制过程，与同行们分享如何从现实世界情境出发，研制一道真实有效的PISA试题.
1 抽象简化，创设问题情境
命制PISA试题，首先要找到与真实情境相关的数学内容，让参加测试的学生都容易理解和参与.重要的是简化现实世界背景，相关的情境和其内在的数学信息，使其容易接近，同时也保持它真实的一面[2].
手机三脚架是现实生活中的常见物品，将它作为素材编制PISA试题，能让学生产生熟悉感，有利于数学测评的公平性.首先观察手机三脚架的结构如图1，它主要通过改变中间锁扣在主轴上的位置来调节三脚架的高度.再慢慢滑动锁扣的位置，主轴和支架的长度都无变化，因不考虑支架的立体结构，可将其简化抽象成数学线段如图2，即线段AB，CD，CE，ED和BE的长度都不变.收拢三脚架后，主轴AB与支架CD重合，支架BE与支架DE重合，得出AB=CD，BE=DE.用米尺测得AB=50cm，DE=20cm，CE=30cm，可得点E是CD上的固定点且CE=1.5DE.将点C的位置从A点出发往B点滑动，变化的量有：①线段AC的长度增大，BC的长度减小;②∠BCE和∠CEB的角度逐渐减小，∠CBE的角度逐渐增大;③△BCE的形状发生改变.充分挖掘素材中的变量和不变量后，选定△BCE作为研究对象，因其形状变成特殊图形时，便可编制出几何问题.滑动点C的位置寻找支架的特殊结构，首先考慮当点B跟点D都触及地面的状态如图3，画出图形后发现产生了科学性错误：已知△CBD是直角三角形，DE=BE，则∠D=∠DBE，推理可得∠BCE=∠CBE，所以CE=BE，因此点E是CD的中点，这与条件CE=1.5DE矛盾.CE=1.5DE是由测量得出，应该无误，所以问题肯定出在点B处：①重新测量BE和DE发现，BE的长比DE多1cm;②仔细观察三脚架结构，发现支架BE并不是直接连在主轴上，而是有个底座连结着.根据BE和DE收拢时能重合，判断问题不在条件BE=DE，而是底座的原因，因此进行了第二次修正.
2 观察调整，修正问题情境
将底座抽象成线段BF，中空部分由原来的三角形变成了四边形，四边形仍可转化成三角形解决.滑动点C的位置，画出三脚架的特殊状态：①当点B触及地面时，即点D，F，B在同一直线上，如图4，此时△DEF是等腰三角形;②当EF⊥CD时，如图5，根据∠CEF=90°可构造K型全等图形;③当点B，F，E在同一直线上时，如图6，可构造A型相似图形;④可设置特殊角如∠BCE=45°，如图7，构造出特殊直角三角形.试卷细目表对这道题的定位是考查三角函数和勾股定理，因此选用图5和图6作为两个特殊状态命制问题.图4图5图6图7
本题的命制思路是抓住情境中的不变量，即支架的长度不变，来考查学生变中寻找不变的思想方法.将图5和图6作为两个变化的特殊状态，让不同支架的长度之间形成数量关系和等量关系.当EF⊥CD时，增设tan∠BCE=34的条件，让各个线段都产生数量关系，将其中一条线段的长度用字母表示后，其它线段长度都可用这个字母表示出来.当点B，F，E在同一条直线上时，△BCE会变成直角三角形，根据勾股定理，将代数式建立等量关系可解出字母的值.为考查A型相似三角形，并考虑到改变点C位置的目的是调节三脚架的高度，因此最后设问点A离地面的高度.
问题呈现 图1是一种手机三脚架，它通过改变点C在主轴AB上的位置调节三脚架的高度.已知支脚CD=AB，底座BF⊥BC且BF=3厘米，点E是CD上的固定点且拉杆EF=DE（DE>3）.当EF⊥CD时，如图2，tan∠BCE=34;若将点C向下移14厘米，则点B，E，F三点在同一条直线上如图3，此时点A离地面的高度是厘米.
命题反思 试题考查了相似三角形和勾股定理，且蕴含的基本图形丰富，有K型相似图形和A型相似图形，考查了将四边形转化成三角形的化归思想，方程思想和变中不变的思想.研究的问题指向现实用途，具有一定的研究价值.存在的问题有：一是表述不清，学生很难从题意中理解线段的关系;二是结果的方程数据较为复杂，勾股定理列出的方程是75a2-305a 126=0，虽然结果的数据不错，但是很难用十字相乘法凑出来.
3 追根溯源，还原真实情境
为解决方程复杂的问题，首先是修改数据，但无论改变tan∠BCE的大小，还是BF的长度或是移动的距离，方程都很复杂不易计算.百般无奈下，重新观察三脚架并测量数据，结果发现点C处其实也有一个跟BF一样的底座，也就是原先假设的结构可能存在问题，于是第一次创设情境产生的矛盾也找到了原因.中空的部分既不是三角形，也不是四边形，而是五边形，但因为两个底座平行且相等，还是可以将其转化为三角形解决.重新画出特殊状态后，再次编制问题.如果选FG⊥DE的状态，可以连线构造直角三角形，但解法与试卷中其它问题的考点重复.因此选用点B，G，E三点在同一直线上和点B，G，F三点在同一直线上两个时刻，作为特殊状态来编制问题.
试题呈现 如图1是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C在主轴AB上的位置调节三脚架的高度，其他支架长度固定不变.已知支脚DE=AB，底座CD⊥AB，BG⊥AB，且CD=BG，F是DE上的固定点，且EF∶DF=2∶3.当点B，G，E三点在同一直线上（如图2）时，测得tan∠BED=2;若将点C向下移动24cm，则点B，G，F三点在同一直线上（如图3），此时点A离地面的高度是cm.
命题反思 修改后算得AB的长度是15 153，跟实际数据50非常接近，计算过程也较为简单.不仅还原了手机三脚架的真实结构，还让试题更侧重于考查学生的理解和分析问题的能力，考查学生的知识应用能力，而不是把时间消耗在计算上.有效地达到了测评的目的，体现了PISA试题的真正意图.
4 小结
命制试题应尽最大可能体现真实情境中的问题结构，过度简化或不留心观察都会造成数学推理上的矛盾，产生科学性错误.试题的数据应尽量贴近现实数据，学生计算时才会感觉自己在用数学知识解决一个现实问题.
真实的，才是有效的.创设真实的问题情境，方能有效地测评学生的数学素养，体现PISA试题的真正精神.
参考文献
[1]曹一鸣，朱忠明.变与不变：PISA2000-2021数学测评框架的沿革[J].数学教育学报，2019（4）
[2]凯·斯泰西，罗斯·特纳.数学素养的测评——走进PISA测试[M].北京：教育科学出版社，2017：155-156
作者简介 戴婷婷，瑞安市教坛新秀，温州市优质课大赛一等奖，温州市单元试卷命题一等奖，多次参与瑞安市期末试卷命制和中考适应性试卷命题工作.
【关键字】 PISA试题;问题情境;命题
PISA2021数学测评框架将数学素养定义为：个体在真实世界的不同情境下进行数学推理，并表达、应用和阐释数学以解决问题的能力，它包括使用数学概念、过程、事实和工具来描述、解释和预测现象的能力，它有助于个体作为一个关心社会、善于思考的21世纪建设性公民，了解数学在世界中所起的作用以及做出有根据的数学判断和决定[1].数学素养的定义要求PISA试题是真实的，尽可能地呈现给学生应用数学时遇到的挑战，就像在现实世界中遇到的一样.本文通过呈现一道PISA试题的命制过程，与同行们分享如何从现实世界情境出发，研制一道真实有效的PISA试题.
1 抽象简化，创设问题情境
命制PISA试题，首先要找到与真实情境相关的数学内容，让参加测试的学生都容易理解和参与.重要的是简化现实世界背景，相关的情境和其内在的数学信息，使其容易接近，同时也保持它真实的一面[2].
手机三脚架是现实生活中的常见物品，将它作为素材编制PISA试题，能让学生产生熟悉感，有利于数学测评的公平性.首先观察手机三脚架的结构如图1，它主要通过改变中间锁扣在主轴上的位置来调节三脚架的高度.再慢慢滑动锁扣的位置，主轴和支架的长度都无变化，因不考虑支架的立体结构，可将其简化抽象成数学线段如图2，即线段AB，CD，CE，ED和BE的长度都不变.收拢三脚架后，主轴AB与支架CD重合，支架BE与支架DE重合，得出AB=CD，BE=DE.用米尺测得AB=50cm，DE=20cm，CE=30cm，可得点E是CD上的固定点且CE=1.5DE.将点C的位置从A点出发往B点滑动，变化的量有：①线段AC的长度增大，BC的长度减小;②∠BCE和∠CEB的角度逐渐减小，∠CBE的角度逐渐增大;③△BCE的形状发生改变.充分挖掘素材中的变量和不变量后，选定△BCE作为研究对象，因其形状变成特殊图形时，便可编制出几何问题.滑动点C的位置寻找支架的特殊结构，首先考慮当点B跟点D都触及地面的状态如图3，画出图形后发现产生了科学性错误：已知△CBD是直角三角形，DE=BE，则∠D=∠DBE，推理可得∠BCE=∠CBE，所以CE=BE，因此点E是CD的中点，这与条件CE=1.5DE矛盾.CE=1.5DE是由测量得出，应该无误，所以问题肯定出在点B处：①重新测量BE和DE发现，BE的长比DE多1cm;②仔细观察三脚架结构，发现支架BE并不是直接连在主轴上，而是有个底座连结着.根据BE和DE收拢时能重合，判断问题不在条件BE=DE，而是底座的原因，因此进行了第二次修正.
2 观察调整，修正问题情境
将底座抽象成线段BF，中空部分由原来的三角形变成了四边形，四边形仍可转化成三角形解决.滑动点C的位置，画出三脚架的特殊状态：①当点B触及地面时，即点D，F，B在同一直线上，如图4，此时△DEF是等腰三角形;②当EF⊥CD时，如图5，根据∠CEF=90°可构造K型全等图形;③当点B，F，E在同一直线上时，如图6，可构造A型相似图形;④可设置特殊角如∠BCE=45°，如图7，构造出特殊直角三角形.试卷细目表对这道题的定位是考查三角函数和勾股定理，因此选用图5和图6作为两个特殊状态命制问题.图4图5图6图7
本题的命制思路是抓住情境中的不变量，即支架的长度不变，来考查学生变中寻找不变的思想方法.将图5和图6作为两个变化的特殊状态，让不同支架的长度之间形成数量关系和等量关系.当EF⊥CD时，增设tan∠BCE=34的条件，让各个线段都产生数量关系，将其中一条线段的长度用字母表示后，其它线段长度都可用这个字母表示出来.当点B，F，E在同一条直线上时，△BCE会变成直角三角形，根据勾股定理，将代数式建立等量关系可解出字母的值.为考查A型相似三角形，并考虑到改变点C位置的目的是调节三脚架的高度，因此最后设问点A离地面的高度.
问题呈现 图1是一种手机三脚架，它通过改变点C在主轴AB上的位置调节三脚架的高度.已知支脚CD=AB，底座BF⊥BC且BF=3厘米，点E是CD上的固定点且拉杆EF=DE（DE>3）.当EF⊥CD时，如图2，tan∠BCE=34;若将点C向下移14厘米，则点B，E，F三点在同一条直线上如图3，此时点A离地面的高度是厘米.
命题反思 试题考查了相似三角形和勾股定理，且蕴含的基本图形丰富，有K型相似图形和A型相似图形，考查了将四边形转化成三角形的化归思想，方程思想和变中不变的思想.研究的问题指向现实用途，具有一定的研究价值.存在的问题有：一是表述不清，学生很难从题意中理解线段的关系;二是结果的方程数据较为复杂，勾股定理列出的方程是75a2-305a 126=0，虽然结果的数据不错，但是很难用十字相乘法凑出来.
3 追根溯源，还原真实情境
为解决方程复杂的问题，首先是修改数据，但无论改变tan∠BCE的大小，还是BF的长度或是移动的距离，方程都很复杂不易计算.百般无奈下，重新观察三脚架并测量数据，结果发现点C处其实也有一个跟BF一样的底座，也就是原先假设的结构可能存在问题，于是第一次创设情境产生的矛盾也找到了原因.中空的部分既不是三角形，也不是四边形，而是五边形，但因为两个底座平行且相等，还是可以将其转化为三角形解决.重新画出特殊状态后，再次编制问题.如果选FG⊥DE的状态，可以连线构造直角三角形，但解法与试卷中其它问题的考点重复.因此选用点B，G，E三点在同一直线上和点B，G，F三点在同一直线上两个时刻，作为特殊状态来编制问题.
试题呈现 如图1是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C在主轴AB上的位置调节三脚架的高度，其他支架长度固定不变.已知支脚DE=AB，底座CD⊥AB，BG⊥AB，且CD=BG，F是DE上的固定点，且EF∶DF=2∶3.当点B，G，E三点在同一直线上（如图2）时，测得tan∠BED=2;若将点C向下移动24cm，则点B，G，F三点在同一直线上（如图3），此时点A离地面的高度是cm.
命题反思 修改后算得AB的长度是15 153，跟实际数据50非常接近，计算过程也较为简单.不仅还原了手机三脚架的真实结构，还让试题更侧重于考查学生的理解和分析问题的能力，考查学生的知识应用能力，而不是把时间消耗在计算上.有效地达到了测评的目的，体现了PISA试题的真正意图.
4 小结
命制试题应尽最大可能体现真实情境中的问题结构，过度简化或不留心观察都会造成数学推理上的矛盾，产生科学性错误.试题的数据应尽量贴近现实数据，学生计算时才会感觉自己在用数学知识解决一个现实问题.
真实的，才是有效的.创设真实的问题情境，方能有效地测评学生的数学素养，体现PISA试题的真正精神.
参考文献
[1]曹一鸣，朱忠明.变与不变：PISA2000-2021数学测评框架的沿革[J].数学教育学报，2019（4）
[2]凯·斯泰西，罗斯·特纳.数学素养的测评——走进PISA测试[M].北京：教育科学出版社，2017：155-156
作者简介 戴婷婷，瑞安市教坛新秀，温州市优质课大赛一等奖，温州市单元试卷命题一等奖，多次参与瑞安市期末试卷命制和中考适应性试卷命题工作.