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与语文、外语等自然语言一样,作为科学语言的数学也承担着学生阅读能力培养的重要作用.随着数学新课程改革的深入,无论在数学新课程的内容设置还是诸如中考高考等重大测评中,数学教育循序渐进地加大了对学生数学阅读能力的培养与考核,但学生的数学阅读能力依然不尽如人意.数学阅读能力是指从数学公式、图形、符号、文字等数学材料中提取信息的心理过程和智力过程的一种能力.我们认为,数学阅读能力的核心是数学现场阅读理解能力.
一、数学现场阅读理解能力及其案例
一般地,数学现场阅读理解能力指的是:面对新情境,能够现场(临场)地阅读、理解与运用数学概念、原理解决数学问题的能力,亦即现场学习数学知识、现场解决数学问题,也就是数学上的“可持续发展能力”.学会数学阅读,是数学教育追求的重要目标之一.
让我们先看看几个运用数学现场阅读理解成功解决问题的高考数学案例.
例1(2009高考数学湖南文理21)对于数列{un},若存在常数M>0,对任意的n∈N*,恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M,则称数列{un}为B-数列.
(I)首项为1,公比为q(|q|<1)的等比数列是否为B-数列?请说明理由;
(II)设Sn是数列{xn}的前n项和,给出下列两组论断:
A组:①数列{xn}是B-数列
②数列{xn}不是B-数列
B组:③数列{Sn}是B-数列
④数列{Sn}不是B-数列
请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假,并证明你的结论;
(Ⅲ)若数列{an},{bn}都是B-数列,证明:数列{anbn}也是B-数列.
例2(2008高考数学陕西理12)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0a1,h1=h0a2,的运算规则为00=0,01=1,10=1,11=0,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( ).
A. 11010B. 01100
C. 10111D. 00011
例3 (2004高考数学广东理21)设函数f(x)=x-ln(x+m),其中常数m为整数.
(I)当m为何值时,f(x)≥0;
(II)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使得g(x0)=0.
试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)=0在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根.
这是三类典型的定义新概念、新运算、新定理型数学阅读理解问题,常称“新信息迁移题”,正确解答必须现场紧扣、深刻理解并灵活运用给定的新知识.首先,这些新知识不是中学数学现有的知识,是新概念、新定义、新定理和新规则、新情境等,无现成经验借鉴;其二,读懂新概念、理解新情境、获取新信息,现场恰当表征所定义的数学概念或符号的含义是正确解题的前提或关键,要求“现学现用”;其三,问题往往通过高等数学形式化语言来定义或表述新概念或新符号等,以高等数学知识为背景(如数学分析、高等代数、概率论与数理统计、近世代数、数值分析等),高数初数有机结合,有效地考查学生在新的信息和情境下,独立获取和运用新信息的能力以及继续学习数学的潜能和创新意识.
对于上述例1,完整解决则依赖于对新概念“B-数列”的准确把握,类似的还有2004高考数学北京试题“等和数列”、2006年北京理“绝对差数列”与湖南文“逆序数”(高等代数中的反序数)数列、2007上海理“对称数列”与湖北“等方比数列”等等.例2给出一种新的运算“”,考查学生的阅读理解能力、创新能力和知识迁移能力,要求现场学习、理解这个从未学过的新概念,并在此基础上解决新问题;其中包含概念学习,不只是符号学习.
例3是新原理运用型数学阅读理解问题,构造或寻找满足定理条件是能否解答(II)的关键.由(I)知整数m>1时,f(1-m)=1-m<0,函数f(x)=x-ln(x+m)在[e-m-m,1-m]上为连续减函数;f(e-m-m)=e-m-m-
ln(e-m-m+m)=e-m>0,当整数m>1时,f(e-m-m)与f(1-m)异号.由所给定理知,存在唯一x1∈(e-m-m,1-m)使f(x1)=0. 类似地,可证存在唯一的x2∈(e-m-m,1-m)使f(x2)=0.
二、培养数学现场阅读理解能力的若干策略
1. 运用数学新课程资源,培养良好的数学现场阅读习惯
我们可充分运用数学新教材(必修或选修)及其“阅读与思考”“探究与发现”“课题学习”“实践与综合”等栏目,适当补充或推荐一些较高质量的课外阅读素材,根据教材内容、学生心理特点及阅读能力,有计划、分层次指导学生通过“精读”、“泛读”等阅读方式,在数学思维的主动参与下阅读数学素材.长此以往,就可以大大提高学生对阅读材料中提取关键数学信息的能力,养成良好的数学现场阅读习惯.
例4(2006高考数学广东理20)A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:①对任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);②存在常数L(0 (I)设φ(x)=,x∈[2,4],证明:φ(x)∈A;
(II)设φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的;
(Ⅲ)设φ(x)∈A,任取xl∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk+p-xk|≤|x2-x1|.
[评析]本题的背景是巴拿赫不动点定理即压缩映射原理(Ⅱ)与不动点迭代法收敛定理(Ⅲ),涉及高等数学中的Lipschitz 条件②;压缩映射原理是泛函分析中的一个最常用、最简单的存在性定理,不动点迭代法收敛定理在数值分析中有广泛应用.
不动点的现象在自然界、生活中随处可见.关于不动点问题的系统研究始于20世纪, 1912年荷兰数学家布劳韦尔提出著名的不动点定理:任意一个把n维球体变为自身的连续变换,至少有一个不动点.然而不动点定理只告知不动点的存在性,却没说不动点在哪里.1967年,美国耶鲁大学斯卡弗教授提出一种用有限点列逼近不动点的算法,不动点由未知转向已知方面,使其应用取得了一系列卓越成果.在数学中,不动点理论广泛用于解各种方程问题.
初看题目,不好理解,关键是现场读懂数学符号语言,需要较高的数学现场处理能力.其实,仔细分析题意,不难发现:(I)是证φ(2x)=,x∈[2,4]满足条件②;(II)是用反证法证不动点x0=φ(2x0)的唯一性;(Ⅲ)是利用添减项法与放缩法等证明不等式.
教师可将该问题以数学研究性学习、课题学习等形式,推荐给学生作为数学阅读素材,从中让学生体会阅读的收获和喜悦,培养学生的阅读兴趣;或一题多变、一题多解等变式教学,为提升其数学现场阅读理解能力乃至终身发展创造条件.
一、数学现场阅读理解能力及其案例
一般地,数学现场阅读理解能力指的是:面对新情境,能够现场(临场)地阅读、理解与运用数学概念、原理解决数学问题的能力,亦即现场学习数学知识、现场解决数学问题,也就是数学上的“可持续发展能力”.学会数学阅读,是数学教育追求的重要目标之一.
让我们先看看几个运用数学现场阅读理解成功解决问题的高考数学案例.
例1(2009高考数学湖南文理21)对于数列{un},若存在常数M>0,对任意的n∈N*,恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M,则称数列{un}为B-数列.
(I)首项为1,公比为q(|q|<1)的等比数列是否为B-数列?请说明理由;
(II)设Sn是数列{xn}的前n项和,给出下列两组论断:
A组:①数列{xn}是B-数列
②数列{xn}不是B-数列
B组:③数列{Sn}是B-数列
④数列{Sn}不是B-数列
请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假,并证明你的结论;
(Ⅲ)若数列{an},{bn}都是B-数列,证明:数列{anbn}也是B-数列.
例2(2008高考数学陕西理12)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0a1,h1=h0a2,的运算规则为00=0,01=1,10=1,11=0,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( ).
A. 11010B. 01100
C. 10111D. 00011
例3 (2004高考数学广东理21)设函数f(x)=x-ln(x+m),其中常数m为整数.
(I)当m为何值时,f(x)≥0;
(II)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使得g(x0)=0.
试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)=0在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根.
这是三类典型的定义新概念、新运算、新定理型数学阅读理解问题,常称“新信息迁移题”,正确解答必须现场紧扣、深刻理解并灵活运用给定的新知识.首先,这些新知识不是中学数学现有的知识,是新概念、新定义、新定理和新规则、新情境等,无现成经验借鉴;其二,读懂新概念、理解新情境、获取新信息,现场恰当表征所定义的数学概念或符号的含义是正确解题的前提或关键,要求“现学现用”;其三,问题往往通过高等数学形式化语言来定义或表述新概念或新符号等,以高等数学知识为背景(如数学分析、高等代数、概率论与数理统计、近世代数、数值分析等),高数初数有机结合,有效地考查学生在新的信息和情境下,独立获取和运用新信息的能力以及继续学习数学的潜能和创新意识.
对于上述例1,完整解决则依赖于对新概念“B-数列”的准确把握,类似的还有2004高考数学北京试题“等和数列”、2006年北京理“绝对差数列”与湖南文“逆序数”(高等代数中的反序数)数列、2007上海理“对称数列”与湖北“等方比数列”等等.例2给出一种新的运算“”,考查学生的阅读理解能力、创新能力和知识迁移能力,要求现场学习、理解这个从未学过的新概念,并在此基础上解决新问题;其中包含概念学习,不只是符号学习.
例3是新原理运用型数学阅读理解问题,构造或寻找满足定理条件是能否解答(II)的关键.由(I)知整数m>1时,f(1-m)=1-m<0,函数f(x)=x-ln(x+m)在[e-m-m,1-m]上为连续减函数;f(e-m-m)=e-m-m-
ln(e-m-m+m)=e-m>0,当整数m>1时,f(e-m-m)与f(1-m)异号.由所给定理知,存在唯一x1∈(e-m-m,1-m)使f(x1)=0. 类似地,可证存在唯一的x2∈(e-m-m,1-m)使f(x2)=0.
二、培养数学现场阅读理解能力的若干策略
1. 运用数学新课程资源,培养良好的数学现场阅读习惯
我们可充分运用数学新教材(必修或选修)及其“阅读与思考”“探究与发现”“课题学习”“实践与综合”等栏目,适当补充或推荐一些较高质量的课外阅读素材,根据教材内容、学生心理特点及阅读能力,有计划、分层次指导学生通过“精读”、“泛读”等阅读方式,在数学思维的主动参与下阅读数学素材.长此以往,就可以大大提高学生对阅读材料中提取关键数学信息的能力,养成良好的数学现场阅读习惯.
例4(2006高考数学广东理20)A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:①对任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);②存在常数L(0
(II)设φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的;
(Ⅲ)设φ(x)∈A,任取xl∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk+p-xk|≤|x2-x1|.
[评析]本题的背景是巴拿赫不动点定理即压缩映射原理(Ⅱ)与不动点迭代法收敛定理(Ⅲ),涉及高等数学中的Lipschitz 条件②;压缩映射原理是泛函分析中的一个最常用、最简单的存在性定理,不动点迭代法收敛定理在数值分析中有广泛应用.
不动点的现象在自然界、生活中随处可见.关于不动点问题的系统研究始于20世纪, 1912年荷兰数学家布劳韦尔提出著名的不动点定理:任意一个把n维球体变为自身的连续变换,至少有一个不动点.然而不动点定理只告知不动点的存在性,却没说不动点在哪里.1967年,美国耶鲁大学斯卡弗教授提出一种用有限点列逼近不动点的算法,不动点由未知转向已知方面,使其应用取得了一系列卓越成果.在数学中,不动点理论广泛用于解各种方程问题.
初看题目,不好理解,关键是现场读懂数学符号语言,需要较高的数学现场处理能力.其实,仔细分析题意,不难发现:(I)是证φ(2x)=,x∈[2,4]满足条件②;(II)是用反证法证不动点x0=φ(2x0)的唯一性;(Ⅲ)是利用添减项法与放缩法等证明不等式.
教师可将该问题以数学研究性学习、课题学习等形式,推荐给学生作为数学阅读素材,从中让学生体会阅读的收获和喜悦,培养学生的阅读兴趣;或一题多变、一题多解等变式教学,为提升其数学现场阅读理解能力乃至终身发展创造条件.