本文主要分两个部分进行，分别从两族分担和双曲度量这两个不同的角度，对函数族的正规性展开了相关的讨论和研究.　　其中，第一个部分是对经典的一族函数分担问题的推广，考虑涉及两族函数分担的正规性.在庞学诚和刘晓俊等人研究两族函数分担常值的基础上，在第三章中，我们讨论了分担函数的情形，获得了一些相关结果.主要结论如下:　　定理3.2 设a(z)≠0，∞是区域D(c)C上的一个亚纯函数，F是D上的一族全纯函数，且对于任意f∈F，满足条件:　　(ⅰ).f(z)和a(z)没有公共零点;　　(ⅱ).f(z)=0<=>f1(z)=a(z).　　令F1和F2是F的两个子族，且F2在D上正规.若对于每一个f∈F1，存在g∈F2，使得f(z)与g(z)分担0，则F1在D上正规.　　定理3.3设a(z)≠0，∞是区域D(c)C上的一个亚纯函数，F是D上的一族亚纯函数，且对于任意的f∈F，满足条件:　　(ⅰ).f(z)和a(z)没有公共零点;　　(ⅱ).f(z)=0(=)f(z)=a(z).　　令F1和F2是F的两个子族，且F2在D上正规.若对于每一个f∈F1，存在g∈F2，使得f(z)和g(z)分担0，则F1在D上正规.在第四章中，我们考虑了全纯曲线族分担超平面的问题，得到了下面两个定理.　　定理4.1 设全纯曲线族F(c)H(D;Pn(C))，q(≥2n+1)是一正整数.令H1，…，Hq是q个在Pn(C)中处于一般位置的超平面.若对于任意的f，g∈F，f和g在区域D上分担超平面Hj(j=1，…，q)，则F在D上正规.　　定理4.2 设F，G(c)H(D;Pn(C))是两族全纯曲线，q（≥3n+1）是一正整数.若它们满足下面的三个条件:　　(ⅰ).对于任意的f∈F，存在g∈g以及q个超平面H1，f，…，Hq，f，使得f和g在区域D上分担超平面Hj，f(j=1，…，q);　　(ⅱ).inf{D(H1,f,…，Hq，f)∶f∈F}＞0;　　(ⅲ).G在D上正规，则F在D上正规.　　第二个部分，是从度量的角度来考察函数族的正规性.我们用双曲度量代替了经典的欧氏度量和球面度量，得到一些判断函数族正规的充要条件.其中，主要结论有:　　定理5.1 设F是单位圆盘Δ上的一族全纯函数，则F在△上正规的充分必要条件是集合{(λ0,1(f(z)))/(λΔS(f)(z)), f∈F}在△上内闭一致有正下界.　　定理5.2 设F是单位圆盘△上的一族亚纯函数，则F在Δ上正规的充分必要条件是对于任意点z0∈Δ，存在它的某个邻域E，使得或者是集合{(λ0,1(f(z)))/(λΔS(f)(z))， f∈F），或者是集合{(λ0,1(f(z)))/(λΔS(f)(z)),f∈F），在E上内闭一致有正下界.　　对于定理5.2，还给出了一个简单的应用.这是人们首次利用双曲度量，来研究函数族的正规性.