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摘要：《复变函数与积分变换 》是工科类学生的一门重要基础课，既是《高等数学》的后续课程，也是学习其他专业课程的有力工具。该文探讨如何应用MATLAB辅助《复变函数与积分变换》教学的问题。
关键词：复变函数与积分变换；MATLAB；应用
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）04-0089-03
计算机辅助教学在大学数学教学中越来越普遍，利用MATLAB软件，已成为教师的首选。MATLAB凭借强大的符号运算、大量的函数以及统计、最优化、偏微分方程数值解等工具箱，已经成为运筹学、多元统计、时间序列分析、数字信号处理、动态系统仿真、图像处理、自动控制理论等课程教学中的必备教学工具，深受师生的喜欢和信赖。在《复变函数与积分逆变换》课程教学中，MATLAB也大有可为，许多内容都可以用到这个软件。我们通过一些实例，阐述MATLAB在这门课程中的应用。通过运用这个软件，达到降低内容难度，提振学生学习的士气，帮助学生加深、了解、掌握知识点，培养学生运用软件解决问题的能力。
1 利用MATLAB作图
我们知道，MATLAB提供了强大的图形处理和编辑功能，能够将经过数据处理、运算和分析后的结果通过图形的方式直观地进行表示。作图的原理是先计算离散自变量上对应的函数值，然后将这些点描绘出来；对于连续函数的话，则可以通过微分思想来进行，即不断减小离散点的间隔后，绘制这些数据。通过MATLAB作图，直观反映函数，把复杂问题简单化，学生容易接受与理解。例如，在实数域中，对于实变量函数，不妨设正弦函数，它是一个一元函数，它的图形是一条曲线（见图1）。代码如下：
x=0：0.01：2*pi；
y=sin（x）；
plot（x，y， ’r’） 紅颜色用“r”表示。
对这个图形，学生很熟悉。但是，在复数域中，对于复变量函数的图像，到底是啥样？学生不清楚；特别是说不成立，学生更不清楚。为了形象说明这一性质，我们借助MATLAB，就很容易画出它的图形（见图2）。用Z轴表示sinz的模，作出|sinz| 的图像，其MATLAB程序如下：
x=[0：pi/5：7*pi]，
[x，y]=meshgrid（x），
z= x i*y，
u=sin（z），
surf（x，y，abs（u））
学生通过观看图像，就容易区分它们之间的差异，也就能明白一定条件下了。
2 MATLAB在复变函数与积分变换计算中的应用
MATLAB在复变函数与实变函数中的计算有着相似之处，不管自变量是实数还是复数，都是将自变量的值直接代入函数表达式中去计算。可以利用MATLAB对一个复常数进行基本的求模，求幅角，求实部、虚部的运算。更进一步地，还可以求复数的指数、对数，对复数进行三角运算，举几个例子加以说明。
例1 求下列复数的实部，虚部，共轭复数，辐角，模
，，。
解 代码如下：
z=[（（1-i）/（1 i））.^7； i/（1-i） （1-i）/I； i.^18]，
real（z）， % 求复数的实部
imag（z）， % 求复数的虚部
conj（z）， % 求复数的共轭复数
angle（z）， % 求复数的辐角
abs（z）， % 求复数的模
运算的结果：
z =
0 1.0000i
-1.5000-0.5000i
-1.0000
ans =
0
-1.5000
-1.0000
ans =
1.0000
-0.5000
0
ans =
0-1.0000i
-1.5000 0.5000i
-1.0000
ans =
1.5708
-2.8198
3.1416
ans =
1.0000
1.5811
1.0000
用MATLAB计算优势在于能够对多个复数同时进行计算，不用单独一个一个地去求。
例2 求方程的解。
解法一（常规解法）将代数式化为三角式，原方程为。所以，的三次方根为： ，也即
。
解法二（用MATLAB计算）
代码如下：
roots=solve（’z^3 1=0’），
运算结果：
roots =
-1
1/2 （3^（1/2）*i）/2
1/2-（3^（1/2）*i）/2
用MATLAB计算显得非常简单。
如果先将方程写成幂的形式：，这是一个多值函数，那么，MATLAB仅仅对其主值（k=0时）进行计算。
解法三 代码如下：
（-1）^（1/3）
结果显示；
ans =0.5000 0.8660i。
由此看出，利用这个方法，只能得到一个答案。所以，一般不选择此类解法。
我们都知道，MATLAB除了简单的加、减、乘、除、乘方、开方运算外，还有更强大的计算功能，如微积分运算。首先，用MATLAB来极限，举例如下。 例3 求极限 。
解 代码如下：
syms z，f=z/sin（z），limit（f，z，0），
运算结果：
f=z/sin（z），ans=1，
即 。
其次，还可用MATLAB求复变函数的导数，例如：
例4 求函数的导数。
解 代码如下：
syms z，f=z/（（1 z）*sin（z）），diff（f），
运算结果：
f =z/（sin（z）*（z 1）），
ans =
1/（sin（z）*（z 1））-z/（sin（z）*（z 1）^2）-（z*cos（z））/（sin（z）^2*（z 1）），
也即，。
用MATLAB求复变函数的定积分，在形式上与实变函数的定积分相同，只是积分限由实数变成复数而已。格式为：int（function，variable，a，b），其中，function为函数表达式，variable为积分变量，a，b分别为积分下限、上限。
例5 计算定积分 。
解 代码如下：
syms z，f=z*cos（z），inf=int（f，z，0，i），
结果显示：
f=z*cos（z），inf=1/exp（1）-1，
即。
3 MATLAB在级数展开中的应用
一个函数在一个区域内解析，那么这个函数在这个区域内就能展开成泰勒级数，这是复变函数的一个重要内容，也是学生感到困难的地方。利用MATLAB，我们就很容易掌握函数在一點展开成级数的方法。具体格式为F=taylor（f，n，variable，a）， taylor表示泰勒级数，n表示展开式的项数，variable表示变量， a表示在这点展开。
例6 将函数 展开成泰勒级数。
分析： 如果没有特别说明，将函数在哪一点展开泰勒级数，一般是默认为在原点把函数展开成麦克劳林级数，当然，前提是函数在原点要解析。所以，这里就是在处展开。
解 代码如下：
syms z，f=1/（1 z）^2，F=taylor（f，10，z，0），
运算结果显示：
f=1/（z 1）^2，
F=-10*z^9 9*z^8-8*z^7 7*z^6-6*z^5 5*z^4-4*z^3 3*z^2-2*z 1，
即 。
4 MATLAB在留数计算中的应用
利用MATLAB计算留数问题，将复杂繁琐的计算交由计算机处理，使运算变得简单快捷，能充分调动学生学习积极性、创造性。对于形如函数（均为的多项式）在孤立奇点处的留数，其留数格式为[r，p]=residue（B，A），其中，r表示留数，p表示极点；B、A分别表示函数的系数组成的行向量。在计算时，只需写residue（B，A）即可。
例7 求函数在孤立奇点处的留数。
解 首先写出分子、分母两个多项式的系数向量，然后再去求residue（B，A）。代码如下：
B=[1，11，39，52，26]，A=[1，10，35，50，24]，[r，p]=residue（B，A），
运算结果显示：
B =1 11 39 52 26
A =1 10 35 50 24
r = p=
1.0000 -4.0000
2.5000 -3.0000
-3.0000 -2.0000
0.5000 -1.0000
也即，当极点p=-4时，留数r=1，余下类推。
若函数的形式不是有理分式时，只能先判断的极点重数，然后根据公式
来求，这里、分别表示极点、极点重数。它的MATLAB格式如下：
，这里，prod（1：m-1）表示1到m-1连乘积。
例8 求函数在的留数。
解 首先判断是函数的三重极点，即。写出计算留数的MATLAB格式：
limit（diff（sym（’z^3*（1-exp（z））/z^4’），’z’，2）/prod（1：2），’z’，0）。
运算显示： ans=-1/6，即函数在的留数为。
5 MATLAB在傅里叶变换中的应用
傅里叶变换是积分变换的重要内容之一，也是难点之一，利用MATLAB可以轻松化解难点。我们知道，傅里叶变换的公式为；那么利用MATLAB求傅里叶变换的格式为F=fourier（Fun，t，w），即将t的函数变成w的函数。
例9 求函数的傅里叶变换。
解 代码如下：
syms t w，ft=sin（2*t），F=sym（fourier（ft，t，w））。
显示如下
ft=sin（2*t），
F=-pi*（dirac（w-2）-dirac（w 2））*i，
即 。
傅里叶逆变换的公式为 。在MATLAB中使用ifourier函数来实现逆变换，格式如下：f=ifourier（Fw，w，t），默认w为独立变量，默认返回函数是以x为自变量的函数。
例10 求函数的傅里叶逆变换。
解 代码如下：
syms w，F=sin（w）/w， f=simple（ifourier（F）），
运行后显示：
F=sin（w）/w， f=heaviside（x 1）/2-heaviside（x-1）/2，这里，heaviside表示单位阶跃函数。
即 。
6 MATLAB在拉普拉斯变换中的应用
积分变换中有两个常用的变换，拉普拉斯变换就是其中一个。由于拉普拉斯变换在专业课程、在工程技术中有着广泛的应用，因此熟练掌握MATLAB方法，用它解决一些拉普拉斯变换问题显得十分有意义。
求时域函数f（t）的laplace变换F（s），格式为 F=laplace（f，t，s）。
设F是s的函数，参数s省略，返回结果F默认为s的函数；f为t的函数，当参数t省略，默认自由变量为t。
例11 求函数的拉普拉斯变换。
解 代码如下：
syms t s a b， f=exp（（-a）*t）*sin（b*t），F=laplace（f，t，s），
运行后显示：
f=sin（b*t）/exp（a*t），
F=b/（（a s）^2 b^2），
即 。
對于拉普拉斯逆变换，常用的方法是留数法，部分分式法（即先将函数分解成一些简单的式子，然后再反求），查表法等等。如果借助MATLAB，根本就不需记忆这么多，很容易求出逆变换，格式为 f=simple（ilaplace（F）），对于f默认t为自变量；对于F，默认s为自变量。
例12求的拉普拉斯逆变换。
解 代码如下：
syms t s， F=1/（（s 1）*s^2），f=simple（ilaplace（F）），
运行后显示：
F=1/（s^2*（s 1）），
f=t 1/exp（t）-1，
即 。
7 结束语
在《复变函数与积分变换》教学中，将 Matlab 软件引入课堂教学，利用Matlab软件在绘图和计算方面的优势，可以将抽象复杂的学习内容，用可视化、动态化的形式 直观地表现出来，以促进学生对知识深入理解；同时还可以简化繁琐的计算
过程，让学生有更多时间和精力去体会和掌握课程的精髓，激发学生的学习兴趣，让数学学习变得生动有趣。通过上面一些具体例子，我们可以看出， MATLAB对学习确实有很大帮助，利用它能够解决很多计算问题，作图问题；能够化难为易，原来难以理解的问题变得迎刃而解。
参考文献：
[1] 周建兴， 岂兴明， 矫津毅， 等. MATLAB从入门到精通[M]. 北京： 人民邮电出版社， 2008.
[2] 茹静. 《复变函数与积分变换》实验教学的实践和探讨[J]. 吉林化工学院学报， 2015， 32（10）：5-9.
[3] 徐彬. Matlab在复变函数与积分变换课堂教学中的应用[J]. 湖北理工学院学报， 2016， 32（3）：68-72.
[4] 韩英， 陈佳旗. 复变函数的可视化问题研究[J]. 北京石油化工学院学报， 2012， 20（4）：61-64.
[5] 王泽龙， 谢美华. 可视化在复变函数教学中的运用[J]. 高等数学研究， 2016， 19（4）：56-57， 60.
关键词：复变函数与积分变换；MATLAB；应用
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）04-0089-03
计算机辅助教学在大学数学教学中越来越普遍，利用MATLAB软件，已成为教师的首选。MATLAB凭借强大的符号运算、大量的函数以及统计、最优化、偏微分方程数值解等工具箱，已经成为运筹学、多元统计、时间序列分析、数字信号处理、动态系统仿真、图像处理、自动控制理论等课程教学中的必备教学工具，深受师生的喜欢和信赖。在《复变函数与积分逆变换》课程教学中，MATLAB也大有可为，许多内容都可以用到这个软件。我们通过一些实例，阐述MATLAB在这门课程中的应用。通过运用这个软件，达到降低内容难度，提振学生学习的士气，帮助学生加深、了解、掌握知识点，培养学生运用软件解决问题的能力。
1 利用MATLAB作图
我们知道，MATLAB提供了强大的图形处理和编辑功能，能够将经过数据处理、运算和分析后的结果通过图形的方式直观地进行表示。作图的原理是先计算离散自变量上对应的函数值，然后将这些点描绘出来；对于连续函数的话，则可以通过微分思想来进行，即不断减小离散点的间隔后，绘制这些数据。通过MATLAB作图，直观反映函数，把复杂问题简单化，学生容易接受与理解。例如，在实数域中，对于实变量函数，不妨设正弦函数，它是一个一元函数，它的图形是一条曲线（见图1）。代码如下：
x=0：0.01：2*pi；
y=sin（x）；
plot（x，y， ’r’） 紅颜色用“r”表示。
对这个图形，学生很熟悉。但是，在复数域中，对于复变量函数的图像，到底是啥样？学生不清楚；特别是说不成立，学生更不清楚。为了形象说明这一性质，我们借助MATLAB，就很容易画出它的图形（见图2）。用Z轴表示sinz的模，作出|sinz| 的图像，其MATLAB程序如下：
x=[0：pi/5：7*pi]，
[x，y]=meshgrid（x），
z= x i*y，
u=sin（z），
surf（x，y，abs（u））
学生通过观看图像，就容易区分它们之间的差异，也就能明白一定条件下了。
2 MATLAB在复变函数与积分变换计算中的应用
MATLAB在复变函数与实变函数中的计算有着相似之处，不管自变量是实数还是复数，都是将自变量的值直接代入函数表达式中去计算。可以利用MATLAB对一个复常数进行基本的求模，求幅角，求实部、虚部的运算。更进一步地，还可以求复数的指数、对数，对复数进行三角运算，举几个例子加以说明。
例1 求下列复数的实部，虚部，共轭复数，辐角，模
，，。
解 代码如下：
z=[（（1-i）/（1 i））.^7； i/（1-i） （1-i）/I； i.^18]，
real（z）， % 求复数的实部
imag（z）， % 求复数的虚部
conj（z）， % 求复数的共轭复数
angle（z）， % 求复数的辐角
abs（z）， % 求复数的模
运算的结果：
z =
0 1.0000i
-1.5000-0.5000i
-1.0000
ans =
0
-1.5000
-1.0000
ans =
1.0000
-0.5000
0
ans =
0-1.0000i
-1.5000 0.5000i
-1.0000
ans =
1.5708
-2.8198
3.1416
ans =
1.0000
1.5811
1.0000
用MATLAB计算优势在于能够对多个复数同时进行计算，不用单独一个一个地去求。
例2 求方程的解。
解法一（常规解法）将代数式化为三角式，原方程为。所以，的三次方根为： ，也即
。
解法二（用MATLAB计算）
代码如下：
roots=solve（’z^3 1=0’），
运算结果：
roots =
-1
1/2 （3^（1/2）*i）/2
1/2-（3^（1/2）*i）/2
用MATLAB计算显得非常简单。
如果先将方程写成幂的形式：，这是一个多值函数，那么，MATLAB仅仅对其主值（k=0时）进行计算。
解法三 代码如下：
（-1）^（1/3）
结果显示；
ans =0.5000 0.8660i。
由此看出，利用这个方法，只能得到一个答案。所以，一般不选择此类解法。
我们都知道，MATLAB除了简单的加、减、乘、除、乘方、开方运算外，还有更强大的计算功能，如微积分运算。首先，用MATLAB来极限，举例如下。 例3 求极限 。
解 代码如下：
syms z，f=z/sin（z），limit（f，z，0），
运算结果：
f=z/sin（z），ans=1，
即 。
其次，还可用MATLAB求复变函数的导数，例如：
例4 求函数的导数。
解 代码如下：
syms z，f=z/（（1 z）*sin（z）），diff（f），
运算结果：
f =z/（sin（z）*（z 1）），
ans =
1/（sin（z）*（z 1））-z/（sin（z）*（z 1）^2）-（z*cos（z））/（sin（z）^2*（z 1）），
也即，。
用MATLAB求复变函数的定积分，在形式上与实变函数的定积分相同，只是积分限由实数变成复数而已。格式为：int（function，variable，a，b），其中，function为函数表达式，variable为积分变量，a，b分别为积分下限、上限。
例5 计算定积分 。
解 代码如下：
syms z，f=z*cos（z），inf=int（f，z，0，i），
结果显示：
f=z*cos（z），inf=1/exp（1）-1，
即。
3 MATLAB在级数展开中的应用
一个函数在一个区域内解析，那么这个函数在这个区域内就能展开成泰勒级数，这是复变函数的一个重要内容，也是学生感到困难的地方。利用MATLAB，我们就很容易掌握函数在一點展开成级数的方法。具体格式为F=taylor（f，n，variable，a）， taylor表示泰勒级数，n表示展开式的项数，variable表示变量， a表示在这点展开。
例6 将函数 展开成泰勒级数。
分析： 如果没有特别说明，将函数在哪一点展开泰勒级数，一般是默认为在原点把函数展开成麦克劳林级数，当然，前提是函数在原点要解析。所以，这里就是在处展开。
解 代码如下：
syms z，f=1/（1 z）^2，F=taylor（f，10，z，0），
运算结果显示：
f=1/（z 1）^2，
F=-10*z^9 9*z^8-8*z^7 7*z^6-6*z^5 5*z^4-4*z^3 3*z^2-2*z 1，
即 。
4 MATLAB在留数计算中的应用
利用MATLAB计算留数问题，将复杂繁琐的计算交由计算机处理，使运算变得简单快捷，能充分调动学生学习积极性、创造性。对于形如函数（均为的多项式）在孤立奇点处的留数，其留数格式为[r，p]=residue（B，A），其中，r表示留数，p表示极点；B、A分别表示函数的系数组成的行向量。在计算时，只需写residue（B，A）即可。
例7 求函数在孤立奇点处的留数。
解 首先写出分子、分母两个多项式的系数向量，然后再去求residue（B，A）。代码如下：
B=[1，11，39，52，26]，A=[1，10，35，50，24]，[r，p]=residue（B，A），
运算结果显示：
B =1 11 39 52 26
A =1 10 35 50 24
r = p=
1.0000 -4.0000
2.5000 -3.0000
-3.0000 -2.0000
0.5000 -1.0000
也即，当极点p=-4时，留数r=1，余下类推。
若函数的形式不是有理分式时，只能先判断的极点重数，然后根据公式
来求，这里、分别表示极点、极点重数。它的MATLAB格式如下：
，这里，prod（1：m-1）表示1到m-1连乘积。
例8 求函数在的留数。
解 首先判断是函数的三重极点，即。写出计算留数的MATLAB格式：
limit（diff（sym（’z^3*（1-exp（z））/z^4’），’z’，2）/prod（1：2），’z’，0）。
运算显示： ans=-1/6，即函数在的留数为。
5 MATLAB在傅里叶变换中的应用
傅里叶变换是积分变换的重要内容之一，也是难点之一，利用MATLAB可以轻松化解难点。我们知道，傅里叶变换的公式为；那么利用MATLAB求傅里叶变换的格式为F=fourier（Fun，t，w），即将t的函数变成w的函数。
例9 求函数的傅里叶变换。
解 代码如下：
syms t w，ft=sin（2*t），F=sym（fourier（ft，t，w））。
显示如下
ft=sin（2*t），
F=-pi*（dirac（w-2）-dirac（w 2））*i，
即 。
傅里叶逆变换的公式为 。在MATLAB中使用ifourier函数来实现逆变换，格式如下：f=ifourier（Fw，w，t），默认w为独立变量，默认返回函数是以x为自变量的函数。
例10 求函数的傅里叶逆变换。
解 代码如下：
syms w，F=sin（w）/w， f=simple（ifourier（F）），
运行后显示：
F=sin（w）/w， f=heaviside（x 1）/2-heaviside（x-1）/2，这里，heaviside表示单位阶跃函数。
即 。
6 MATLAB在拉普拉斯变换中的应用
积分变换中有两个常用的变换，拉普拉斯变换就是其中一个。由于拉普拉斯变换在专业课程、在工程技术中有着广泛的应用，因此熟练掌握MATLAB方法，用它解决一些拉普拉斯变换问题显得十分有意义。
求时域函数f（t）的laplace变换F（s），格式为 F=laplace（f，t，s）。
设F是s的函数，参数s省略，返回结果F默认为s的函数；f为t的函数，当参数t省略，默认自由变量为t。
例11 求函数的拉普拉斯变换。
解 代码如下：
syms t s a b， f=exp（（-a）*t）*sin（b*t），F=laplace（f，t，s），
运行后显示：
f=sin（b*t）/exp（a*t），
F=b/（（a s）^2 b^2），
即 。
對于拉普拉斯逆变换，常用的方法是留数法，部分分式法（即先将函数分解成一些简单的式子，然后再反求），查表法等等。如果借助MATLAB，根本就不需记忆这么多，很容易求出逆变换，格式为 f=simple（ilaplace（F）），对于f默认t为自变量；对于F，默认s为自变量。
例12求的拉普拉斯逆变换。
解 代码如下：
syms t s， F=1/（（s 1）*s^2），f=simple（ilaplace（F）），
运行后显示：
F=1/（s^2*（s 1）），
f=t 1/exp（t）-1，
即 。
7 结束语
在《复变函数与积分变换》教学中，将 Matlab 软件引入课堂教学，利用Matlab软件在绘图和计算方面的优势，可以将抽象复杂的学习内容，用可视化、动态化的形式 直观地表现出来，以促进学生对知识深入理解；同时还可以简化繁琐的计算
过程，让学生有更多时间和精力去体会和掌握课程的精髓，激发学生的学习兴趣，让数学学习变得生动有趣。通过上面一些具体例子，我们可以看出， MATLAB对学习确实有很大帮助，利用它能够解决很多计算问题，作图问题；能够化难为易，原来难以理解的问题变得迎刃而解。
参考文献：
[1] 周建兴， 岂兴明， 矫津毅， 等. MATLAB从入门到精通[M]. 北京： 人民邮电出版社， 2008.
[2] 茹静. 《复变函数与积分变换》实验教学的实践和探讨[J]. 吉林化工学院学报， 2015， 32（10）：5-9.
[3] 徐彬. Matlab在复变函数与积分变换课堂教学中的应用[J]. 湖北理工学院学报， 2016， 32（3）：68-72.
[4] 韩英， 陈佳旗. 复变函数的可视化问题研究[J]. 北京石油化工学院学报， 2012， 20（4）：61-64.
[5] 王泽龙， 谢美华. 可视化在复变函数教学中的运用[J]. 高等数学研究， 2016， 19（4）：56-57， 60.