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[摘 要] PBL（Ptoblem-Based Learning）教学法是以问题为导向，引导学生自主学习的教学方法. 本文在阐释PBL教学法的内涵及特征、高中数学PBL教学模式的基础上，以《函数的应用》教学为例探讨了PBL教学法在高中函数教学中的应用.
[关键词] 高中数学；PBL教学法；函数的应用
《国家中长期教育改革与发展规划纲要（2010—2020年）》中指出：教学中要培养学生的思考能力，激发学生的创新意识，要采用讨论式、发现式、探究式、启发式的教学方式. 然而，受传统教学方式的影响，学生缺乏问题意识，学生学习数学知识的兴趣低下，教学效果往往不佳. 而PBL教学法是一种以学生为主体的典型教学方法，能够有效改变当前的教学现状，因此，在高中函数教学中实施PBL教学法具有重要的意义.
■PBL教学法的内涵及特征
PBL教学法是基于问题的学习（Problem-Based？摇Learning）的简称，其本质是让学生在一种接近真实的问题情境或案例中，采取小组合作的学习方式让学生通过问疑质难，从而达到知识获取、发展思维、提高自主学习的目的. 并且具有以下几个特征：一是以生为本，以学生作为学习的主体；二是学习方式上主要以小组合作、自主探究的方式进行；三是教师主要以创造学习环境为主，在教学过程中起到引导、组织、合作的作用；四是以真实的问题情境作为学习的中心；五是采取多元评价方式，更加注重学生解决问题能力的提高，注重学生基础知识的掌握和过程性的评价.
■高中数学PBL教学模式阐释
1. 前期分析
前期分析主要包括学习需求、学习任务以及学生特征的分析，其中学习需求是教学设计的开端，与数学课堂标准规定的总教学目标一致；而学习任务是对教材进行二次开发，分析出本节课程的数学思想、核心问题以及知识之间的内在联系，指出哪些内容是教学的重点和难点；学生特征分析主要了解学生已经具备了哪些知识和技能，了解学生对新知识的学习态度和学习风格.
2. 教学设计的决策与生成
该阶段主要包括教学目标的制定、问题情境的创设、问题的分析和探究、学习成果的总结等方面，其中基于问题的学习关键在于问题的选择，教师选择的问题要与实际生活相联系，要选择能够展现数学定理、概念等知识以及数学思想方法发生发展过程的问题. 例如，在组织学生学习《勾股定理》知识时，由于教材中的内容比较直接，所以笔者从勾股定理产生的背景出发，通过猜测、小组探究等方法，让学生真正接触到数学思维的本质，让学生恢复数学知识火热的思考.
同时，要选择应用型的问题情境，帮助学生形成数学应用意识，构建新的认知结构. 例如，在组织学生理解函数的意义时，笔者设计了以下问题：当某医院在120人时开始挂号排队，开始挂号后每分钟平均增加2人进行排队，如果某挂号的速度为每分钟5人，则在半小时后就不会出现排队现象；如果再增加一个窗口后，则15分钟内就不会出现排队现象.
此外，为了培养学生的发散性数学思维和动手解决实际问题的能力，应选择一些开放性的数学问题. 例如，在組织学生复习等差数列知识时，笔者创设了以下问题：已知△ABC，如果三边长度a，b，c构成等差数列，则联想三角形有关定理会得出什么结论？
3. 教学设计的评价
教学设计的评价主要包括评价计划的制定、评价方法的选择、设计方案的试用以及评价结果的形成等四个方面，是教师根据教学内容、教学目标制定出评价标准，通过调查法、观察法、试卷测验等方法，分析出课堂教学设计的优点和不足，并对教学设计方案进行修改和优化，尽可能地提高教学的质量.
■PBL教学法在高中函数教学中的应用
函数一直是高中数学教学的重点和难点，为了便于读者在实际操作中能够更好地把握PBL教学模式的应用，笔者以《函数的应用》教学为例进行深入探讨.
1. 前期分析
在该内容学习之前，学生就已经掌握了一次、二次以及指数函数的函数模型，对于函数模型的具体应用有着强烈的求知欲，并且具备了一定的创新能力、概括能力以及抽象思维能力. 但不足是学生转化为实际问题的能力比较薄弱，加上函数模型本身知识的难度，教师应让学生感受数学建模的真实过程，让学生在具体问题的分析中选择适当的函数模型，辩证地看待知识理解和应用之间的关系.
2. 教学设计的决策与生成
（1）制定教学目标
PBL教学模式注重学生从数学的角度提出、分析和解决实际问题，重在培养学生的问题意识和创新精神，提高知识综合运用和解决问题过程中“再创造”数学知识的能力. 在知识与技能方面能够理解数学模型和数学建模的概念，巩固一次函数和二次函数的内涵，掌握建立函数模型解决实际问题的过程；在过程与方法方面提高学生应用知识解决实际问题的能力，了解数学建模思想，感受函数思想在生活中的应用，体会数学知识在实际生活中的广泛应用；情感态度价值观方面，提高学生探究新知的兴趣，培养学生勇于探索的科学态度，加强学生的数学应用意识.
（2）创设问题情境
使学生发现问题是PBL教学的第一步，教师应在分析教学内容的基础上呈现出与实际生活密切相关的问题，通过问题的探究帮助学生掌握数学知识. 例如，笔者呈现出了以下实际问题情境，要求学生将该题目转化为理想化数学模型，并思考提出问题.
如表1所示，已知某校学生不同身高的男同学体重平均值，要求学生猜测该校男同学的体重与身高是否存在函数关系. 如果存在，则这种关系具体是什么？表1 某校学生不同身高男同学体重平均值
■
解析：以表1数据为基础，引导学生建立直角坐标系，其中横坐标为身高，纵坐标为体重，并根据散点图分布特征确定该校学生体重与身高之间的函数关系. （3）分析探究问题
分析和探究是解决问题的基础，教师应以小组合作的形式组织学生进行交流讨论，让其明白解决该问题已经具备了哪些知识，还需要哪些知识，并可以通过教师的指导收集所需要的资源和信息，从而让注重教师的“教”变为注重学生的“学”，加强学生的创新思维和解决问题的能力.
例如，根据学生画出的散点图，大部分学生在尝试一次函数、二次函数等模型后均未能找到相应的关系，此时教师鼓励学生搜集相关资料，在组织学生查阅资料的基础上，笔者给出了通常情况下体重与身高之间的函数模型，即y=abx，并要求学生检验该模型与该校学生体重与身高之间的拟合程度.
解析：组织学生选取其中间隔较大的两组数据进行验证，不妨选取（70，7.90），（160，47.25）代入函数y=abx，解得a≈2，b≈1.02，即y=2×1.02x，并组织学生利用其他已知数据进行验证，发现该函数与已知数据拟合程度较好.
（4）解决实际问题
通过分析探究问题能够得出问题的总体框架，但并不是最终问题，教师应及时组织学生利用新的知识解决实际问题，发现学生在解决具体问题过程中的障碍，促进学生高级思维的发展. 例如，笔者在得出该函数模型后，利用函数模型解决以下实际问题：如果低于该校男生平均體重的0.8倍为偏瘦，超过该校男生平均体重的1.2倍以上则为偏胖，则175 cm、78 kg的小强体重是否标准？
解析：将x=175代入y=2×1.02x，得出y≈63.98，而■≈1.22，显然小强的体重偏胖.
（5）形成成果，全面评价
为了巩固知识，从中发现一些新的探究问题，教师应对这节课的学习结果邀请学生进行总结和梳理，同时，还应通过让学生填写自我评价表、课后练习等形式进行反思.
例如，在本节课程中，笔者进一步提问现实生活中胖瘦判断的依据，引入“BMI=■”的概念，并组织学生总结出以下运用函数模型解决实际问题的基本过程，如图1所示.
■
图1 函数模型解决实际问题基本流程
综上所述，以问题提出、探究与分析、解决为核心的PBL教学法能够调动学生学习的积极性，让学生在复杂、有意义的问题情境中通过小组合作的形式进行学习，有利于提高高中数学知识的教学质量和水平，完全符合新课标倡导的教学思想和理念，能够将课程改革的新思想、新理念落到实处.
[关键词] 高中数学；PBL教学法；函数的应用
《国家中长期教育改革与发展规划纲要（2010—2020年）》中指出：教学中要培养学生的思考能力，激发学生的创新意识，要采用讨论式、发现式、探究式、启发式的教学方式. 然而，受传统教学方式的影响，学生缺乏问题意识，学生学习数学知识的兴趣低下，教学效果往往不佳. 而PBL教学法是一种以学生为主体的典型教学方法，能够有效改变当前的教学现状，因此，在高中函数教学中实施PBL教学法具有重要的意义.
■PBL教学法的内涵及特征
PBL教学法是基于问题的学习（Problem-Based？摇Learning）的简称，其本质是让学生在一种接近真实的问题情境或案例中，采取小组合作的学习方式让学生通过问疑质难，从而达到知识获取、发展思维、提高自主学习的目的. 并且具有以下几个特征：一是以生为本，以学生作为学习的主体；二是学习方式上主要以小组合作、自主探究的方式进行；三是教师主要以创造学习环境为主，在教学过程中起到引导、组织、合作的作用；四是以真实的问题情境作为学习的中心；五是采取多元评价方式，更加注重学生解决问题能力的提高，注重学生基础知识的掌握和过程性的评价.
■高中数学PBL教学模式阐释
1. 前期分析
前期分析主要包括学习需求、学习任务以及学生特征的分析，其中学习需求是教学设计的开端，与数学课堂标准规定的总教学目标一致；而学习任务是对教材进行二次开发，分析出本节课程的数学思想、核心问题以及知识之间的内在联系，指出哪些内容是教学的重点和难点；学生特征分析主要了解学生已经具备了哪些知识和技能，了解学生对新知识的学习态度和学习风格.
2. 教学设计的决策与生成
该阶段主要包括教学目标的制定、问题情境的创设、问题的分析和探究、学习成果的总结等方面，其中基于问题的学习关键在于问题的选择，教师选择的问题要与实际生活相联系，要选择能够展现数学定理、概念等知识以及数学思想方法发生发展过程的问题. 例如，在组织学生学习《勾股定理》知识时，由于教材中的内容比较直接，所以笔者从勾股定理产生的背景出发，通过猜测、小组探究等方法，让学生真正接触到数学思维的本质，让学生恢复数学知识火热的思考.
同时，要选择应用型的问题情境，帮助学生形成数学应用意识，构建新的认知结构. 例如，在组织学生理解函数的意义时，笔者设计了以下问题：当某医院在120人时开始挂号排队，开始挂号后每分钟平均增加2人进行排队，如果某挂号的速度为每分钟5人，则在半小时后就不会出现排队现象；如果再增加一个窗口后，则15分钟内就不会出现排队现象.
此外，为了培养学生的发散性数学思维和动手解决实际问题的能力，应选择一些开放性的数学问题. 例如，在組织学生复习等差数列知识时，笔者创设了以下问题：已知△ABC，如果三边长度a，b，c构成等差数列，则联想三角形有关定理会得出什么结论？
3. 教学设计的评价
教学设计的评价主要包括评价计划的制定、评价方法的选择、设计方案的试用以及评价结果的形成等四个方面，是教师根据教学内容、教学目标制定出评价标准，通过调查法、观察法、试卷测验等方法，分析出课堂教学设计的优点和不足，并对教学设计方案进行修改和优化，尽可能地提高教学的质量.
■PBL教学法在高中函数教学中的应用
函数一直是高中数学教学的重点和难点，为了便于读者在实际操作中能够更好地把握PBL教学模式的应用，笔者以《函数的应用》教学为例进行深入探讨.
1. 前期分析
在该内容学习之前，学生就已经掌握了一次、二次以及指数函数的函数模型，对于函数模型的具体应用有着强烈的求知欲，并且具备了一定的创新能力、概括能力以及抽象思维能力. 但不足是学生转化为实际问题的能力比较薄弱，加上函数模型本身知识的难度，教师应让学生感受数学建模的真实过程，让学生在具体问题的分析中选择适当的函数模型，辩证地看待知识理解和应用之间的关系.
2. 教学设计的决策与生成
（1）制定教学目标
PBL教学模式注重学生从数学的角度提出、分析和解决实际问题，重在培养学生的问题意识和创新精神，提高知识综合运用和解决问题过程中“再创造”数学知识的能力. 在知识与技能方面能够理解数学模型和数学建模的概念，巩固一次函数和二次函数的内涵，掌握建立函数模型解决实际问题的过程；在过程与方法方面提高学生应用知识解决实际问题的能力，了解数学建模思想，感受函数思想在生活中的应用，体会数学知识在实际生活中的广泛应用；情感态度价值观方面，提高学生探究新知的兴趣，培养学生勇于探索的科学态度，加强学生的数学应用意识.
（2）创设问题情境
使学生发现问题是PBL教学的第一步，教师应在分析教学内容的基础上呈现出与实际生活密切相关的问题，通过问题的探究帮助学生掌握数学知识. 例如，笔者呈现出了以下实际问题情境，要求学生将该题目转化为理想化数学模型，并思考提出问题.
如表1所示，已知某校学生不同身高的男同学体重平均值，要求学生猜测该校男同学的体重与身高是否存在函数关系. 如果存在，则这种关系具体是什么？表1 某校学生不同身高男同学体重平均值
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解析：以表1数据为基础，引导学生建立直角坐标系，其中横坐标为身高，纵坐标为体重，并根据散点图分布特征确定该校学生体重与身高之间的函数关系. （3）分析探究问题
分析和探究是解决问题的基础，教师应以小组合作的形式组织学生进行交流讨论，让其明白解决该问题已经具备了哪些知识，还需要哪些知识，并可以通过教师的指导收集所需要的资源和信息，从而让注重教师的“教”变为注重学生的“学”，加强学生的创新思维和解决问题的能力.
例如，根据学生画出的散点图，大部分学生在尝试一次函数、二次函数等模型后均未能找到相应的关系，此时教师鼓励学生搜集相关资料，在组织学生查阅资料的基础上，笔者给出了通常情况下体重与身高之间的函数模型，即y=abx，并要求学生检验该模型与该校学生体重与身高之间的拟合程度.
解析：组织学生选取其中间隔较大的两组数据进行验证，不妨选取（70，7.90），（160，47.25）代入函数y=abx，解得a≈2，b≈1.02，即y=2×1.02x，并组织学生利用其他已知数据进行验证，发现该函数与已知数据拟合程度较好.
（4）解决实际问题
通过分析探究问题能够得出问题的总体框架，但并不是最终问题，教师应及时组织学生利用新的知识解决实际问题，发现学生在解决具体问题过程中的障碍，促进学生高级思维的发展. 例如，笔者在得出该函数模型后，利用函数模型解决以下实际问题：如果低于该校男生平均體重的0.8倍为偏瘦，超过该校男生平均体重的1.2倍以上则为偏胖，则175 cm、78 kg的小强体重是否标准？
解析：将x=175代入y=2×1.02x，得出y≈63.98，而■≈1.22，显然小强的体重偏胖.
（5）形成成果，全面评价
为了巩固知识，从中发现一些新的探究问题，教师应对这节课的学习结果邀请学生进行总结和梳理，同时，还应通过让学生填写自我评价表、课后练习等形式进行反思.
例如，在本节课程中，笔者进一步提问现实生活中胖瘦判断的依据，引入“BMI=■”的概念，并组织学生总结出以下运用函数模型解决实际问题的基本过程，如图1所示.
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图1 函数模型解决实际问题基本流程
综上所述，以问题提出、探究与分析、解决为核心的PBL教学法能够调动学生学习的积极性，让学生在复杂、有意义的问题情境中通过小组合作的形式进行学习，有利于提高高中数学知识的教学质量和水平，完全符合新课标倡导的教学思想和理念，能够将课程改革的新思想、新理念落到实处.