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在一次数学“同课异构”课堂教学展评活动中，笔者听了两节“长方形的面积计算”课，感触颇多，现就两节课中关于长方形面积计算公式的推导过程，做一点比较与反思。
案例一
教师课前发给每个小组一个长3厘米、宽4厘米的长方形，以及若干个面积是1平方厘米的小正方形。教学时按照以下程序进行：
1.出示问题。
（1）用面积是1平方厘米的小正方形摆这个长3厘米、宽2厘米的长方形，需要多少个？所以这个长方形的面积是多少？
（2）长方形长3厘米，沿着长摆放，一排可以摆放多少个？沿宽呢？
2.学生操作，教师巡视指导。
3.汇报结果。
4.小组讨论。
（1）长方形的面积与长、宽之间有什么关系？
（2）从这个关系中，你发现长方形的面积可以怎样计算？
（学生讨论后，教师总结，并板书公式。）
分析
在这个教学片段中，从表面上看，教学环节环环相扣、层层深入，学生经历了操作——探究——讨论——总结的过程，长方形的面积公式是通过学生的自主活动得到的，但从“学”的角度加以琢磨、研究，就不难发现，操作过程过于简单，学生是为了完成教师预设的问题，教师是为了完成预设的教学过程，操作是草草收兵。纵观学生的学习过程，教师没有能够凸现知识的本质，学生的体验深度不够，在发现问题、数学思考等方面未能得到很好的培养和锻炼。
案例二
课前教师给每个小组发放三组长方形（长分别是3厘米、4厘米、7厘米，宽分别是2厘米、3厘米、4厘米），1平方厘米的小正方形8个。教学流程如下：
1.探索长3厘米、宽2厘米的长方形面积。
（1）学生操作。要求学生在这个长方形上摆小正方形，直到摆满为止，提问：这个长方形的面积是多少？你是怎么知道的？
（2）汇报交流。
（3）教师板书。
2.探索长4厘米、宽3厘米的长方形面积。
（1）操作。在长4厘米、宽3厘米的长方形上摆小正方形，提问：这个长方形的面积是多少？你是怎么知道的？
（2）思考。小正方形不够用，摆不满，怎样才能知道长方形的面积呢？
（3）交流。说一说你是怎样摆放的？这个长方形的面积是多少？
3.探索长7厘米、宽4厘米的长方形面积。
（1）猜一猜。如果不用小正方形来摆放，这个长方形的面积是多少？
（2）说一说。这个长方形的长和宽分别是7厘米、4厘米，那么沿着长可以摆放多少个小正方形？沿宽呢？与长方形的长和宽有怎样的联系？
（3）想一想。除了摆放小正方形，还可以怎样得到这个长方形的面积？
4.探索长方形的面积计算方法。
（1）思。通过刚才的摆放，你得到怎样的启示？
（2）议。对于任何一个长方形，沿长或宽摆放小正方形的个数与长度有怎样的关系？你能得到怎样的结论？
分析
《数学课程标准》中强调：数学学习要从学生已有的认知基础出发，让学生经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程。这就需要教师能对教材中的数学，从学生“学”的角度，在把握知识本质的同时进行二度开发，给学生广阔的思考空间与体验过程。在这个教学片段中，教师通过让学生摆放1平方厘米的小正方形，探索三个长、宽不同的长方形的面积，在摆放过程中，引导学生发现问题：小正方形不够怎么办？如果没有小正方形，又该如何知道长方形的面积？不用摆，怎样知道需要小正方形的个数？等一系列问题，使得学生有了一个深刻的体验过程，整堂课学生处于亢奋的学习状态。在这里学生的操作不单单是动手，更重要的是在动手过程中，不断发现问题、解决问题，不断总结归纳。
通过上述两个案例可以发现，在学习过程中，教师把学生当作“工程师”，还是完成指令的“操作工”，决定了操作活动的价值。如果操作仅仅是为了让学生动手，没有付出相应的智力代价，体验就不深刻。就本节课而言，知识的本质不单纯是让学生掌握长方形的面积计算公式，更重要的是让学生在操作过程中动手、动口、动脑，实现知识的再创造，从而建构新知体系。有效的操作，必须注意一下几点：
一、突出数学本质
数学教学应突出概念背后以及解决问题过程中蕴含的数学文化、数学思想，突出对理性精神的不断追问。数学学习不仅仅是让学生获得数学知识，更是学生以已有的生活经验和知识基础为起点，经过自己的思考，得出数学结论、建构数学知识。因而数学活动要有思维含量，要有利于实践经验的数学化。案例一中，由于活动简单，学生的体验显得肤浅；案例二中，学生在大量感知的基础上，不但建构了新知识体系，还获得了解决问题的经验。
二、创设体验情境
真正的体验是在一定的情境中进行的，是以学生现有的知识为基础，层层深入、不断强化的认知过程。《数学课程标准》提出了“经历、感受、体会”等过程性目标，要求学生能真正经历知识的发生、发展过程。在案例二中，教师创设了四个情境，前三个是在不同的要求下摆放小正方形，由摆满到摆不满，由直观形象到抽象概括，让学生进行充分体验，在接触大量感性材料的基础上，讨论、总结出长方形面积计算方法，实现了对新知的“再创造”，学生不仅知其然，而且知其所以然。
三、强化问题引领
爱因斯坦说过：提出问题比解决问题更重要。但问题的提出不应当是教师的专利，而应以学生现有知识基础与生活经验为背景，随着学习活动的不断深入，逐步生成。在案例二中，第一次学生有了摆放小正方形的经验，第二次摆放小正方形，就会产生“小正方形不够用，怎么摆放呢？怎样才能知道长方形的面积呢？”等疑问，而这些正是形成长方形面积计算公式的关键所在。教师顺势引导，学生急于寻求问题的答案，会继续操作学具，进而得出解题方案，新知建构便自然而然。
案例一
教师课前发给每个小组一个长3厘米、宽4厘米的长方形，以及若干个面积是1平方厘米的小正方形。教学时按照以下程序进行：
1.出示问题。
（1）用面积是1平方厘米的小正方形摆这个长3厘米、宽2厘米的长方形，需要多少个？所以这个长方形的面积是多少？
（2）长方形长3厘米，沿着长摆放，一排可以摆放多少个？沿宽呢？
2.学生操作，教师巡视指导。
3.汇报结果。
4.小组讨论。
（1）长方形的面积与长、宽之间有什么关系？
（2）从这个关系中，你发现长方形的面积可以怎样计算？
（学生讨论后，教师总结，并板书公式。）
分析
在这个教学片段中，从表面上看，教学环节环环相扣、层层深入，学生经历了操作——探究——讨论——总结的过程，长方形的面积公式是通过学生的自主活动得到的，但从“学”的角度加以琢磨、研究，就不难发现，操作过程过于简单，学生是为了完成教师预设的问题，教师是为了完成预设的教学过程，操作是草草收兵。纵观学生的学习过程，教师没有能够凸现知识的本质，学生的体验深度不够，在发现问题、数学思考等方面未能得到很好的培养和锻炼。
案例二
课前教师给每个小组发放三组长方形（长分别是3厘米、4厘米、7厘米，宽分别是2厘米、3厘米、4厘米），1平方厘米的小正方形8个。教学流程如下：
1.探索长3厘米、宽2厘米的长方形面积。
（1）学生操作。要求学生在这个长方形上摆小正方形，直到摆满为止，提问：这个长方形的面积是多少？你是怎么知道的？
（2）汇报交流。
（3）教师板书。
2.探索长4厘米、宽3厘米的长方形面积。
（1）操作。在长4厘米、宽3厘米的长方形上摆小正方形，提问：这个长方形的面积是多少？你是怎么知道的？
（2）思考。小正方形不够用，摆不满，怎样才能知道长方形的面积呢？
（3）交流。说一说你是怎样摆放的？这个长方形的面积是多少？
3.探索长7厘米、宽4厘米的长方形面积。
（1）猜一猜。如果不用小正方形来摆放，这个长方形的面积是多少？
（2）说一说。这个长方形的长和宽分别是7厘米、4厘米，那么沿着长可以摆放多少个小正方形？沿宽呢？与长方形的长和宽有怎样的联系？
（3）想一想。除了摆放小正方形，还可以怎样得到这个长方形的面积？
4.探索长方形的面积计算方法。
（1）思。通过刚才的摆放，你得到怎样的启示？
（2）议。对于任何一个长方形，沿长或宽摆放小正方形的个数与长度有怎样的关系？你能得到怎样的结论？
分析
《数学课程标准》中强调：数学学习要从学生已有的认知基础出发，让学生经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程。这就需要教师能对教材中的数学，从学生“学”的角度，在把握知识本质的同时进行二度开发，给学生广阔的思考空间与体验过程。在这个教学片段中，教师通过让学生摆放1平方厘米的小正方形，探索三个长、宽不同的长方形的面积，在摆放过程中，引导学生发现问题：小正方形不够怎么办？如果没有小正方形，又该如何知道长方形的面积？不用摆，怎样知道需要小正方形的个数？等一系列问题，使得学生有了一个深刻的体验过程，整堂课学生处于亢奋的学习状态。在这里学生的操作不单单是动手，更重要的是在动手过程中，不断发现问题、解决问题，不断总结归纳。
通过上述两个案例可以发现，在学习过程中，教师把学生当作“工程师”，还是完成指令的“操作工”，决定了操作活动的价值。如果操作仅仅是为了让学生动手，没有付出相应的智力代价，体验就不深刻。就本节课而言，知识的本质不单纯是让学生掌握长方形的面积计算公式，更重要的是让学生在操作过程中动手、动口、动脑，实现知识的再创造，从而建构新知体系。有效的操作，必须注意一下几点：
一、突出数学本质
数学教学应突出概念背后以及解决问题过程中蕴含的数学文化、数学思想，突出对理性精神的不断追问。数学学习不仅仅是让学生获得数学知识，更是学生以已有的生活经验和知识基础为起点，经过自己的思考，得出数学结论、建构数学知识。因而数学活动要有思维含量，要有利于实践经验的数学化。案例一中，由于活动简单，学生的体验显得肤浅；案例二中，学生在大量感知的基础上，不但建构了新知识体系，还获得了解决问题的经验。
二、创设体验情境
真正的体验是在一定的情境中进行的，是以学生现有的知识为基础，层层深入、不断强化的认知过程。《数学课程标准》提出了“经历、感受、体会”等过程性目标，要求学生能真正经历知识的发生、发展过程。在案例二中，教师创设了四个情境，前三个是在不同的要求下摆放小正方形，由摆满到摆不满，由直观形象到抽象概括，让学生进行充分体验，在接触大量感性材料的基础上，讨论、总结出长方形面积计算方法，实现了对新知的“再创造”，学生不仅知其然，而且知其所以然。
三、强化问题引领
爱因斯坦说过：提出问题比解决问题更重要。但问题的提出不应当是教师的专利，而应以学生现有知识基础与生活经验为背景，随着学习活动的不断深入，逐步生成。在案例二中，第一次学生有了摆放小正方形的经验，第二次摆放小正方形，就会产生“小正方形不够用，怎么摆放呢？怎样才能知道长方形的面积呢？”等疑问，而这些正是形成长方形面积计算公式的关键所在。教师顺势引导，学生急于寻求问题的答案，会继续操作学具，进而得出解题方案，新知建构便自然而然。