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摘 要：导数是微分学中一个非常重要的概念，它反映的是函数相对于自变量的变化快慢的程度。本文先简单介绍导数的定义，然后通过一些例子说明导数在经济中的一些简单应用。
关键词：导数；目标函数；最大利润
导数是微分学中一个非常重要的数学概念，它反映的是函数相对于自变量来说的变化快慢程度。导数的思想最初的时候是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，费马在他的著作《求最大值和最小值的方法》中谈到了切线法，这种方法本质上就是我们后来所说的导数的思想。与导数的概念直接相联系的是以下两个实际问题：已知物体的运动规律求其速度和已知曲线求它的切线。这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别在研究力学和几何学的过程中建立起来的。可以说牛顿和莱布尼兹这两位伟大的数学家建立了微积分学，使得微积分不再是古希腊几何学的附庸和延展，而是一门独立的科学。
下面我们先给出导数的定义。设函数y=f（x）在点x0的某邻域有定义，如果极限（1）存在，则称函数f（x）在点x0处可导，并称该极限为函数f（x）在点x0处的导数，记作 f′（x0）。如果极限（1）不存在，则称函数f（x）在点x0处不可导。
导数的概念实际上就是函数相对于自变量来说的变化快慢程度，它是函数变化率这个概念的精确描述。它抛去了自变量和函数所代表的实际意义，不管它们所代表的物理或者几何等方面的特殊意义，纯粹从数量关系这个方面来刻画函数变化率的本质。导数f′（x0）反映了函数f（x）随自变量x的变化而变化的快慢程度。因此，路程关于时间的导数是物体运动的瞬时速度，曲线y=f（x）的导数是曲线的切线的斜率。
在实际生活中，经常会碰到这样的问题，在一定条件下，怎么样才能使成本最低、利润最高、用料最省等等这类问题。这类经济问题在数学上可以归结为求目标函数的最大值和最小值问题。这类经济问题可以利用导数来解决。假设目标函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内除去有限个不可导点外其他的点都可导，并且至多只有有限个导数为零的点。在这样的假设条件下，我们来讨论目标函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的求法。
连续函数y=f（x）在一个开区间内的最大值或者最小值一定是它的一个极大值或者极小值。因此，在函数f（x）在开区间内除去有限个点外可导且至多只有有限个导数为零的点这个前提条件下，若函数y=f（x）在开区间内一点x0处取得最大值或者最小值时，一定有f′（x0）=0或者 f（x）在点x0处不可导。另外，连续函数f（x）的最大值和最小值也有可能在区间的端点处取得。因此，我们首先求出函数f（x）在区间（a，b）内的导数f′（x），找出导数为零的点和导数不存在的点，计算这些导数为零和导数不存在的点处的函数值，然后再与端点处的函数值f（a）和f（b）做比较，这些函数值中的最大值便是目标函数f（x）在[a，b]上的最大值，这些函数值中的最小值便是目标函数f（x）在[a，b]上的最小值。
下面我们通过几个实例来说明导数在这类经济问题中的应用。
【例1】 假设一个工厂生产某种产品x千件的成本是 C（x）=x3-6x2 15x，卖出该产品x千件的收入是R（x）=9x。问该工厂生产多少件产品时能取得最大的利润。
解：由题目条件可知，卖出该产品x千件所获得的利润是L（x）=R（x）-C（x）=-x3 6x2-6x，x≥0。
上述利润函数是可导的，导数为L′（x）=R′（x）。
令L′（x）=0，即R′（x）=C′（x）时，得x=2±2。
当x<2-2时，L′（x）<0，L（x）在（-∞，2-2）单调递减；
当x∈（2-2，2 2）时，L′（x）>0，L（x）在（2-2，2 2）单调递增；
当x>2 2时，L′（x）<0，L（x）在（2 2，∞）单调递减；
因此，L（x）在2-2处取得最小值，在2 2取得最大值。即该工厂生产2 2千件产品时将获得最大利润，而生产2-2千件产品时将会发生局部最大亏损。
在经济学中，称C′（x）为边际成本，R′（x）为边际收入，L′（x）为边际利润。这个例题说明，当边际成本等于边际收入时，即C′（x）=R′（x）时，厂家将会获得最大利润。这也说明并不是产量越多利润越大，产量越小利润越少。
【例2】 一房地产公司有50套公寓要出租。当房租定为每月4000元时，公寓会全部租出去。当每月房租每增加200元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平均每月需花费400元的维修费。问房租定为多少时该公司能获得最大的利润。
解：设每套公寓房租为x元（x≥4000），则公寓租不出去的公寓套数为x-4000200=x200-20，租出去的套数为50-x200-20=70-x200，租出去的每套公寓除去维修费将获利x-400元，因此总利润为L（x）=70-x200（x-400）=-x2200 72x-28000，上述利润函数是可导的，导数为L′（x）=-1100x 72。
令L′（x）=0，得x=7200。当x<7200时L（x）单调递增，当x>7200时L（x）单调递减，因此，L（x）在x=7200时取得最大值。即当每套公寓的房租为7200元/月时，该地产公司能获得最大利润。此时，每个月能租出去34套公寓，得到房租244800元，除去这些公寓的维修费用13600元，该公司能获得最大利润231200元。虽然该公司还有16套公寓没有租出去，但是它能获得最大的利润。
参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2014.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社，2001.
作者简介：
彭峰集，湖北省武汉市，湖北工业大学理學院。
关键词：导数；目标函数；最大利润
导数是微分学中一个非常重要的数学概念，它反映的是函数相对于自变量来说的变化快慢程度。导数的思想最初的时候是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，费马在他的著作《求最大值和最小值的方法》中谈到了切线法，这种方法本质上就是我们后来所说的导数的思想。与导数的概念直接相联系的是以下两个实际问题：已知物体的运动规律求其速度和已知曲线求它的切线。这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别在研究力学和几何学的过程中建立起来的。可以说牛顿和莱布尼兹这两位伟大的数学家建立了微积分学，使得微积分不再是古希腊几何学的附庸和延展，而是一门独立的科学。
下面我们先给出导数的定义。设函数y=f（x）在点x0的某邻域有定义，如果极限（1）存在，则称函数f（x）在点x0处可导，并称该极限为函数f（x）在点x0处的导数，记作 f′（x0）。如果极限（1）不存在，则称函数f（x）在点x0处不可导。
导数的概念实际上就是函数相对于自变量来说的变化快慢程度，它是函数变化率这个概念的精确描述。它抛去了自变量和函数所代表的实际意义，不管它们所代表的物理或者几何等方面的特殊意义，纯粹从数量关系这个方面来刻画函数变化率的本质。导数f′（x0）反映了函数f（x）随自变量x的变化而变化的快慢程度。因此，路程关于时间的导数是物体运动的瞬时速度，曲线y=f（x）的导数是曲线的切线的斜率。
在实际生活中，经常会碰到这样的问题，在一定条件下，怎么样才能使成本最低、利润最高、用料最省等等这类问题。这类经济问题在数学上可以归结为求目标函数的最大值和最小值问题。这类经济问题可以利用导数来解决。假设目标函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内除去有限个不可导点外其他的点都可导，并且至多只有有限个导数为零的点。在这样的假设条件下，我们来讨论目标函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的求法。
连续函数y=f（x）在一个开区间内的最大值或者最小值一定是它的一个极大值或者极小值。因此，在函数f（x）在开区间内除去有限个点外可导且至多只有有限个导数为零的点这个前提条件下，若函数y=f（x）在开区间内一点x0处取得最大值或者最小值时，一定有f′（x0）=0或者 f（x）在点x0处不可导。另外，连续函数f（x）的最大值和最小值也有可能在区间的端点处取得。因此，我们首先求出函数f（x）在区间（a，b）内的导数f′（x），找出导数为零的点和导数不存在的点，计算这些导数为零和导数不存在的点处的函数值，然后再与端点处的函数值f（a）和f（b）做比较，这些函数值中的最大值便是目标函数f（x）在[a，b]上的最大值，这些函数值中的最小值便是目标函数f（x）在[a，b]上的最小值。
下面我们通过几个实例来说明导数在这类经济问题中的应用。
【例1】 假设一个工厂生产某种产品x千件的成本是 C（x）=x3-6x2 15x，卖出该产品x千件的收入是R（x）=9x。问该工厂生产多少件产品时能取得最大的利润。
解：由题目条件可知，卖出该产品x千件所获得的利润是L（x）=R（x）-C（x）=-x3 6x2-6x，x≥0。
上述利润函数是可导的，导数为L′（x）=R′（x）。
令L′（x）=0，即R′（x）=C′（x）时，得x=2±2。
当x<2-2时，L′（x）<0，L（x）在（-∞，2-2）单调递减；
当x∈（2-2，2 2）时，L′（x）>0，L（x）在（2-2，2 2）单调递增；
当x>2 2时，L′（x）<0，L（x）在（2 2，∞）单调递减；
因此，L（x）在2-2处取得最小值，在2 2取得最大值。即该工厂生产2 2千件产品时将获得最大利润，而生产2-2千件产品时将会发生局部最大亏损。
在经济学中，称C′（x）为边际成本，R′（x）为边际收入，L′（x）为边际利润。这个例题说明，当边际成本等于边际收入时，即C′（x）=R′（x）时，厂家将会获得最大利润。这也说明并不是产量越多利润越大，产量越小利润越少。
【例2】 一房地产公司有50套公寓要出租。当房租定为每月4000元时，公寓会全部租出去。当每月房租每增加200元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平均每月需花费400元的维修费。问房租定为多少时该公司能获得最大的利润。
解：设每套公寓房租为x元（x≥4000），则公寓租不出去的公寓套数为x-4000200=x200-20，租出去的套数为50-x200-20=70-x200，租出去的每套公寓除去维修费将获利x-400元，因此总利润为L（x）=70-x200（x-400）=-x2200 72x-28000，上述利润函数是可导的，导数为L′（x）=-1100x 72。
令L′（x）=0，得x=7200。当x<7200时L（x）单调递增，当x>7200时L（x）单调递减，因此，L（x）在x=7200时取得最大值。即当每套公寓的房租为7200元/月时，该地产公司能获得最大利润。此时，每个月能租出去34套公寓，得到房租244800元，除去这些公寓的维修费用13600元，该公司能获得最大利润231200元。虽然该公司还有16套公寓没有租出去，但是它能获得最大的利润。
参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2014.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社，2001.
作者简介：
彭峰集，湖北省武汉市，湖北工业大学理學院。