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关于一个群G,我们可以得到一个结合Lie环L(G),L(G)可以反映出G的一些幂零特征.这样,在幂零群的研究中,Lie环方法扮演着重要的角色,具有基本的重要性.本文研究了Lie环的一些幂零性质,目的是把幂零群中的一些基本结果:中心列特征、Hall的幂零性准则等推广到Lie环,同时也给出两个Lie环的幂零性准则,由此得到对幂零Lie环的深入理解.
首先,我们仿照幂零群的处理方式,引进幂零Lie环的中心列、上中心列、下中心列,给出Lie环的幂零类的概念,并对两类最基本的幂零Lie环给出其上、下中心列.
其次,我们知道在一个Lie环L中,若对任意x1,x2,…,xc,xc+1∈L,有[x1,x2,…,xc,xc+1]=0,则L幂零,且幂零类≤c,而本文将给出另外两个Lie环的幂零性准则:1.L是Lie环,且L作为交换群是3群,若对任意x1,x2,…,xn-1∈L,n≥3,有[x1,x2,…,xn-1,x1]=0,则L幂零,且幂零类≤n-1.2.设L是一Lie环,且对任意x1,x2,…,xn-1∈L,n≥3,有[x1,x2,…,xn-1,x1]=0,则L幂零,且幂零类≤n;最后,,我们把Hall的幂零性准则推广到Lie环上,即设N是Lie环L的理想,且N和L/N幂零,则L幂零,并证明此类Lie环的幂零类的准确上界是cd+(c-1)(d-1),并给出例子.