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民主、开放、科学的课程观要求我们将课程与教学相互整合,要有强烈的课程意识和参与意识,教师不能只成为课程实施的执行者,更应成为课程的建设者和开发者。因此,如何充分挖掘教材内涵、创造性地使用好教材、充分发挥教材的功能成为摆在我们面前的一个重要课题。
课本中的大部分例题具有典型性和示范性,许多中考试题源于此又高于此。正确引导学生对例题展开一些探究,适当引申拓展,有利于激发学生的学习兴趣,提高学生的探索能力,培养学生的发散思维和创造能力。以下笔者以课本中一道例题的教学来分析其必要性。
一、案例呈现
浙教版(九上)“二次函数的应用3——例2”:利用二次函数的图像求一元二次方程x2+x-1=0的近似解。
(一)教材设计意图
促进对函数与方程关系的理解。
(二)教师目标设定
1. 理解二次函数与方程的关系。
2. 进一步加强对函数图像的准确把握。
3. 体会方法的优化选择。
(三)教学过程
【学生行动一】首先想到的方法是:只要画出函数y=x2+x-1的图像,再观察其与x轴的交点坐标,如图1。
(因为是新授课,90%的学生思考片刻后都提出用此方法解决)
【过程质疑】
学生在实际操作中出了问题,抛物线y=x2+x-1=0如何画出?能利用常规的5点法画图吗?如果是这样,那么图像还未画出,就已经计算得到了与x轴的交点坐标,失去了画图的意义。而且此抛物线与x轴的交点坐标是无理数,不容易画。
(在笔者提供的5分钟作图时间内,顺利完成的学生只有6人,仅占全班人数的1/7,他们很纳闷,为什么看看容易做做难,问题出在哪里?还有部分学生干脆放弃了)
【行动收获一】学生交流后得到结论,原来画图是有讲究的,只要适当地取5个整数点来画出图像就可以。这里的“适当”一般指使函数值有正负值,出现与x轴的交点。
(学生似乎明白了,他们用了4分钟时间,全体完成了任务,得到近似值。虽然他们的答案误差比较大,但是有种如释重负的感觉)
此时有学生提问,有没有简单点的解决方法?
【教师行动一】引导:既然都是“交点”问题,不妨将方程x2+x-1=0变形为x2=-x+1,理解为函数y=x2与y=-x+1图像交点的横坐标。
【学生行动二】如图2,变形后图像虽然有两个,但一次函数和y=ax2型的二次函数图像更容易画出,比方法一更易操作,此法可取。
(全体学生2分钟完成图像)
【行动收获二】图像的交点坐标可以理解为方程组的解;看来适当的变通对问题解决很有帮助,方法选择很重要。那么还有其他更简单的变形吗?
【学生行动三】如图3,将方程x2+x-1=0变形为x2+x=1,画出函数y=x2+x与y=1的图像,观察两图像交点的横坐标。
y=x2+x可以理解为y=x(x+1),交点式画图,直线y=1非常直白,准确易画。
(当学生理解了这种变形后,画图只用了1分钟时间)
【行动收获三】“一题多解很好,我认为第三种方法最简单,类似直线y=1平行于坐标轴的直线画起来很轻松”;“自己动笔最重要,我刚开始认为这个问题很简单,没想到还隐含了这么多学问”;“我觉得只要牢固掌握图像性质,能熟练画函数草图,函数问题都不是问题”。
【教师行动二】设计跟进练习。
1.利用函数图像求出方程-x2+3x-1=0的近似解。
(全体学生都在2分钟内完成了任务,9人利用y=x2与y=3x-1的交点,20人利用y=x2-3x与y=-1的交点,13人利用y=-x2+3x与y=1的交点,没有学生选择抛物线y=-x2+3x-1)
2.下列图中你分别可以看出哪个方程(组)的解?
(学生解决问题共耗时10分钟。图A在本课已经熟悉,解决较快;图B改编自杭州市2009年中考卷第24题,因牵涉到反比例函数,以及有多个方程(组)的解,所以解决慢了些;图C是两个二次函数的交点,真正掌握了函数与方程的联系后,理解起来不难)
整个例题的分析过程达30分钟,学生在操作过程中切实体会到了方法优化选择的重要性。备课组交流时,有的老师说:“这个问题我本来让学生口答一下就过去的,因为画图太麻烦,浪费时间,没想到这么处理后,学生才是真正有所收获。”
二、行动反思
(一)教学首先要备教材
我们需要站在专业的角度研究教材,站在编者的角度叩问教材。近年来,各地的中考数学试题,不少题型是课本中的例题(或习题)变形、变式引申、推广而来的,它对初中数学教学起到良好的导向作用。所以,我们完全可以充分挖掘教材的例题功能,通过例题落实相应知识点,让学生感悟这些知识点之间的内在联系,形成认知结构。同时,教学中切实有效地引导学生学好课本上的例题或习题,并通过一些相关的练习,使学生在解题时能知常达变,举一反三,真正提高解题能力。而且,这样还能减轻学生的负担,防止学生陷入题海不能自拔。
(二)教学要突出主体性
在“吃透教材”的基础上,我们还要“吃透学生”。“吃透学生”的首要条件就是充分体现学生的主体地位。如在上述案例中,大部分学生选择的方法,画起图来有困难。这样,他们在思维上就达到了 “愤悱”状态,主动要求更简单的方法。此时,教师的点拨是有效的。学生对比后开始选择第二种方法,但他们的思维一直没有停止,所以第三种方法的出现就顺理成章了。
(三)教学的本质是“做”
实践出真知,“教与学都要以做为中心,不做无学,不做无教”。上述三种方法,如果都是教师直接传授给学生,则学生一来无法感受其重要,二来无法体会其优劣。学生能力的培养要落实在平时的教学过程中,教师要注重培养学生的“实验”“探究”“猜想”能力。数学不仅是思维科学,也是实验科学,数学推理不仅包括演绎推理,还包括合情的归纳推理。中考数学试题的形式和知识背景千变万化,有突现“动态”“探究”“过程”等观念的趋势,如图表中信息的收集与处理,结论的猜测与证明,利用学具进行操作,图形的旋转、翻折、平移运动,文字语言、符号语言、图形语言的转换,等等。我们要切实关注学习的体验过程,重视知识的发生过程,不可死记硬背。
平时教学中的一题多解,其最终目的是给学生提供多条解决问题的途径,至于哪种方法最优,要看学生自己的理解,教师不必作出硬性规定。
(四)数学的精髓是思想方法
数学思想方法作为数学知识内容的精髓,是对数学的本质认识。在中考中,对学生思想方法的考查永远占有非常重要的地位和作用。而这些数学思想、数学方法,无一遗漏地在教材的习题中有所体现。上述案例蕴涵了数形结合思想、方程思想,如果仅仅进行浅层的方法交流(即课本提供的方法),则学生对方程组的解和图像的交点的联系不会有深入理解,直线y=1是课本外的知识,在此补充很自然。例题教学在夯实学生基础的前提下,要善于将学生从思维定势中解脱出来,使他们养成多角度、多侧面分析问题的习惯,以培养思维的广阔性、缜密性和创新性。对于教材中所列举的例题、习题,不能就题做题,要以题论法,以题为载体,阐述试题的条件加强、条件弱化、结论开放,阐述试题与其他试题的联系与区别、其中蕴涵的数学思想方法等,将试题的知识价值、教育价值一一解剖,以达到“做一题、会一片,懂一法、长一智”的效果。
课本中的大部分例题具有典型性和示范性,许多中考试题源于此又高于此。正确引导学生对例题展开一些探究,适当引申拓展,有利于激发学生的学习兴趣,提高学生的探索能力,培养学生的发散思维和创造能力。以下笔者以课本中一道例题的教学来分析其必要性。
一、案例呈现
浙教版(九上)“二次函数的应用3——例2”:利用二次函数的图像求一元二次方程x2+x-1=0的近似解。
(一)教材设计意图
促进对函数与方程关系的理解。
(二)教师目标设定
1. 理解二次函数与方程的关系。
2. 进一步加强对函数图像的准确把握。
3. 体会方法的优化选择。
(三)教学过程
【学生行动一】首先想到的方法是:只要画出函数y=x2+x-1的图像,再观察其与x轴的交点坐标,如图1。
(因为是新授课,90%的学生思考片刻后都提出用此方法解决)
【过程质疑】
学生在实际操作中出了问题,抛物线y=x2+x-1=0如何画出?能利用常规的5点法画图吗?如果是这样,那么图像还未画出,就已经计算得到了与x轴的交点坐标,失去了画图的意义。而且此抛物线与x轴的交点坐标是无理数,不容易画。
(在笔者提供的5分钟作图时间内,顺利完成的学生只有6人,仅占全班人数的1/7,他们很纳闷,为什么看看容易做做难,问题出在哪里?还有部分学生干脆放弃了)
【行动收获一】学生交流后得到结论,原来画图是有讲究的,只要适当地取5个整数点来画出图像就可以。这里的“适当”一般指使函数值有正负值,出现与x轴的交点。
(学生似乎明白了,他们用了4分钟时间,全体完成了任务,得到近似值。虽然他们的答案误差比较大,但是有种如释重负的感觉)
此时有学生提问,有没有简单点的解决方法?
【教师行动一】引导:既然都是“交点”问题,不妨将方程x2+x-1=0变形为x2=-x+1,理解为函数y=x2与y=-x+1图像交点的横坐标。
【学生行动二】如图2,变形后图像虽然有两个,但一次函数和y=ax2型的二次函数图像更容易画出,比方法一更易操作,此法可取。
(全体学生2分钟完成图像)
【行动收获二】图像的交点坐标可以理解为方程组的解;看来适当的变通对问题解决很有帮助,方法选择很重要。那么还有其他更简单的变形吗?
【学生行动三】如图3,将方程x2+x-1=0变形为x2+x=1,画出函数y=x2+x与y=1的图像,观察两图像交点的横坐标。
y=x2+x可以理解为y=x(x+1),交点式画图,直线y=1非常直白,准确易画。
(当学生理解了这种变形后,画图只用了1分钟时间)
【行动收获三】“一题多解很好,我认为第三种方法最简单,类似直线y=1平行于坐标轴的直线画起来很轻松”;“自己动笔最重要,我刚开始认为这个问题很简单,没想到还隐含了这么多学问”;“我觉得只要牢固掌握图像性质,能熟练画函数草图,函数问题都不是问题”。
【教师行动二】设计跟进练习。
1.利用函数图像求出方程-x2+3x-1=0的近似解。
(全体学生都在2分钟内完成了任务,9人利用y=x2与y=3x-1的交点,20人利用y=x2-3x与y=-1的交点,13人利用y=-x2+3x与y=1的交点,没有学生选择抛物线y=-x2+3x-1)
2.下列图中你分别可以看出哪个方程(组)的解?
(学生解决问题共耗时10分钟。图A在本课已经熟悉,解决较快;图B改编自杭州市2009年中考卷第24题,因牵涉到反比例函数,以及有多个方程(组)的解,所以解决慢了些;图C是两个二次函数的交点,真正掌握了函数与方程的联系后,理解起来不难)
整个例题的分析过程达30分钟,学生在操作过程中切实体会到了方法优化选择的重要性。备课组交流时,有的老师说:“这个问题我本来让学生口答一下就过去的,因为画图太麻烦,浪费时间,没想到这么处理后,学生才是真正有所收获。”
二、行动反思
(一)教学首先要备教材
我们需要站在专业的角度研究教材,站在编者的角度叩问教材。近年来,各地的中考数学试题,不少题型是课本中的例题(或习题)变形、变式引申、推广而来的,它对初中数学教学起到良好的导向作用。所以,我们完全可以充分挖掘教材的例题功能,通过例题落实相应知识点,让学生感悟这些知识点之间的内在联系,形成认知结构。同时,教学中切实有效地引导学生学好课本上的例题或习题,并通过一些相关的练习,使学生在解题时能知常达变,举一反三,真正提高解题能力。而且,这样还能减轻学生的负担,防止学生陷入题海不能自拔。
(二)教学要突出主体性
在“吃透教材”的基础上,我们还要“吃透学生”。“吃透学生”的首要条件就是充分体现学生的主体地位。如在上述案例中,大部分学生选择的方法,画起图来有困难。这样,他们在思维上就达到了 “愤悱”状态,主动要求更简单的方法。此时,教师的点拨是有效的。学生对比后开始选择第二种方法,但他们的思维一直没有停止,所以第三种方法的出现就顺理成章了。
(三)教学的本质是“做”
实践出真知,“教与学都要以做为中心,不做无学,不做无教”。上述三种方法,如果都是教师直接传授给学生,则学生一来无法感受其重要,二来无法体会其优劣。学生能力的培养要落实在平时的教学过程中,教师要注重培养学生的“实验”“探究”“猜想”能力。数学不仅是思维科学,也是实验科学,数学推理不仅包括演绎推理,还包括合情的归纳推理。中考数学试题的形式和知识背景千变万化,有突现“动态”“探究”“过程”等观念的趋势,如图表中信息的收集与处理,结论的猜测与证明,利用学具进行操作,图形的旋转、翻折、平移运动,文字语言、符号语言、图形语言的转换,等等。我们要切实关注学习的体验过程,重视知识的发生过程,不可死记硬背。
平时教学中的一题多解,其最终目的是给学生提供多条解决问题的途径,至于哪种方法最优,要看学生自己的理解,教师不必作出硬性规定。
(四)数学的精髓是思想方法
数学思想方法作为数学知识内容的精髓,是对数学的本质认识。在中考中,对学生思想方法的考查永远占有非常重要的地位和作用。而这些数学思想、数学方法,无一遗漏地在教材的习题中有所体现。上述案例蕴涵了数形结合思想、方程思想,如果仅仅进行浅层的方法交流(即课本提供的方法),则学生对方程组的解和图像的交点的联系不会有深入理解,直线y=1是课本外的知识,在此补充很自然。例题教学在夯实学生基础的前提下,要善于将学生从思维定势中解脱出来,使他们养成多角度、多侧面分析问题的习惯,以培养思维的广阔性、缜密性和创新性。对于教材中所列举的例题、习题,不能就题做题,要以题论法,以题为载体,阐述试题的条件加强、条件弱化、结论开放,阐述试题与其他试题的联系与区别、其中蕴涵的数学思想方法等,将试题的知识价值、教育价值一一解剖,以达到“做一题、会一片,懂一法、长一智”的效果。