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摘要：本文深入分析了在微观经济学中两种特殊但且极其重要的偏好（位似偏好和拟线性偏好）下，收入变化对于商品需求的“比较静态”影响，采用易于教学和学生理解的方式严格证明了上述两种情况下“收入—消费曲线”和“恩格尔曲线”的特殊形状，从而为该部分内容教学提供了有益参考。
关键词：位似偏好 拟线性偏好 比较静态分析
在高校的微观经济学课程教学中，“消费者理性选择理论”（或“效用论”）是教学重点之一。通常在运用效用最大化必要条件推导出商品需求函数后，教师将继续分析收入和价格变化对商品需求的影响，通过无差异曲线分析方法推导出“收入—消费曲线”、“恩格尔曲线”和“价格—消费曲线”等，以此进一步使得学生加深对“比较静态分析方法”的理解和掌握。现有主流初中级微观经济学教材对该问题的论述过于“一般化”，未能指出经济学中某些特殊但应用非常广泛之情况下“收入—消费曲线”和“恩格尔曲线”的特殊性质。某些中级微观经济学教材论及这一问题时，特别讨论了“位似偏好”和“拟线性偏好”下“收入—消费曲线”和“恩格尔曲线”的形状，但论述得不够准确或不易理解。本文试图采用初中级课程中易于学生理解的方式，论述“位似偏好”和“拟线性偏好”这两种特殊情况下，收入变化对商品需求产生的特殊影响，以供教学参考。
1 “位似偏好”下收入变化对需求影响的比较静态分析
所谓“位似偏好”是指，如果消费者对消费束（x，x）的偏好胜过消费束（y，y），那么对于任意常数t>0，他会自动地偏好（tx，tx）而不是偏好（ty，ty）。这意味着消费者对不同消费束的偏好只取决于商品1和商品2的比率。根据这一定义，“完全替代”、“完全互补”和“柯布-道格拉斯偏好”均属于“位似偏好”。我们可以证明以下结论。
结论1：位似偏好下，如果消费束（x*，x*）是收入为m时消费者的效用最大化选择，那么当收入变动为原来的t倍（即收入为tm，t>0）后，消费束（tx*，tx*）则是收入为tm时消费者的效用最大化选择。
首先注意到初始预算约束方程为
px+px≤m （1）
因为消费束（x*，x*）是收入为m时消费者的效用最大化选择，所以它必然满足（1）式，而且在所有满足（1）式的消费束中，消费者最偏好（x*，x*）。其次设收入变动（价格保持固定不变）后的预算约束方程为
py+py≤tm （2）
选择满足（2）式的“任意”消费束（y'，y'），代入（2）式并用（1/t）同乘不等式两边后得
p〔（1/t）y'〕+p〔（1/t）y'〕≤m （3）
这表明消费束（（1/t）y，，（1/t）y，）满足初始预算约束方程（1）式。所以消费者对消费束（x*，x*）的偏好胜过消费束（（1/t）y'，（1/t）y'）。因此，假设偏好是“位似偏好”意味着消费者对消费束（tx*，tx*）的偏好胜过消费束（y'，y'）。加之消费束（tx*，tx*）必然满足收入为tm时的预算约束（2）式，且消费束（y'，y，）是“任意”选择的，所以就证明了消费束（tx*，tx*）是收入为tm时消费者的效用最大化选择。
由“结论1”可知，保持商品价格不变，随着收入的变化，效用最大化的选择点处两种商品的比例固定不变。这必然意味着“收入—消费曲线”是一条从原点出发的直线。令x(p,m)表示第一种商品的需求函数（p为价格向量）。由“结论1”可得
x(p,tm）=tx（p，m） （4）
取t=（1/m），代入（4）式整理后可得
x（p，m）=x（p，1）m=f（p）m，f（p）=x（p，1） （5）
（5）式意味着给定商品价格不变，第一种商品的需求量与消费者收入成正比，由此可知该种商品的“恩格尔曲线”是从原点出发的一条直线（商品2可做相同论证）。
综上所述，我们得到以下结论。
结论2：位似偏好下，“收入—消费曲线”和“恩格尔曲线”均为从原点出发的一条直线。
2 “拟线性偏好”下收入变化对需求影响的比较静态分析
“拟线性偏好”的关键特征是可以通过上下（或左右）平移一条给定的无差异曲线来得到其他所有无差异曲线。可用一个“拟线性效用函数”来代表该偏好：
u（x，x）=v（x）+x （6）
其中v(x)是一个非线性函数，第二种商品称为“本位商品”。给定上述效用函数形式，可知“边际替代率”为
MRS=v'（x） （7）
（7）式表明，“边际替代率”唯一取决于第一种商品的数量，而与第二种商品数量无关。“边际替代率递减”假设意味着当第一种商品数量较少时边际替代率较高，从而消费者对第一种商品的边际支付意愿较高（即愿意以较多的第二种商品来换取第一种商品的一单位数量的增加）。所以，给定两种商品的价格，当收入较低、以致全部收入用来购买第一种商品后仍然有MRS>(p/p)时，为了实现效用最大化，消费者将用其全部收入购买第一种商品。所以此时第一种商品的需求量为(m/p)，第二种商品的需求量为零。而当收入较高、以致全部收入用来购买第一种商品后将使得MRS<(p/p)时，为了实现效用最大化，消费者将把收入用于同时购买两种商品。此时通常的“边际替代率条件”得以成立，即有
MRS=v'（x）=p/p （8）
这意味着第一种商品的需求量与收入无关，或者说此时收入增加不再影响第一种商品的需求，消费者将把增加的收入全部用于购买第二种商品。综上所述，可以得到下述结论。
结论3：拟线性偏好下，“收入—消费曲线”和“恩格尔曲线”均“近似为”一条垂线。
3 总结
前文分析了两种特殊偏好——位似偏好与拟线性偏好——下收入变化对于效用最大化的最优消费束和商品需求的影响性质。下面借助几何图形对主要的分析结论进行总结。
图1描述了典型的“位似偏好”（例如柯布—道格拉斯偏好）的收入—消费曲线（a图）和恩格尔曲线（b图）。给定商品价格保持不变，这两条曲线都是从原点出发的一条直线。“收入—消费曲线”是一条直线意味着收入变化并不影响最优选择点处两种商品数量的比例；“恩格尔曲线”是一条直线意味着商品需求量与收入同比例同方向变化。
图2描述了典型的“拟线性偏好”的收入—消费曲线（a图）和恩格尔曲线（b图）。随着收入从零开始逐渐增加，起先消费者将把所有收入用于购买第一种商品，第二种商品需求量为零。此时收入—消费曲线与横轴重合，（第一种商品的）恩格尔曲线是一条斜率为正的直线。当收入增加到较高水平，以致把全部收入用于购买第一种商品将使其购买量超过“临界值”时，消费者将把增加了的所有收入用于购买第二种商品，第一种商品的需求量就保持不变了。此时收入—消费曲线垂直于横轴，而（第一种商品的）恩格尔曲线也垂直于横轴。
参考文献:
[1]教育部高教司（组编）.高鸿业（主编）.西方经济学（微观部分，第五版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.
[2]范里安.微观经济学：现代观点（第八版）[M].上海：格致出版社.上海三联书店.上海人民出版社，2011.
[3]尼科尔森.微观经济理论：基本原理与扩展（第9版）[M].北京：北京大学出版社，2008.
关键词：位似偏好 拟线性偏好 比较静态分析
在高校的微观经济学课程教学中，“消费者理性选择理论”（或“效用论”）是教学重点之一。通常在运用效用最大化必要条件推导出商品需求函数后，教师将继续分析收入和价格变化对商品需求的影响，通过无差异曲线分析方法推导出“收入—消费曲线”、“恩格尔曲线”和“价格—消费曲线”等，以此进一步使得学生加深对“比较静态分析方法”的理解和掌握。现有主流初中级微观经济学教材对该问题的论述过于“一般化”，未能指出经济学中某些特殊但应用非常广泛之情况下“收入—消费曲线”和“恩格尔曲线”的特殊性质。某些中级微观经济学教材论及这一问题时，特别讨论了“位似偏好”和“拟线性偏好”下“收入—消费曲线”和“恩格尔曲线”的形状，但论述得不够准确或不易理解。本文试图采用初中级课程中易于学生理解的方式，论述“位似偏好”和“拟线性偏好”这两种特殊情况下，收入变化对商品需求产生的特殊影响，以供教学参考。
1 “位似偏好”下收入变化对需求影响的比较静态分析
所谓“位似偏好”是指，如果消费者对消费束（x，x）的偏好胜过消费束（y，y），那么对于任意常数t>0，他会自动地偏好（tx，tx）而不是偏好（ty，ty）。这意味着消费者对不同消费束的偏好只取决于商品1和商品2的比率。根据这一定义，“完全替代”、“完全互补”和“柯布-道格拉斯偏好”均属于“位似偏好”。我们可以证明以下结论。
结论1：位似偏好下，如果消费束（x*，x*）是收入为m时消费者的效用最大化选择，那么当收入变动为原来的t倍（即收入为tm，t>0）后，消费束（tx*，tx*）则是收入为tm时消费者的效用最大化选择。
首先注意到初始预算约束方程为
px+px≤m （1）
因为消费束（x*，x*）是收入为m时消费者的效用最大化选择，所以它必然满足（1）式，而且在所有满足（1）式的消费束中，消费者最偏好（x*，x*）。其次设收入变动（价格保持固定不变）后的预算约束方程为
py+py≤tm （2）
选择满足（2）式的“任意”消费束（y'，y'），代入（2）式并用（1/t）同乘不等式两边后得
p〔（1/t）y'〕+p〔（1/t）y'〕≤m （3）
这表明消费束（（1/t）y，，（1/t）y，）满足初始预算约束方程（1）式。所以消费者对消费束（x*，x*）的偏好胜过消费束（（1/t）y'，（1/t）y'）。因此，假设偏好是“位似偏好”意味着消费者对消费束（tx*，tx*）的偏好胜过消费束（y'，y'）。加之消费束（tx*，tx*）必然满足收入为tm时的预算约束（2）式，且消费束（y'，y，）是“任意”选择的，所以就证明了消费束（tx*，tx*）是收入为tm时消费者的效用最大化选择。
由“结论1”可知，保持商品价格不变，随着收入的变化，效用最大化的选择点处两种商品的比例固定不变。这必然意味着“收入—消费曲线”是一条从原点出发的直线。令x(p,m)表示第一种商品的需求函数（p为价格向量）。由“结论1”可得
x(p,tm）=tx（p，m） （4）
取t=（1/m），代入（4）式整理后可得
x（p，m）=x（p，1）m=f（p）m，f（p）=x（p，1） （5）
（5）式意味着给定商品价格不变，第一种商品的需求量与消费者收入成正比，由此可知该种商品的“恩格尔曲线”是从原点出发的一条直线（商品2可做相同论证）。
综上所述，我们得到以下结论。
结论2：位似偏好下，“收入—消费曲线”和“恩格尔曲线”均为从原点出发的一条直线。
2 “拟线性偏好”下收入变化对需求影响的比较静态分析
“拟线性偏好”的关键特征是可以通过上下（或左右）平移一条给定的无差异曲线来得到其他所有无差异曲线。可用一个“拟线性效用函数”来代表该偏好：
u（x，x）=v（x）+x （6）
其中v(x)是一个非线性函数，第二种商品称为“本位商品”。给定上述效用函数形式，可知“边际替代率”为
MRS=v'（x） （7）
（7）式表明，“边际替代率”唯一取决于第一种商品的数量，而与第二种商品数量无关。“边际替代率递减”假设意味着当第一种商品数量较少时边际替代率较高，从而消费者对第一种商品的边际支付意愿较高（即愿意以较多的第二种商品来换取第一种商品的一单位数量的增加）。所以，给定两种商品的价格，当收入较低、以致全部收入用来购买第一种商品后仍然有MRS>(p/p)时，为了实现效用最大化，消费者将用其全部收入购买第一种商品。所以此时第一种商品的需求量为(m/p)，第二种商品的需求量为零。而当收入较高、以致全部收入用来购买第一种商品后将使得MRS<(p/p)时，为了实现效用最大化，消费者将把收入用于同时购买两种商品。此时通常的“边际替代率条件”得以成立，即有
MRS=v'（x）=p/p （8）
这意味着第一种商品的需求量与收入无关，或者说此时收入增加不再影响第一种商品的需求，消费者将把增加的收入全部用于购买第二种商品。综上所述，可以得到下述结论。
结论3：拟线性偏好下，“收入—消费曲线”和“恩格尔曲线”均“近似为”一条垂线。
3 总结
前文分析了两种特殊偏好——位似偏好与拟线性偏好——下收入变化对于效用最大化的最优消费束和商品需求的影响性质。下面借助几何图形对主要的分析结论进行总结。
图1描述了典型的“位似偏好”（例如柯布—道格拉斯偏好）的收入—消费曲线（a图）和恩格尔曲线（b图）。给定商品价格保持不变，这两条曲线都是从原点出发的一条直线。“收入—消费曲线”是一条直线意味着收入变化并不影响最优选择点处两种商品数量的比例；“恩格尔曲线”是一条直线意味着商品需求量与收入同比例同方向变化。
图2描述了典型的“拟线性偏好”的收入—消费曲线（a图）和恩格尔曲线（b图）。随着收入从零开始逐渐增加，起先消费者将把所有收入用于购买第一种商品，第二种商品需求量为零。此时收入—消费曲线与横轴重合，（第一种商品的）恩格尔曲线是一条斜率为正的直线。当收入增加到较高水平，以致把全部收入用于购买第一种商品将使其购买量超过“临界值”时，消费者将把增加了的所有收入用于购买第二种商品，第一种商品的需求量就保持不变了。此时收入—消费曲线垂直于横轴，而（第一种商品的）恩格尔曲线也垂直于横轴。
参考文献:
[1]教育部高教司（组编）.高鸿业（主编）.西方经济学（微观部分，第五版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.
[2]范里安.微观经济学：现代观点（第八版）[M].上海：格致出版社.上海三联书店.上海人民出版社，2011.
[3]尼科尔森.微观经济理论：基本原理与扩展（第9版）[M].北京：北京大学出版社，2008.