该文分两大部分:第一部分研究时滞微分方程与差分方程概周期解的存在性及其一致渐近稳定性.首先考虑一类逐段常时滞种群模型,由于逐段常时滞微分方程结合了微分方程与差分方程的性质,所以我们通过研究与之相应的差分方程概周期解和拟周期解的存在性来研究该种群模型概周期解和拟周期解的存在性,并且讨论了解的全局渐近稳定性.接着我们考虑一般形式的时滞差分系统和中立型差分系统,首次将Razumikhin技巧应用于差分系统概周期解的研究,给出时滞差分系统和中立型差分系统概周期解存在性和一致渐近稳定性的Liapunov-Razumikhin型判定定理.其应用的关键是构造或寻找满足一定条件的Liapunov函数.第二部分研究带有扩散的时滞方程平衡解的存在性和全局渐近稳定性.首先对一类具有Dirichlet边界条件的Logistic型反应扩散方程,讨论了非常数平衡解的存在性和局部渐近稳定性,并说明了小时滞对平衡解的吸引性是无害的.然后对一类具有Neumann边界条件的捕食-被捕食反应扩散方程,利用上下解方法和比较原理,得到其正常数平衡解全局渐近稳定的充分条件.最后,我们应用一个已有的周期解存在性结果,对相应的Neumann边界条件下周期系数的捕食-被捕食反应扩散系统,给出了它存在正周期解的显性判别条件,而且,当周期系数变为常系数时,该周期解的存在性条件退化为系统的正常数平衡解存在且渐近稳定的条件.