【摘 要】
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扩散现象无处不在,它被广泛应用到生态学、传染病学、物理学等学科中.扩散研究目前已成为生态学研究中的一个热点,它与种群的扩张（特别是外来物种的入侵）和传染病的防控息息相关.本文围绕扩散这一主题,以种群扩散和传染病扩散机制为研究对象,以不同的扩散区域和扩散方式为主线,考虑演化区域、自由边界、空间异质性及季节演化等因素对解的渐近形态的影响,具体包括以下几个方面:第一章主要介绍了关于生态扩散、不同区域上的
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扩散现象无处不在,它被广泛应用到生态学、传染病学、物理学等学科中.扩散研究目前已成为生态学研究中的一个热点,它与种群的扩张（特别是外来物种的入侵）和传染病的防控息息相关.本文围绕扩散这一主题,以种群扩散和传染病扩散机制为研究对象,以不同的扩散区域和扩散方式为主线,考虑演化区域、自由边界、空间异质性及季节演化等因素对解的渐近形态的影响,具体包括以下几个方面:第一章主要介绍了关于生态扩散、不同区域上的扩散和不同方式的扩散的一些背景知识、研究现状,并给出本文所研究的主要内容.第二章、第三章及第四章中刻画的是在已知区域变化上的局部扩散,其中第二章描述的是种群的扩散,而第三章及第四章描述的是传染病的扩散.第五章刻画的是传染病在未知区域变化上的非局部扩散.第二章考虑了一类仅依赖于光维持生命新陈代谢的单一浮游植物物种在周期演化环境中的扩散,其中死亡率和光的强度取决于随着季节变化而变化的水柱深度.我们通过定义算子的谱半径给出了净繁殖率R0及其性质.基于净繁殖率R0,我们得到了浮游植物扩张或灭绝的充分条件.特别地,给出了区域演化率p（t）、扩散率D、下沉或上浮率α以及水深L0与净繁殖率R0的关系.我们的理论结果和数值模拟都表明,演化速率与浮游植物的生存存在负相关关系,而且较大的垂直扩散速率和水体深度对浮游植物的生存都有不利影响.第三章考虑了在异质空间和周期演化区域上的SIS传染病的扩散.这是由于自然环境发生变化而引起的已知的区域变化,假设这种变化是周期且各向同性的,将演化区域上的传染病模型转化为固定区域上的反应扩散问题.通过算子半群理论和谱理论,定义了由区域演化率和空间异质性共同决定的基本再生数.利用主特征值和上下解方法,建立了模型动力学的阈值型结果,并给出了区域演化对疾病影响的生物学解释.理论结果和数值模拟表明,大的演化率对疾病的控制有负面影响,而小的演化率对疾病的控制有积极影响.在第四章中,为了 了解增长率和西尼罗河病毒（WNv）的传播风险之间的关系,我们研究了在增长区域上的西尼罗河病毒的空间传播,该模型解释了气候变暖是导致蚊虫栖息地扩张的原因.通过谱理论给出了与增长率和扩散率有关的基本再生数.以基本再生数为指标,推导出了决定病毒灭绝还是传播的条件.结果表明,区域的增长会增加感染的风险,不利于西尼罗河病毒的预防和控制.最后为验证其可行性,对WNv的长时间行为的理论结果进行了数值模拟.第五章讨论了在自由变化环境中的西尼罗河病毒的非局部扩散,该模型中的非局部扩散刻画的是物种长距离的扩散,自由边界描述了扩张边沿,季节演化解释了暖冬季节对物种的影响.首先我们建立了模型的适定性,并研究了其依赖于相应线性算子的广义主特征值的长期动力学行为.对于具有季节演化的空间无关的WNv非局部扩散模型,确定了广义的主特征值.我们对有自由边界的情况给出了一个指标,并利用该指标来决定病毒是扩张还是灭绝.我们的新准则推广了已有的非局部扩散和自由边界情形的结果.广义的主特征值表明,暖季的持续时间与感染风险之间存在正相关性.此外,初始感染长度、初始感染规模和拓展新区域的能力对解的长时间行为起着重要作用.在第六章中,我们简要地总结了本文的工作,并对今后的研究工作进行了规划.
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