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◆摘 要：数学语言在数学教学中起着桥梁的作用。本文对初中生数学语言表达中常见的错误进行归类剖析，主要有：概念不清、形量不分、乱造术语、分类混乱、增减条件与互相矛盾等。并从促进提出初中生数学语言表达的视点提出问题解决策略：加强教师的素养，指导方法让学生会说，提供平台让学生多说。
◆關键词：初中生；数学语言表达；错误分析；对策
数学语言表达是指把思考数学对象、解决数学问题的过程用数学语言表示出来，阐明自己的观点、意见。数学语言表达能力包括数学语言的口头表达能力和书面表达能力。数学语言表达能力是一种重要的数学能力，运用数学语言进行表达和交流的能力已成为一个人综合素质的标志之一。《数学课程标准》也指出：“数学是一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”因此提高学生的数学语言表达不仅是新课程标准提出的要求，更是数学教育中的一项重要任务。
一、初中生数学语言表达中的常见错误分析
初中阶段正是数学语言学习的基础阶段，由于初中生的认知能力和所学知识有限，他们对数学语言的表达往往不规范，会出现各种各样的错误。高虎在《铺就提高学生数学课堂语言表达能力的“立交桥”》一文中指出在数学课堂上初中生的语言表达能力差，有口难言，词不达意的现象十分普遍。本文章通过分析学生作业和教学录像，对初中生数学语言表达中的错误进行归类分析，具体如下。
（一）概念不清，表达有误
概念是反映客观事物的本质属性的一种思维的基本形式。人类在认识过程中，把所感觉到的事物的共同特点抽出来，加以概括，就成为概念。初中生在概念使用表达中经常会出现混用概念、概念模糊等现象。
1.混用概念
数学中有一些相近的概念，虽然一字之差，却意义相差很远。如：“整除”与“除尽”，“数位”与“位数”，“约数”和“倍数”等，学生在使用时就容易发生混淆。例如：有学生说因为2.8÷0.4=7，所以2.8能被0.4整除。学生把“整除”、“除尽”两个概念混淆而导致错误。整除的意思是被除数是整数，除数是自然数（0除外），商是整数而没有余数时，叫整除。而除尽的意思是：两数相除（不管是整数还是有限小数），商是有限的小数或整数时，叫除尽。
2.概念模糊
倍是数学中的一个基本概念，在数量表达中，经常会出现“增加（减少）了”、“增加（减少）到”、“扩大（缩小）到”与倍数的搭配用错的现象。例如：一种商品成本是120元，售价是360元，用“倍”的句子表达成本价与售价之间的关系。学生的错误表达：售价比成本价增加了3倍；售价比成本价扩大了3倍；成本价比售价缩小了3倍；成本价比售价减少了2倍……
“增加了”是指在原来的基础上多了一部分；“增加到”是指在原来基础上增加了一部分后，所得的总的结果。“增加几倍”的意思是在原来的基础上，增加了原来的几倍，即增加后的数是原来的（几+1）倍。“扩大到”是指一个数量成倍的增加到最后的结果。如：把0.01扩大到它的10倍就是把它乘10。同样“缩小到”指一个数量由大到小，变化到最后的结果，变化是成倍数进行的。如：把一平方米缩小为原来的1/10，就是把它除以10。
因此，学生可以这样表达：售价是成本价的3倍；售价比成本价增加了2倍；售价扩大到成本价的3倍；售价比成本价扩大了2倍；成本价比售价缩小了2倍或成本价是售价的1/3，但不能说成本价比售价减少了2倍，因为减少虽然也表示成本价比售价少，但是不能用减少整数倍来表示。减少的倍数不能大于1，应该说成本价比售价减少2/3倍。
（二）形量不分，表述有误
图形与数量常常存在着互相包含的现象，图形可以蕴含数量关系，数量可用来揭示图形的本质，他们既是互相对立的又是互相统一的。有些学生往往会出现数量与图形不分的错误表达。例如：1平方分米就是边长为1分米的正方形。例子中，“1平方分米”是数量，“正方形”是图形，二者不同类，它们只是在数量的大小上相等，两者的本质是不一样的。应该说边长是1分米的正方形的面积是1平方分米，或者说1平方分米就是边长为1分米的正方形所占面积的大小。
（三）增减条件，表述不清
数学语言具有准确、精炼的特点。每一个数学概念、定理、公式等都有精确、完整的描述。但学生在描述时常常会出现增加、减少条件等现象。例如：等式两边都同时乘以（或除以）一个数，等式仍然成立。该表述中多了“同时”两个字，在“一个数”前少了“同”字和“不为0”关键字。“同时”两个字是强调等式的左边和右边要同时乘以（或除以）一个数，由于“都”是就已经有这个意思了，所以可以去掉“同时”两个字。但是“一个数”如果没有“同”和“不为0”的限制，就会出现两种情况：①等式的两边除以0，这是不对的；②等式的左边乘以（或除以）一个数，右边乘以（或除以）另一个数，这时原来的等式已经不再是等式了。因此正确的表述应该是：等式两边都乘以（或除以不为0的）同一个数，等式仍然成立。
（四）自相矛盾，表述错误
在同一思维过程中，两个具有互相矛盾或反对关系的思想不能同真，其中至少有一假。学生的数学语言表达往往会犯自相矛盾的错误。例如：“这个直角不是90°的角”；“这个圆画得不圆”。例子中，这样的口语违背了矛盾律。既然是直角，就应该是90°。既然把这个图形叫做圆，它就应该有圆的特征，是圆的。这是学生语言陈述中的错误和缺陷。可以这样子改正：这个角不是90°的角；这个图形画得不圆。
二、结论与对策
有研究者通过调查发现学生能准确、规范（包括较好）地使用数学语言的仅占37%，使用一般及较差者占63%，在运用数学语言进行交流的能力几乎空白。可见学生的数学语言表达水平一般，因此教师要充分发挥引导者的作用，调动学生的积极能动性、创造良好的语言环境主动性，来提高学生的数学语言表达能力。具体对策如下。 （一）加强教师数学素养
教师是学生学习的榜样，从这个角度来讲，教师的数学素质是学生数学语言表达的前提基础和保证。教师具有较高的数学素养，具有精确、简洁的数学语言；能夠对概念、定理的讲解科学准确，对公式的推理富有逻辑性，对同一个问题能用多种不同的形式表达，才能教育和引导学生正确使用数学语言，对学生数学语言表达中的错误进行充分的剖析和指导。教师科学的数学语言对学生的影响是潜移默化的，教师的一言一行都深深地影响着学生。因此教师要加强学生的数学语言的教学。教师应对学生数学语言表达中出现的错误，找准原因对症下药。初中学生数学语言表达常见的错误，大部分是数学知识性的错误。因此教师要做充分的备课，对容易产生错误的知识点加于注意；对学生表达中的错误要分析原因，进行及时的纠正并寻找突破点，当场讲解辨析；对学生的数学语言表达中的错误进行总结，加以分类，才不至于下次再犯类似的错误。
（二）指导方法，让学生会说
教学实践证明，学生数学语言表达能力的高低与数学基础知识掌握的程度密切相关。如果学生数学语言欠缺，联结出现困难，将导致学生理解不准确或理解错误，不能很好地产生知识的正迁移，必然影响着初中生数学语言的表达。因此良好的知识结构是顺利进行语言表达的关键。所幸的是初中生的可塑性强，可以指导学生数学语言表达，让学生学会表达。学生要学会倾听，只有倾听才能表达，教师要指导学生学会倾听，在倾听中学习数学语言的表达。听的时候要注意有目的的听：从总体上把握别人发言的要点；听别人解答问题的思维策略；听别人表达的内容是否周全、观点是否准确，并与自己思路对比，以查漏补缺，使自己表达更完整。听完后要学着说。
（三）提供平台，让学生多说
语言表达是人与人之间发生的相互依赖的社会交往活动。学生数学语言表达的过程是与其他个体之间的对话交流、互动的过程。因此教师的语言表达、周围同伴的数学语言表达等语言环境都会对学生产生一定的影响。语言和环境二者是密不可分的，语言表达要在一定的环境下进行，教师是否给学生创造一个良好表达情境，这也是影响学生数学语言表达的因素。因此教师要在保证教学知识性和教育性的前提下，改善语言环境，丰富教学形式，活跃课堂气氛，吸引学生积极参与课堂活动，从而达到寓教于乐，提高学生数学语言表达能力。教师在概念教学中要让学生多说。要理解着说，这就要求学生对概念了解透彻，逐字逐句搞清概念的含义，并从概念的内涵和外延上认识概念的本质属性。让学生不但说出定义、定理、公式、法则和性质的具体内容，更要说出关键字词；要说概念间的联系与区别。在计算教学中，加强算理教学，让学生讲一讲自己的计算方法、计算步骤、运算过程、运算顺序，在讨论中发现错误并改正。不仅可以帮助学生掌握所学的计算方法，在头脑中形成更清晰的计算知识；还有利于培养学生的思维，从而提高学生的数学语言表达能力。在应用题教学中，让学生谈一谈自己的想法、解题思路、解题依据等，这样不仅促进了学生数学语言的表达，还促进学生的思维发展，提高学生的推理能力。
参考文献
[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006：34-35.
[2]教育部.全日制义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2001：7.
[3]高虎.铺就提高学生数学课堂语言表达能力的“立交桥”[J].教育理论与实践，2007：16.
[4]程惠.《矛盾律》中的逻辑矛盾[J].科技咨询导报，2007：18.
[5]胡良华.学生数学课堂语言表达的调查与分析[J].和田师范专科学校学报，2005：1.
[6]黄福山.必须重视培养学生的数学语言表达能力[J].课程教材教学研究（中教研究），2005：25.
◆關键词：初中生；数学语言表达；错误分析；对策
数学语言表达是指把思考数学对象、解决数学问题的过程用数学语言表示出来，阐明自己的观点、意见。数学语言表达能力包括数学语言的口头表达能力和书面表达能力。数学语言表达能力是一种重要的数学能力，运用数学语言进行表达和交流的能力已成为一个人综合素质的标志之一。《数学课程标准》也指出：“数学是一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”因此提高学生的数学语言表达不仅是新课程标准提出的要求，更是数学教育中的一项重要任务。
一、初中生数学语言表达中的常见错误分析
初中阶段正是数学语言学习的基础阶段，由于初中生的认知能力和所学知识有限，他们对数学语言的表达往往不规范，会出现各种各样的错误。高虎在《铺就提高学生数学课堂语言表达能力的“立交桥”》一文中指出在数学课堂上初中生的语言表达能力差，有口难言，词不达意的现象十分普遍。本文章通过分析学生作业和教学录像，对初中生数学语言表达中的错误进行归类分析，具体如下。
（一）概念不清，表达有误
概念是反映客观事物的本质属性的一种思维的基本形式。人类在认识过程中，把所感觉到的事物的共同特点抽出来，加以概括，就成为概念。初中生在概念使用表达中经常会出现混用概念、概念模糊等现象。
1.混用概念
数学中有一些相近的概念，虽然一字之差，却意义相差很远。如：“整除”与“除尽”，“数位”与“位数”，“约数”和“倍数”等，学生在使用时就容易发生混淆。例如：有学生说因为2.8÷0.4=7，所以2.8能被0.4整除。学生把“整除”、“除尽”两个概念混淆而导致错误。整除的意思是被除数是整数，除数是自然数（0除外），商是整数而没有余数时，叫整除。而除尽的意思是：两数相除（不管是整数还是有限小数），商是有限的小数或整数时，叫除尽。
2.概念模糊
倍是数学中的一个基本概念，在数量表达中，经常会出现“增加（减少）了”、“增加（减少）到”、“扩大（缩小）到”与倍数的搭配用错的现象。例如：一种商品成本是120元，售价是360元，用“倍”的句子表达成本价与售价之间的关系。学生的错误表达：售价比成本价增加了3倍；售价比成本价扩大了3倍；成本价比售价缩小了3倍；成本价比售价减少了2倍……
“增加了”是指在原来的基础上多了一部分；“增加到”是指在原来基础上增加了一部分后，所得的总的结果。“增加几倍”的意思是在原来的基础上，增加了原来的几倍，即增加后的数是原来的（几+1）倍。“扩大到”是指一个数量成倍的增加到最后的结果。如：把0.01扩大到它的10倍就是把它乘10。同样“缩小到”指一个数量由大到小，变化到最后的结果，变化是成倍数进行的。如：把一平方米缩小为原来的1/10，就是把它除以10。
因此，学生可以这样表达：售价是成本价的3倍；售价比成本价增加了2倍；售价扩大到成本价的3倍；售价比成本价扩大了2倍；成本价比售价缩小了2倍或成本价是售价的1/3，但不能说成本价比售价减少了2倍，因为减少虽然也表示成本价比售价少，但是不能用减少整数倍来表示。减少的倍数不能大于1，应该说成本价比售价减少2/3倍。
（二）形量不分，表述有误
图形与数量常常存在着互相包含的现象，图形可以蕴含数量关系，数量可用来揭示图形的本质，他们既是互相对立的又是互相统一的。有些学生往往会出现数量与图形不分的错误表达。例如：1平方分米就是边长为1分米的正方形。例子中，“1平方分米”是数量，“正方形”是图形，二者不同类，它们只是在数量的大小上相等，两者的本质是不一样的。应该说边长是1分米的正方形的面积是1平方分米，或者说1平方分米就是边长为1分米的正方形所占面积的大小。
（三）增减条件，表述不清
数学语言具有准确、精炼的特点。每一个数学概念、定理、公式等都有精确、完整的描述。但学生在描述时常常会出现增加、减少条件等现象。例如：等式两边都同时乘以（或除以）一个数，等式仍然成立。该表述中多了“同时”两个字，在“一个数”前少了“同”字和“不为0”关键字。“同时”两个字是强调等式的左边和右边要同时乘以（或除以）一个数，由于“都”是就已经有这个意思了，所以可以去掉“同时”两个字。但是“一个数”如果没有“同”和“不为0”的限制，就会出现两种情况：①等式的两边除以0，这是不对的；②等式的左边乘以（或除以）一个数，右边乘以（或除以）另一个数，这时原来的等式已经不再是等式了。因此正确的表述应该是：等式两边都乘以（或除以不为0的）同一个数，等式仍然成立。
（四）自相矛盾，表述错误
在同一思维过程中，两个具有互相矛盾或反对关系的思想不能同真，其中至少有一假。学生的数学语言表达往往会犯自相矛盾的错误。例如：“这个直角不是90°的角”；“这个圆画得不圆”。例子中，这样的口语违背了矛盾律。既然是直角，就应该是90°。既然把这个图形叫做圆，它就应该有圆的特征，是圆的。这是学生语言陈述中的错误和缺陷。可以这样子改正：这个角不是90°的角；这个图形画得不圆。
二、结论与对策
有研究者通过调查发现学生能准确、规范（包括较好）地使用数学语言的仅占37%，使用一般及较差者占63%，在运用数学语言进行交流的能力几乎空白。可见学生的数学语言表达水平一般，因此教师要充分发挥引导者的作用，调动学生的积极能动性、创造良好的语言环境主动性，来提高学生的数学语言表达能力。具体对策如下。 （一）加强教师数学素养
教师是学生学习的榜样，从这个角度来讲，教师的数学素质是学生数学语言表达的前提基础和保证。教师具有较高的数学素养，具有精确、简洁的数学语言；能夠对概念、定理的讲解科学准确，对公式的推理富有逻辑性，对同一个问题能用多种不同的形式表达，才能教育和引导学生正确使用数学语言，对学生数学语言表达中的错误进行充分的剖析和指导。教师科学的数学语言对学生的影响是潜移默化的，教师的一言一行都深深地影响着学生。因此教师要加强学生的数学语言的教学。教师应对学生数学语言表达中出现的错误，找准原因对症下药。初中学生数学语言表达常见的错误，大部分是数学知识性的错误。因此教师要做充分的备课，对容易产生错误的知识点加于注意；对学生表达中的错误要分析原因，进行及时的纠正并寻找突破点，当场讲解辨析；对学生的数学语言表达中的错误进行总结，加以分类，才不至于下次再犯类似的错误。
（二）指导方法，让学生会说
教学实践证明，学生数学语言表达能力的高低与数学基础知识掌握的程度密切相关。如果学生数学语言欠缺，联结出现困难，将导致学生理解不准确或理解错误，不能很好地产生知识的正迁移，必然影响着初中生数学语言的表达。因此良好的知识结构是顺利进行语言表达的关键。所幸的是初中生的可塑性强，可以指导学生数学语言表达，让学生学会表达。学生要学会倾听，只有倾听才能表达，教师要指导学生学会倾听，在倾听中学习数学语言的表达。听的时候要注意有目的的听：从总体上把握别人发言的要点；听别人解答问题的思维策略；听别人表达的内容是否周全、观点是否准确，并与自己思路对比，以查漏补缺，使自己表达更完整。听完后要学着说。
（三）提供平台，让学生多说
语言表达是人与人之间发生的相互依赖的社会交往活动。学生数学语言表达的过程是与其他个体之间的对话交流、互动的过程。因此教师的语言表达、周围同伴的数学语言表达等语言环境都会对学生产生一定的影响。语言和环境二者是密不可分的，语言表达要在一定的环境下进行，教师是否给学生创造一个良好表达情境，这也是影响学生数学语言表达的因素。因此教师要在保证教学知识性和教育性的前提下，改善语言环境，丰富教学形式，活跃课堂气氛，吸引学生积极参与课堂活动，从而达到寓教于乐，提高学生数学语言表达能力。教师在概念教学中要让学生多说。要理解着说，这就要求学生对概念了解透彻，逐字逐句搞清概念的含义，并从概念的内涵和外延上认识概念的本质属性。让学生不但说出定义、定理、公式、法则和性质的具体内容，更要说出关键字词；要说概念间的联系与区别。在计算教学中，加强算理教学，让学生讲一讲自己的计算方法、计算步骤、运算过程、运算顺序，在讨论中发现错误并改正。不仅可以帮助学生掌握所学的计算方法，在头脑中形成更清晰的计算知识；还有利于培养学生的思维，从而提高学生的数学语言表达能力。在应用题教学中，让学生谈一谈自己的想法、解题思路、解题依据等，这样不仅促进了学生数学语言的表达，还促进学生的思维发展，提高学生的推理能力。
参考文献
[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006：34-35.
[2]教育部.全日制义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2001：7.
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