本文首先利用山路引理、强极大值原理、以及变分方法和分析技巧研究了一类具有边界奇异和加权Hardy-Sobolev临界指数的Roin问题，并得到了一个正解的存在性;然后利用Ekeland变分原理、山路引理、强极大值原理、以及变分方法和分析技巧研究了一类具有边界奇异和加权Hardy-Sobolev临界指数的非齐次Roin问题，并得到了至少两个正解的存在性.　　考虑如下半线性椭圆方程{-div(|x|-2a▽u)-μu/|x|2(1+a)=|u|p-2u/|x|bp+f(x，u)+h(x)，x∈Ω，(P)(e)u/(e)v+α（x)|x|-2au=0， x∈(e)Ω{0}，正解的存在性，其中Ω(C) RN(N≥3)是具有光滑边界的有界开区域，0≤ a＜√(μ)，0≤μ＜（√(μ)-a）2（这里(μ)△=(N-2)2/4），a≤b＜a+1，p=p(a，b)△=2N/N-2(1+a+b)是加权Hardy-Sobolev临界指数，p(a，a)△=2N/N-2是Sobolev临界指数，f∈C((Ω)×R+，R)，h∈Lp/p-1(Ω)并且h(x)≥0，v是(e)Ω的单位外法向量，α∈L∞((e)Ω)是一个非负函数.　　首先，我们考虑方程(P)中h(x)≡0的情况.　　在本文中，我们对函数f∈C((Ω)×R+，R)做如下假设:　　(f1)存在函数k∈L∞(Ω)且k(x)≤0使得limt→0+f(x,t)/t=k(x)在x∈(Ω)一致成立.　　（f2）lim t→+∞ f(x,t)/tp-1=0在x∈(Ω)一致成立.　　我们有如下结果:　　定理1.假设N＞2a+3,0≤a＜√(μ)，0≤μ＜ min{μ*，（√(μ)-a）2-1/4}，a≤b＜a+1，α∈L∞(Ω)，α(≥)0，h(x)三0，(f1)和（f2）成立.若‖α‖L∞(Ω)足够小，则方程(P)至少有一个正解.　　注1.定理1把文献[1]的结果推广到了更一般情形(a，b≠0).在文献[1]中(f1)和（f2）的条件下，我们利用没有(PS)条件的山路引理得到了一个正解的存在性.　　其次，我们考虑方程(P)中h(x）(≥)0的情况.　　我们对函数f∈C（(Ω)×R+，R）做如下假设　　(f3)存在一个正常数d∈[0，p-2/2p）使得:对于所有(x，t)∈(Ω)×R+，都有1/2f(x，t)t-F(x，t)≥-dtp/|x|bp成立，这里F(x，t)=∫t0f(x，s)ds.　　我们有如下结果:　　定理2.假设N＞2a+3，0≤a＜√(μ)，0≤μ＜min{μ*，（√(μ)-a）2-1/4}，a≤b＜a+1，α∈L∞(Ω)，α(≥)0，(f1)，（f2）和(f3)成立，h∈Lp/p-1(Ω)并且h(x)(≥)0.若‖α‖L∞(Ω)和‖h‖Lp/p-1(Ω)足够小，则方程(P)至少有两个正解.　　注2.考虑方程(P)带有一个非其次小扰动问题,我们可以得到至少两个正解的存在性.在(f2)的条件下，我们可以在H1（Ω，|x|-2a）中证得(PS)序列是有界的.在给定(f3)的条件下，我们可以证得方程所对应的能量泛函满足局部的（PS）条件.