【摘 要】
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图论是1736年由欧拉（Euler）在解决柯尼斯堡七桥问题时首次提出,在图论当中,最著名的问题当属四色猜想,针对这一问题,很多学者和专家进行了大量的研究工作,直到1976年阿佩尔（Appel）和哈肯（Haken）借助电子计算机证明了四色猜想,将四色猜想变为四色定理.但由于计算机证明无法给出令人信服的思考过程,所以对四色定理的证明并未止步.在“四色问题”的研究过程中,不少新的数学理论随之产生,在此期
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图论是1736年由欧拉（Euler）在解决柯尼斯堡七桥问题时首次提出,在图论当中,最著名的问题当属四色猜想,针对这一问题,很多学者和专家进行了大量的研究工作,直到1976年阿佩尔（Appel）和哈肯（Haken）借助电子计算机证明了四色猜想,将四色猜想变为四色定理.但由于计算机证明无法给出令人信服的思考过程,所以对四色定理的证明并未止步.在“四色问题”的研究过程中,不少新的数学理论随之产生,在此期间图论的一个分支——染色理论也得到了快速发展.点荫度属于染色理论中的一种特殊的点染色.图的点荫度是对图G的点集进行顶点着色,使得每个颜色类的导出子图是森林的最小颜色数,一般用符号va（G）表示.针对几类不含相邻短圈的图的点荫度问题,本文所采用的主要证明方法为反证法,关键证明思路是利用平面图和可嵌入到欧拉示性数非负曲面的图的结构性质,通过欧拉公式和握手定理,依据本文所给出的赋值规则赋予点和面新的权值,最终得出矛盾,完成对定理的证明.本文首先研究了不含相邻短圈的平面图的点荫度问题,在前面学者对于不含3-圈的、4-圈的、5-圈的平面图的点荫度的研究基础上,进行了改进,给出了平面图的点荫度至多为2的两个充分条件:第一个是平面图不存在相邻的3-圈和5-圈,第二个是平面图不存在相邻的4-圈和5-圈.另外将不含相邻短圈的平面图的点荫度问题推广到欧拉示性数非负曲面的图上,证明了不含相邻的3-圈和5-圈的可嵌入到欧拉示性数非负曲面的图G,若图G不是4-正则四边形网格图,则图G的点荫度满足va（G）≤2.
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