论文部分内容阅读
相对同调代数是同调代数中的一个新兴的研究领域。(预)包络与(预)覆盖是相对同调理论的基石，在代数表示论中也有重要的应用。就其与环论的关系而言，至少可以分为两个方面。一方面，可以用某些(预)包络与(预)覆盖的存在性来刻画环。例如：凝聚环可以用平坦预包的存在性来刻画。另一方面，在某些特定的环上研究模的(预)包络与(预)覆盖可以得到更加丰富，更加完美的结果。例如在Artin环，Noether环乃至更广的凝聚环上，人们都已经建立起日臻完善的相对同调理论。
本课题围绕环的两类相对凝聚性和模的某些(预)包络与(预)覆盖展开研究。
本文先引入(α,β)-凝聚环的概念，从而将P-凝聚环，伪凝聚环，凝聚环，以及Ⅱ-凝聚环的概念统一到同一个框架之下。给出了左(α,β)-凝聚环的若干等价刻画，包括内部刻画和外部刻画，推广了有关凝聚环和Ⅱ-凝聚环的结论。例如，本文证明了环R是左(α,β)-凝聚的当且仅当每个右R-模都有(α,β)-平坦预包。这里所引入的(α,β)-平坦模的概念将无挠模，拟无挠模，n-平坦模，平坦模，n-投射模，以及有限投射模等概念统一到同一个框架之下。
在环的M-凝聚性方面，本文利用一个反例说明即使每个左R-模都是M-平坦的，R也未必是M-凝聚的，从而解决Dauns J的—个问题。这个例子同时表明M-凝聚性与(α,β)-凝聚性之间存在显著的差异，关于凝聚环和Ⅱ-凝聚环的一些等价条件“翻译”到M-凝聚环的情形所得到的条件未必还是等价的。鉴于这个原因，本文把这些条件进行分组，并证明每一组内的那几个条件是等价的。例如，对于固定的右R-模M，本文证明了：(1)每个左R-模都有M-平坦预包的充分必要条件是M-平坦模的直积还是M-平坦的。(2)<,R>R的任意直积是M-平坦的充分必要条件是每个投射右R-模的对偶都是M-平坦的。
注意到同调代数中的三大模类：投射模、内射模和平坦模分别对应着Morita理论中的投射生成子、内射余生成子和完全忠实平坦模。而代数表示论中的倾斜模和余倾斜模可以分别看成投射生成子和内射余生成子的推广。本文自然地引入了Tot-倾斜模的概念，作为完全忠实平坦模的推广，并证明了：(1)倾斜模都是Tor-倾斜的。(2)U<,R>是Tot-倾斜的当且仅当其示性模U<+>=Hom<,z>(U,Q/Z)是余倾斜的。(3)每一个Tor-倾斜的U<,R>都确定了左R-模范畴中的一个挠理论(Ker(U <,R>，-)，KerTor<,1>(U,-))。从而每个左R-模都有一个单的Ker(U R，-)-覆盖和—个满的KerTor<,1>(U,-)-包络。