【摘 要】
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对于给定的两个图H和G,若图H可以由图G的一个子图通过收缩边然后删去产生的环和平行边得到,图H就称为图G的minor.若图G没有同构于图H的minor,则称图G是H-minor-free的,也称图H为图G的禁止minor.对八面体图（记为Oct）进行3-分离点可以得到两个图,其中一个是平面图记为Oct1+,另一个非平面图记为Oct2+.假设K2,5二分部为（{a1,a2};{b1,b2,b3,b4
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对于给定的两个图H和G,若图H可以由图G的一个子图通过收缩边然后删去产生的环和平行边得到,图H就称为图G的minor.若图G没有同构于图H的minor,则称图G是H-minor-free的,也称图H为图G的禁止minor.对八面体图（记为Oct）进行3-分离点可以得到两个图,其中一个是平面图记为Oct1+,另一个非平面图记为Oct2+.假设K2,5二分部为（{a1,a2};{b1,b2,b3,b4,b5}）,令K1,1,5为K2,5在a1,a2之间加边后得到的图.图论中很多著名猜想都与H-minor-free图有关,诸如Hadwiger猜想和Tutte 4-流猜想等.为了推动这些猜想的解决,我们目前非常关注K6-minor-free图和Petersen-minor-free 图的结构.由于它们都是 15 条边的 3-连通图,许多学者尝试对每个边数小于15的3-连通图进行刻画去靠近K6和Petersen图.本文研究的Oct1+和Oct2+都是有13条边的未被刻画的3-连通图.此外,刻画排除一个2-连通图作为minor的图类也是一大热点,这类图在传递性（例如哈密顿性）上通常会展现良好的性质.基于学者们对 K2,4-minor-free 图,K1,1,4-minor-free 图以及 K2,5-minor-free 图的研究,本文对 4-连通平面K1,1,5-minor-free图的结构进行了探索.本文章节内容如下:1.在第1章中,我们给出了基本知识,研究背景以及本文研究内容的介绍.2.在第2章中,我们刻画了 4-连通下的Oct1+-minor-free图和Oct2+-minor-free图,得到了一个图是4-连通Oct1+-minor-free图或4-连通Oct2+-minor-free图的必要条件.对于平面图Oct1+,我们完整刻画了所有平面的Oct1+-minor-free图.3.在第3章中,我们首先证明了 4-连通平面K1,1,5-minor-free图G中不包含任何度大于5的顶点.根据此结论可得出,图G中顶点的度为4或5.我们对图G中有两个相邻5-度顶点的情况进行了探索,证明了这两个相邻的5-度顶点必有且仅有两个公共邻点,刻画了顶点数小于13的图.对于顶点数等于或大于13的图G,我们给出了一些结构特征刻画.4.在第4章中,我们总结了本文所做的主要工作,对存在的问题和不足进行了分析,对之后的研究方向进行了规划.
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