论文部分内容阅读
【摘 要】 在概念存储与表征的过程中，除了形式化定义外，还有概念意象.概念意象在概念的教学中有非常重要的作用，再现概念意象或建立概念意象是学生学习概念的基础;合理利用概念意象能帮助学生形成概念定义;概念定义的理解常常是概念意象进一步丰富与完善的过程.处理好概念意象与概念定义的关系是概念教学的需要，也是数学学习的需要.
【关键词】 概念意象;概念定义;概念教学
心理学研究表明：抽象的概念除了形式化的定义外，还有一种成分在概念的内部存储与表征中起作用，它不同于精确的语言定义，但能与语言相互转化.我们把这种成分称为概念意象（或表象）[1]，它是指与抽象概念直接相联系的各种心理成分的综合[2]，包括相应原型的直观形象、心智图像、对其性质及相关过程的记忆等等.也可以说，概念意象就是除形式化定义之外，与概念有关的一切心理活动[1].在生活中，木工师傅未必能说出矩形的定义，但是他们却能做出标准的长方形.许多学生根本不记得方程的解的定义，但却能熟练地求出各类方程的解.凡此种种现象，均说明了概念意象在概念的理解、应用等方面具有不可替代的作用.
我们都知道，概念的定义是抽象的，相对而言，概念意象却是具体的.“到定点的距离等于定长”是圆的抽象定义，但什么是圆？人们立即想到的是太阳，车轮，圆形盘子等具体实物，或圆规绕着一个点旋转一周画出来的图形等形象而具体的过程;其次，定义是严谨的，而概念意象却是随意的.有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形，这是正方形的定义，它是严谨而规范的.但是，“四边相等，四个角是直角的四边形是正方形”常常是正方形留给人们的概念意象，这种口语化的描述很随意，不同的时间，不同的场合有时还会发生变化;第三，概念的定义是稳定的，而概念的意象常常随着学习者认知的发展不断丰富，不断变化.小于0的数是负数，但学生对负数的意象却是不断变化的，许多小学生眼里的负数是-1，-2，-3，…，等等负整数，初学有理数的学生眼里的负数是负有理数，而认识实数之后的负数又包括了所有的负无理数;第四，概念的定义是清晰的，而概念的意象有时却是模糊的.我们所学的数学概念都能够用清晰而明确的文字语言，符号语言，或是图形语言进行阐述.但是，在一般人眼里的有些数学概念常常无法表达，概念意象很模糊，不能确定是什么，或是像什么，甚至是一种可意会不能言传的感觉.
在概念的认识、理解、存储、运用等的不同阶段，概念意象与概念定义起着不同的作用，两者相互影响，相互补充.在概念教学中，正确处理好两者的关系，有助于学生理解概念，掌握概念，提高概念学习的效率.具体而言，有以下几个方面.1 再现概念意象，确定概念教学起点
概念教学中，要充分利用学生的已有经验，依据前期的概念意象确定教学的起点，设计教学活动的出发点.正如美国著名的教育心理学家奥苏泊尔所说，假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，那么我将一言以蔽之：影响学习的唯一重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学.也就是说，充分了解学生原有的概念意象是课堂教学的需要，更应该是概念教学的需要.
初中阶段的许多数学概念，学生在生活中或在小学阶段已经有接触，对于这些概念他们往往都有自己的理解，都建立了自己的概念意象，其中也不乏一些错误的认识，所以再现学生的概念意象显得特别重要.在《角》的概念教学时，教师首先要明确学生关于角已经了解的知识.譬如，关于角的生活模型;关于角的大小与角两边的长短无关的特征;关于角的相关概念，如锐角、直角、钝角;角的度量等等.学生前期关于角的认识是学生理解角的概念，进一步学习角的其他知识的基础.类似的概念还有线段、射线、直线，垂直，平行等等，学生在生活与学习中，都积累了丰富的概念意象.教学时，教师只有以学生已有的概念意象为起点，以他们的理解为基础，设置问题、组织活动才能提高概念教学的效率.2 建立概念意象，创设概念理解基础
概念意象是概念教学的基础，是学生形成定义，理解概念的基础.新的概念教学中，首先应该帮助学生建立概念意象，有了丰富而典型的概念意象学生才能提炼概念的特征，抓住概念的本质，理解概念的抽象定义.概念意象可以是指向概念本质特征的典型例子，也可以是与以往经验或概念相关的模糊联系，等等.
在初中阶段，许多数学概念学生是第一次接触，前期没有任何概念意象.像這样的概念教学，必须首先帮助学生建立概念意象.譬如，分式概念的教学中，可以类比分数建立模糊的意象，还需要让学生在具体情景中获得分式，等的式子，进而建立具体的意象.有些概念，为了帮助学生理解其本质，需要从不同的视角进行积累.如函数，这是一个非常抽象的概念，学习前学生没有任何概念意象，也很难类比以往的其他概念来获得，无形中增加了概念理解的难度.帮助学生建立丰富而有效的概念意象也就成为理解概念的基础与关键.教学中，教师通常会提供如下实例：（1）某水库水位的高低与相应的需水量（如表1）;（2）如图1，火柴棒的根数S与小鱼的条数之间的关系式：S=8 6（n-1）;（3）如图2，我国某海港某天的实时潮位图.分别从函数的三种不同表达形式（表格，解析式和图像）的视角引进实例，帮助学生丰富概念意象.有老师还录制汽车加油的动态视频，让学生感受加油表中油量与加油总价的变化关系.典型的实例和动态的变化有助于学生建立丰富的概念意象，这为学生理解函数的定义奠定了基础.
3 利用概念意象，有效形成概念定义
概念教学中，教师不能仅仅只是帮助学生积累和丰富概念意象，利用概念意象帮助学生形成概念定义，理解概念才是教学的目的.而有效的问题，合适的活动常常是从概念意象到概念的定义，或者说是从具体的意象走向抽象定义的常用方法与策略.
圆的概念，现行教材一般都是初三阶段的教学内容，此时的学生已经积累了丰富的概念意象，概念的教学其实就是帮助学生从意象走向定义.教师可以设置如下问题：（1）车轱辘可以是椭圆或正方形吗？（2）车轱辘是圆的有什么好处？对于车轱辘是圆的现象，学生司空惯见，问题（1）激发学生的思考，在无疑处生疑，自然得出结论：椭圆与正方形的车轱辘会让人感到上下颠簸，在对比中感受圆形轱辘的好处.进而产生问题：为什么圆形轱辘给人感觉车子的平稳？是因为行驶中的车子到地面的距离，即轱辘的轴心到轱辘的外延的距离保持不变，这是车子平稳的原因.至此，学生才能理解“一中同长”的道理.像这样，抓住概念定义的本质属性设置问题，有助于学生理解概念的内涵，形成抽象的定义.而对于像分式这样的概念教学，我们可以在类比分数形成基本的认识后，引导学生观察具有典型特征的实例，如st，2a，m na b，….在学生充分感知的基础上，教师提出问题：观察上述式子，它们有什么样的共同特征？问题交流与解决的过程，是定义的形成过程，是一个提炼与概括的过程，也是学生理解概念定义的过程.4 理解概念定义，丰富完善概念意象 某种意义上说，概念的教学就是概念意象的教学.概念意象通常是概念学习的起点，概念定义的形成是概念意象的抽象结果，概念的理解又是概念意象进一步清晰与完善的过程，而概念的存储与应用常常是与概念意象密切联系的思维活动.所以，在概念教学中，需要特别重视概念意象.
首先，利用概念的原型与变式[3]，丰富概念意象.在大多数情况下，学习者依赖于概念意象形成概念，其中，最常见的意象莫过于概念原型.概念原型往往具有概念的典型特征，有利于学习者理解概念的抽象定义.譬如，认识单项式的概念，我们常常会选取像这样的概念原型0.55a，0.35b，0.15m，2a，2a3，0.8a等等，都有明显的系数与字母的积，它们有利于单项式定义的形成.但是在概念的理解阶段，应该利用概念原型的变式，结合非典型的单项式，如abc，s50，12πr2，a，3图3等代数式，帮助学生突破原型的局限，理解概念的定义，同时也能丰富单项式的概念意象.又如，我们常常利用图3中∠1与∠2的关系引进余角的概念，帮助学生建立形象而直观的概念意象，也便于学生抓住概念的本质特征，形成抽象的定义.但是，仅有这样的概念原型远远不够，教学中，还需要让学习者理解任意一个40°的角与一个50°的角都互余.这样的过程是对学习者概念意象的丰富，也是正确理解与运用概念，以及进一步学习概念相关性质的基础.
其次，建立概念的结构或网络，完善概念意象.数学知识具有整体性、结构化等特点，但教材呈现的往往是一个个零碎的、孤立的“知识点”，知识结构却被“隐藏”起来.如果能将隐性的知识结构显性化，那么将有助于学习者理解概念，进而完善概念意象.譬如，分式概念的教学中，在分式的定义形成之后，教师可以引导学生建立与分式概念相联系的知识结构（如图4），这样的概念结构能够帮助学生建立以分式为核心，与原有概念相联系的网络，进一步理解分式的概念，完善概念意象.又如，章节知识的复习课中，教师通常都会引导学生将一章的知识进行归纳整理，形成以概念为中心的知识体系，它能帮助学生理解知识之间的联系.而且，这样的结构還有助于他们形成整体而直观的概念意象.
我们知道，概念的识别，概念性质的研究，概念的具体应用等等，这些与概念有关的教与学活动，都有助于学生理解概念的定义.其实，上述活动也同样有助于学生进一步丰富与完善概念意象.
概念意象在概念存储与表征中，具有个性化、具体化等特点，它是人们理解概念的基础，也是存储与表征概念的主要形式.概念定义是对概念本质属性的抽象描述，它稳定而规范，是人们深入理解和研究数学的基础和关键.两者相互影响，相互依存.日常教学中，处理好它们的关系是概念教学的需要，也是数学学习的需要.
参考文献
[1]李善良.关于数学概念意象的研究[J].数学教育学报，2004（08）：13-15
[2]罗新兵，罗增儒.数学概念表征的初步研究[J].数学教育学报，2003（05）：21-23
[3]李善良.现代认知观下的数学概念学习与教学[M].南京：江苏教育出版社，2005.12
作者简介 韩诗贵（1972—），男，中学高级教师，无锡市数学学科带头人，主要从事初中数学教学研究与实践.
【关键词】 概念意象;概念定义;概念教学
心理学研究表明：抽象的概念除了形式化的定义外，还有一种成分在概念的内部存储与表征中起作用，它不同于精确的语言定义，但能与语言相互转化.我们把这种成分称为概念意象（或表象）[1]，它是指与抽象概念直接相联系的各种心理成分的综合[2]，包括相应原型的直观形象、心智图像、对其性质及相关过程的记忆等等.也可以说，概念意象就是除形式化定义之外，与概念有关的一切心理活动[1].在生活中，木工师傅未必能说出矩形的定义，但是他们却能做出标准的长方形.许多学生根本不记得方程的解的定义，但却能熟练地求出各类方程的解.凡此种种现象，均说明了概念意象在概念的理解、应用等方面具有不可替代的作用.
我们都知道，概念的定义是抽象的，相对而言，概念意象却是具体的.“到定点的距离等于定长”是圆的抽象定义，但什么是圆？人们立即想到的是太阳，车轮，圆形盘子等具体实物，或圆规绕着一个点旋转一周画出来的图形等形象而具体的过程;其次，定义是严谨的，而概念意象却是随意的.有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形，这是正方形的定义，它是严谨而规范的.但是，“四边相等，四个角是直角的四边形是正方形”常常是正方形留给人们的概念意象，这种口语化的描述很随意，不同的时间，不同的场合有时还会发生变化;第三，概念的定义是稳定的，而概念的意象常常随着学习者认知的发展不断丰富，不断变化.小于0的数是负数，但学生对负数的意象却是不断变化的，许多小学生眼里的负数是-1，-2，-3，…，等等负整数，初学有理数的学生眼里的负数是负有理数，而认识实数之后的负数又包括了所有的负无理数;第四，概念的定义是清晰的，而概念的意象有时却是模糊的.我们所学的数学概念都能够用清晰而明确的文字语言，符号语言，或是图形语言进行阐述.但是，在一般人眼里的有些数学概念常常无法表达，概念意象很模糊，不能确定是什么，或是像什么，甚至是一种可意会不能言传的感觉.
在概念的认识、理解、存储、运用等的不同阶段，概念意象与概念定义起着不同的作用，两者相互影响，相互补充.在概念教学中，正确处理好两者的关系，有助于学生理解概念，掌握概念，提高概念学习的效率.具体而言，有以下几个方面.1 再现概念意象，确定概念教学起点
概念教学中，要充分利用学生的已有经验，依据前期的概念意象确定教学的起点，设计教学活动的出发点.正如美国著名的教育心理学家奥苏泊尔所说，假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，那么我将一言以蔽之：影响学习的唯一重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学.也就是说，充分了解学生原有的概念意象是课堂教学的需要，更应该是概念教学的需要.
初中阶段的许多数学概念，学生在生活中或在小学阶段已经有接触，对于这些概念他们往往都有自己的理解，都建立了自己的概念意象，其中也不乏一些错误的认识，所以再现学生的概念意象显得特别重要.在《角》的概念教学时，教师首先要明确学生关于角已经了解的知识.譬如，关于角的生活模型;关于角的大小与角两边的长短无关的特征;关于角的相关概念，如锐角、直角、钝角;角的度量等等.学生前期关于角的认识是学生理解角的概念，进一步学习角的其他知识的基础.类似的概念还有线段、射线、直线，垂直，平行等等，学生在生活与学习中，都积累了丰富的概念意象.教学时，教师只有以学生已有的概念意象为起点，以他们的理解为基础，设置问题、组织活动才能提高概念教学的效率.2 建立概念意象，创设概念理解基础
概念意象是概念教学的基础，是学生形成定义，理解概念的基础.新的概念教学中，首先应该帮助学生建立概念意象，有了丰富而典型的概念意象学生才能提炼概念的特征，抓住概念的本质，理解概念的抽象定义.概念意象可以是指向概念本质特征的典型例子，也可以是与以往经验或概念相关的模糊联系，等等.
在初中阶段，许多数学概念学生是第一次接触，前期没有任何概念意象.像這样的概念教学，必须首先帮助学生建立概念意象.譬如，分式概念的教学中，可以类比分数建立模糊的意象，还需要让学生在具体情景中获得分式，等的式子，进而建立具体的意象.有些概念，为了帮助学生理解其本质，需要从不同的视角进行积累.如函数，这是一个非常抽象的概念，学习前学生没有任何概念意象，也很难类比以往的其他概念来获得，无形中增加了概念理解的难度.帮助学生建立丰富而有效的概念意象也就成为理解概念的基础与关键.教学中，教师通常会提供如下实例：（1）某水库水位的高低与相应的需水量（如表1）;（2）如图1，火柴棒的根数S与小鱼的条数之间的关系式：S=8 6（n-1）;（3）如图2，我国某海港某天的实时潮位图.分别从函数的三种不同表达形式（表格，解析式和图像）的视角引进实例，帮助学生丰富概念意象.有老师还录制汽车加油的动态视频，让学生感受加油表中油量与加油总价的变化关系.典型的实例和动态的变化有助于学生建立丰富的概念意象，这为学生理解函数的定义奠定了基础.
3 利用概念意象，有效形成概念定义
概念教学中，教师不能仅仅只是帮助学生积累和丰富概念意象，利用概念意象帮助学生形成概念定义，理解概念才是教学的目的.而有效的问题，合适的活动常常是从概念意象到概念的定义，或者说是从具体的意象走向抽象定义的常用方法与策略.
圆的概念，现行教材一般都是初三阶段的教学内容，此时的学生已经积累了丰富的概念意象，概念的教学其实就是帮助学生从意象走向定义.教师可以设置如下问题：（1）车轱辘可以是椭圆或正方形吗？（2）车轱辘是圆的有什么好处？对于车轱辘是圆的现象，学生司空惯见，问题（1）激发学生的思考，在无疑处生疑，自然得出结论：椭圆与正方形的车轱辘会让人感到上下颠簸，在对比中感受圆形轱辘的好处.进而产生问题：为什么圆形轱辘给人感觉车子的平稳？是因为行驶中的车子到地面的距离，即轱辘的轴心到轱辘的外延的距离保持不变，这是车子平稳的原因.至此，学生才能理解“一中同长”的道理.像这样，抓住概念定义的本质属性设置问题，有助于学生理解概念的内涵，形成抽象的定义.而对于像分式这样的概念教学，我们可以在类比分数形成基本的认识后，引导学生观察具有典型特征的实例，如st，2a，m na b，….在学生充分感知的基础上，教师提出问题：观察上述式子，它们有什么样的共同特征？问题交流与解决的过程，是定义的形成过程，是一个提炼与概括的过程，也是学生理解概念定义的过程.4 理解概念定义，丰富完善概念意象 某种意义上说，概念的教学就是概念意象的教学.概念意象通常是概念学习的起点，概念定义的形成是概念意象的抽象结果，概念的理解又是概念意象进一步清晰与完善的过程，而概念的存储与应用常常是与概念意象密切联系的思维活动.所以，在概念教学中，需要特别重视概念意象.
首先，利用概念的原型与变式[3]，丰富概念意象.在大多数情况下，学习者依赖于概念意象形成概念，其中，最常见的意象莫过于概念原型.概念原型往往具有概念的典型特征，有利于学习者理解概念的抽象定义.譬如，认识单项式的概念，我们常常会选取像这样的概念原型0.55a，0.35b，0.15m，2a，2a3，0.8a等等，都有明显的系数与字母的积，它们有利于单项式定义的形成.但是在概念的理解阶段，应该利用概念原型的变式，结合非典型的单项式，如abc，s50，12πr2，a，3图3等代数式，帮助学生突破原型的局限，理解概念的定义，同时也能丰富单项式的概念意象.又如，我们常常利用图3中∠1与∠2的关系引进余角的概念，帮助学生建立形象而直观的概念意象，也便于学生抓住概念的本质特征，形成抽象的定义.但是，仅有这样的概念原型远远不够，教学中，还需要让学习者理解任意一个40°的角与一个50°的角都互余.这样的过程是对学习者概念意象的丰富，也是正确理解与运用概念，以及进一步学习概念相关性质的基础.
其次，建立概念的结构或网络，完善概念意象.数学知识具有整体性、结构化等特点，但教材呈现的往往是一个个零碎的、孤立的“知识点”，知识结构却被“隐藏”起来.如果能将隐性的知识结构显性化，那么将有助于学习者理解概念，进而完善概念意象.譬如，分式概念的教学中，在分式的定义形成之后，教师可以引导学生建立与分式概念相联系的知识结构（如图4），这样的概念结构能够帮助学生建立以分式为核心，与原有概念相联系的网络，进一步理解分式的概念，完善概念意象.又如，章节知识的复习课中，教师通常都会引导学生将一章的知识进行归纳整理，形成以概念为中心的知识体系，它能帮助学生理解知识之间的联系.而且，这样的结构還有助于他们形成整体而直观的概念意象.
我们知道，概念的识别，概念性质的研究，概念的具体应用等等，这些与概念有关的教与学活动，都有助于学生理解概念的定义.其实，上述活动也同样有助于学生进一步丰富与完善概念意象.
概念意象在概念存储与表征中，具有个性化、具体化等特点，它是人们理解概念的基础，也是存储与表征概念的主要形式.概念定义是对概念本质属性的抽象描述，它稳定而规范，是人们深入理解和研究数学的基础和关键.两者相互影响，相互依存.日常教学中，处理好它们的关系是概念教学的需要，也是数学学习的需要.
参考文献
[1]李善良.关于数学概念意象的研究[J].数学教育学报，2004（08）：13-15
[2]罗新兵，罗增儒.数学概念表征的初步研究[J].数学教育学报，2003（05）：21-23
[3]李善良.现代认知观下的数学概念学习与教学[M].南京：江苏教育出版社，2005.12
作者简介 韩诗贵（1972—），男，中学高级教师，无锡市数学学科带头人，主要从事初中数学教学研究与实践.