论文部分内容阅读
在初中数学教学的探索之路上，我已摸爬滚打六年。虽然与经验丰富的老教师相比，时间并不算长，但在工作中，我也收获了很多。现与大家分享两个具体案例，一个是教学中方法的总结，一个是真实课堂后的反思。
一、方法总结——握手问题
记得刚开始初一的数学教学时，我们常常见到这样的问题：“一次派对共有10人参加，规定每两个人之间要握一次手，问所有人总共要握多少次手？”
这个问题，我把它称为“握手问题”。它是这样解决的：每个学生都假设我自己是这十个人中的一个（记为1），那么我就要和剩下的9个人（记为10-1）握手，共握手9次（记为（10-1）次）。我握了9次，自然每个人都是握了9次，共10个人，所以共10×9次。但这里出现了一个问题：甲和乙两个人握了一次手，而计算时甲和乙都计算了这同一次握手，因此每一次握手都被重复计算。所以，最后的结果应该是（10×9）÷2=45次，更详细的算式为[ 10×（10-1）]÷2=45次。
根据上面的分析，假设派对共有n个人参加，类似的可以分析出共握手n·（n-1）/2次。
按照这样的方法求解，每个同学可以设身处地的将自己放在情境中，自然就好求解了。
后来在学习几何问题时，见到了这样的问题：
如图，线段AB上随机分布了3个点，问这个图形中共有几条线段？
有的同学用数的办法解决，但当点的数量较多时，数起来容易出错。想一想，我们还能怎么解决呢？其实，它也可以看成是“握手问题”。将这里的五个点看做是五个人，每两个点构成一条线段看成是每两个人握一次手，那问共有几条线段就相当于问5个人共握几次手。显然，我们可以算出（5×4）÷2=10条。
还有类似的问题：如图，在角O内部引出3条射线，图中共有几个角？
这个问题也可以用“握手”原理解决：将每条射线看做一个人，每两条射线组成一个角看成是每两个人握一次手，那问有几个角就是在问5个人总共握了几次手，也可以很快算出共有（5×4）÷2=10个角。
这样的问题还很多，都可以看做是“握手”原理的直接应用，这里就不一一列举了。但在广阔的数学知识中，还有一些问题可以变化的运用“握手”原理来解决，下面的例子就是。
问题：一个n边形共有几条对角线？
对角线的定义是不相邻顶点的连线，如图，以五边形为例分析。首先，点A出发的对角线有2条。这个2可以怎么分析呢？我们可以这么看：五边形总共5个顶点，一个顶点不与自己相连，不与它左右相邻的顶点相连（与相邻顶点的连线叫做边，而非对角线），那就与剩下的（5-3）个点相连，也就是连起来2条对角线了。点A出发的有两条，其他顶点也是，总共有5个顶点，所以共有5×（5-3）条对角线。但每条对角线在两个顶点处被重复计算了一次，所以结果应该是[ 5×（5-3）]÷2=5条。
刚刚的分析是类似于握手问题的思路的，那我们趁胜追击，想一想该如何计算n边形的对角线条数。我们可以这样想：把一个顶点看做一个人，这个问题就变成了下面的情景：n个人参加派对，他们围桌做了一圈，每个人和不相邻的人握手，问共握多少次手？类似上面的分析，我们可以得出结论n边形共有对角线n·（n-3）/2条。
二、课堂反思——意外的收获
在整式部分的教学（华东师大版数学七年级上册第三章）中，讲用字母表示数时，有这样一道找规律的练习题难住了同学们。
师：请同学们观察下列算式：
32 -12 = 8 = 8×1
52 -32 = 16 = 8×2
72 -52 = 24 = 8×3
92 -72 = 32 = 8×4
……
并用含n的代数式表示这个规律。
同学们看完题，开始思考。经过独立思考及小组交流讨论，大部分同学都有了答案。于是我请同学们展示他们的结论。
生1：（2n+1）2 -（2n-1）2 = 8n
学生的答案与标准答案是一致的，于是我就想请这个同学讲一讲他是怎么做的。
就在这时，另一位同学举起手来：“老师，我有不同的答案。”于是我请他发言。
生2：n2 -（n-2）2 = 4n-4
看到这个式子，第一眼看，就感觉和题意不怎么符合，但我再仔细看，想了想，哦，原来他是這么做的：以第一个幂的底数为n，其它部分找到相应的关系并表示出来，也就是：n2 -（n-2）2 = 8· n-12= 4n-4 。只不过他少写出关键的一步：8·n-12，所以规律体现的不够明显。
大部分同学仅仅看着这个式子：n2 -（n-2）2 = 4n-4，等号右边形式明显不对，于是就认为是错误的。我就引导大家尝试对n代入几个奇数计算一下，看看成立不成立。计算之后，同学们发现这个结论也正确。借着这个机会，我完善了第二个解法的形式，并对两种做法进行了对比。
①式是用n表示了等号右边的第二个因数，并找到前面的两个幂的底数与这个数的关系，从而用含有n的式子表示为：2n+1和2n-1。
而②式则将第一个幂的底数作为n，对应的第二个底数为n-2，等号右边的第二个因数就为8·n-12。比较起来，第一种形式简洁易懂，但第二种补充完整的话也是正确的。这就说明了数学题目的多样性，常常可以一题多解。最后我又补充强调了这两种做法所对应的n的取值范围分别为正整数及n为大于等于3的奇数。
在数学课堂上，教师的智慧对于学生能力的培养很重要。充满教师智慧的课堂，是在乎学生感受的课堂。就像上面的例子，我们发挥自己的智慧，抓住学生感兴趣的疑问，去探探究竟，而不能仅仅是为了赶课堂的进度，从而抑制学生学习的好奇心。现在，在新课改的背景下，我们的课堂更需要智慧的教学。作为一线教师，我仍要不断学习，加强自我修炼，争取使自己成为一名智慧型的优秀教师。
一、方法总结——握手问题
记得刚开始初一的数学教学时，我们常常见到这样的问题：“一次派对共有10人参加，规定每两个人之间要握一次手，问所有人总共要握多少次手？”
这个问题，我把它称为“握手问题”。它是这样解决的：每个学生都假设我自己是这十个人中的一个（记为1），那么我就要和剩下的9个人（记为10-1）握手，共握手9次（记为（10-1）次）。我握了9次，自然每个人都是握了9次，共10个人，所以共10×9次。但这里出现了一个问题：甲和乙两个人握了一次手，而计算时甲和乙都计算了这同一次握手，因此每一次握手都被重复计算。所以，最后的结果应该是（10×9）÷2=45次，更详细的算式为[ 10×（10-1）]÷2=45次。
根据上面的分析，假设派对共有n个人参加，类似的可以分析出共握手n·（n-1）/2次。
按照这样的方法求解，每个同学可以设身处地的将自己放在情境中，自然就好求解了。
后来在学习几何问题时，见到了这样的问题：
如图，线段AB上随机分布了3个点，问这个图形中共有几条线段？
有的同学用数的办法解决，但当点的数量较多时，数起来容易出错。想一想，我们还能怎么解决呢？其实，它也可以看成是“握手问题”。将这里的五个点看做是五个人，每两个点构成一条线段看成是每两个人握一次手，那问共有几条线段就相当于问5个人共握几次手。显然，我们可以算出（5×4）÷2=10条。
还有类似的问题：如图，在角O内部引出3条射线，图中共有几个角？
这个问题也可以用“握手”原理解决：将每条射线看做一个人，每两条射线组成一个角看成是每两个人握一次手，那问有几个角就是在问5个人总共握了几次手，也可以很快算出共有（5×4）÷2=10个角。
这样的问题还很多，都可以看做是“握手”原理的直接应用，这里就不一一列举了。但在广阔的数学知识中，还有一些问题可以变化的运用“握手”原理来解决，下面的例子就是。
问题：一个n边形共有几条对角线？
对角线的定义是不相邻顶点的连线，如图，以五边形为例分析。首先，点A出发的对角线有2条。这个2可以怎么分析呢？我们可以这么看：五边形总共5个顶点，一个顶点不与自己相连，不与它左右相邻的顶点相连（与相邻顶点的连线叫做边，而非对角线），那就与剩下的（5-3）个点相连，也就是连起来2条对角线了。点A出发的有两条，其他顶点也是，总共有5个顶点，所以共有5×（5-3）条对角线。但每条对角线在两个顶点处被重复计算了一次，所以结果应该是[ 5×（5-3）]÷2=5条。
刚刚的分析是类似于握手问题的思路的，那我们趁胜追击，想一想该如何计算n边形的对角线条数。我们可以这样想：把一个顶点看做一个人，这个问题就变成了下面的情景：n个人参加派对，他们围桌做了一圈，每个人和不相邻的人握手，问共握多少次手？类似上面的分析，我们可以得出结论n边形共有对角线n·（n-3）/2条。
二、课堂反思——意外的收获
在整式部分的教学（华东师大版数学七年级上册第三章）中，讲用字母表示数时，有这样一道找规律的练习题难住了同学们。
师：请同学们观察下列算式：
32 -12 = 8 = 8×1
52 -32 = 16 = 8×2
72 -52 = 24 = 8×3
92 -72 = 32 = 8×4
……
并用含n的代数式表示这个规律。
同学们看完题，开始思考。经过独立思考及小组交流讨论，大部分同学都有了答案。于是我请同学们展示他们的结论。
生1：（2n+1）2 -（2n-1）2 = 8n
学生的答案与标准答案是一致的，于是我就想请这个同学讲一讲他是怎么做的。
就在这时，另一位同学举起手来：“老师，我有不同的答案。”于是我请他发言。
生2：n2 -（n-2）2 = 4n-4
看到这个式子，第一眼看，就感觉和题意不怎么符合，但我再仔细看，想了想，哦，原来他是這么做的：以第一个幂的底数为n，其它部分找到相应的关系并表示出来，也就是：n2 -（n-2）2 = 8· n-12= 4n-4 。只不过他少写出关键的一步：8·n-12，所以规律体现的不够明显。
大部分同学仅仅看着这个式子：n2 -（n-2）2 = 4n-4，等号右边形式明显不对，于是就认为是错误的。我就引导大家尝试对n代入几个奇数计算一下，看看成立不成立。计算之后，同学们发现这个结论也正确。借着这个机会，我完善了第二个解法的形式，并对两种做法进行了对比。
①式是用n表示了等号右边的第二个因数，并找到前面的两个幂的底数与这个数的关系，从而用含有n的式子表示为：2n+1和2n-1。
而②式则将第一个幂的底数作为n，对应的第二个底数为n-2，等号右边的第二个因数就为8·n-12。比较起来，第一种形式简洁易懂，但第二种补充完整的话也是正确的。这就说明了数学题目的多样性，常常可以一题多解。最后我又补充强调了这两种做法所对应的n的取值范围分别为正整数及n为大于等于3的奇数。
在数学课堂上，教师的智慧对于学生能力的培养很重要。充满教师智慧的课堂，是在乎学生感受的课堂。就像上面的例子，我们发挥自己的智慧，抓住学生感兴趣的疑问，去探探究竟，而不能仅仅是为了赶课堂的进度，从而抑制学生学习的好奇心。现在，在新课改的背景下，我们的课堂更需要智慧的教学。作为一线教师，我仍要不断学习，加强自我修炼，争取使自己成为一名智慧型的优秀教师。