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【摘要】用集合论的知识对一元方程的增根、漏根情况进行了讨论,分析了产生增根和漏根的原因。
【关键词】一元方程 增根 漏根
【中图分类号】G424．1 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)10(b)-0162-01
中学数学课本中,讲到分式方程、无理方程时,一般都要验根,有的根是在解题过程中多出来的,而有的根却漏掉了,这是怎么回事呢？现在,我们可以用大学里学过的集合论的初步知识来加以解释,分以下四种情况加以说明。
1 增根情况
设初始给定方程为:
解题时,若在变形过程中,x的取值范围变大了,即变成了E,且E的范围大于D的范围,则此时就可能产生增根。
例1解方程 ①
解:将①式变为②
将②式约分得 ③
最后解得
而x=-1不满足原方程,即为增根.
∴原方程的解为x=1
注:这里产生增根的原因就是从②式变到③式时,方程的定義域由变为了,定义域增大了。
对于增根,我们除了可以将根代入原方程验算的方法检验外,还可以用带入方程定义域的方法来检验。
例2 解方程 ①
解:通过下列不等式组:
求出方程的定义域是
把方程都换成以x+2为底,化简得:
②
设③
将③代入①得
即
解之得:,
将y1=2代入③得:
即
解之得:x1=1,x2=-1,
将y2=-1代入③得:
即
解之得:
因都不在定义域D中,所以,是增根。
∴原方程的解为:
2 漏根情况
设初始给定方程为:
解题时,若在变形过程中,x的取值范围缩小了,即变成了E,且E的范围小于D的范围,则此时就可能产生漏根.同学们一般不怕增根,因为将解代入原方程进行验算,便立即判断它是不是增根.但要找回漏掉的根,那就要困难多了。
当时,若方程有漏根情况,则漏根一定在D-E中,所以我们可将D-E中的元素代入原方程检验,看它是不是根,这样,漏掉的根就能被找出来.
例3解方程①
解:由①式可变为: ②
②式两边同除以x-1,即:
③
从而得到: ④
解④式,有x=0.
原方程的定义域D=R,但在变形过程中从②式变到③式时,方程的定义域缩小了,变为了了.,将x=1代入原方程,经验算,x=1是原方程的根(即x=1是漏掉的根)。
∴方程的解为x=1,0。
3 既有增根又有漏根的情况
设初始给定方程为:
解题时,若在变形过程中,x的取值范围发生了变化,如变为E,,则此时就既可能产生增根同时又产生漏根。
验根时,同样的道理,不在D中的解一定是增根,漏根一定在D-E中。
例4 解方程
①
解:对①式利用合分比法则,得到
化简得: ②
①式中,容易得到x的取值范围为
②式中,也容易得到x的取值范围为
①式中,化简得,所以,.
不在D中,是原方程的增根。
将x=0代入原方程,经验算,x=0是原方程的解。
∴原方程的解为x=0,-1。
4 无增根、漏根的情况
解题时,方程变形过程中,方程的定义域没有产生任何变化,则此时肯定没有增根、漏根情况,即无需验根.
比如,解一般的一元一次和一元二次方程,都不需要验根。
例5解方程x2-2x-2=0 ①
解:将①式化为(x2-2x+1)-3=0从而有(x-1)2=3②
对②式两边同时开方得
③
∴
这里解方程时,方程①的定义域为D=R,变形过程中都没有引起定义域的变化,所以得到的解就是原方程的解,不会产生增根或漏根情况。
综上可知,解方程过程中,在对方程进行变形时,只要密切注意方程的定义域的变化,就能做到心中有数,也就不怕增根或漏根了。
参考文献
[1] 耿素云屈婉玲.集合论导引[M].北京:北京大学出版社,1990.
[2] 张奠宙张广祥.中学代数研究[M].北京:高等教育出版社,2006.
[3] 张小明汪晓勤.分式方程增根问题的历史[J].中学教研(数学),2005,8.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
10 网络传播信息的非强迫性,消费者对于是否接受信息有完全的控制权
报纸、杂志、电视、广播、户外等传统传媒在传播信息时,都具有很大的强迫性,强迫观众接受它们所传播的信息;而网络传播的过程则完全是开放的,非强迫性的,这一点同传统传媒有本质的不同。网络作为新的传播媒体,其开放性和自由性是前所未有的,消费者对于是否接受信息有完全的控制权,这也是弹出式广告等不再流行的根本原因。比如趋势科技公司(Trend Micro Inc.)提供的AdSubtract软件和Mozilla Firefox浏览器自带的Adblock extension广告拦截软件,几乎可以阻止整个网页内的任何一个Flash和图像显示。
11 广告发布方式的多样性
传统广告发布主要是通过广告代理制实现的,即由广告主委托广告公司实施广告计划,广告媒介通过广告公司来承揽广告业务,广告公司同时作为广告客户的代理人和广告媒体的代理人提供双向的服务。而在网络上发布广告对广告主来说有更大的自主权,既可以自行发布又可以通过广告代理商发布。目前网络广告发布的方式主要有三种:
(1)广告主不借助广告代理商,而是自己制作,自己建立网站,自行发布广告信息。
(2)广告公司作为中介机构参与到网络广告业务中。传统的广告代理商顺应潮流,招聘专门人才成立网络广告服务部门,或与网络服务商合作,广告专业人才与网络技术人员优势互补,共同代理此类业务。
(3)广告主直接寻求网络服务商作为合作伙伴。网络服务商为广告主办理广告业务,执行广告计划,甚至参与离线市场促销活动。
12 媒體收费
电视、广播、报纸等传统媒体广告的计费方式是建立在收视收听率或发行量阅读率的基础之上以CPM即COST PER ONE THOUSAND IMPRESSIONS千人印象成本为单位计算的。广告费用=CPM*媒体接触人数(收视率或发行量)/1000。受传统媒体计费方式的影响,大部分网络媒体服务商沿用了这种模式,以广告图形在用户终端计算机上被显示1000次为基准计费。 但是,网络企业便倾向于计费标准的多元化、多层次,有时按发布时长定价,有时采用按点击率定价、有时按简单回应定价,有时则按实际回应定价。
当网络横空出现在人们面前,当网络营销、电子商务的概念深入人心,那么,网民、厂家从哪里购买商品呢？他可以找产品商的官方站、拍卖站,也可能是随意打开某个页面时出现的一个广告,那个时候,我们可以说,一个广告,就是一个面向网民的产品销售点！这个广告,它是在做广告,在向网民做产品宣传,但是它也是在做商品销售！你要做的,就是点进去,选择你喜欢的产品,去购买它,就像你徜徉在商业街的时候,无意进入一家商店,看到喜欢的产品并买下来那么容易。中国的网络广告,将逐步摆脱单纯广告的目的,更多的参与网络销售环节,网络广告的价值,将会获得更进一步的体现。
【关键词】一元方程 增根 漏根
【中图分类号】G424．1 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)10(b)-0162-01
中学数学课本中,讲到分式方程、无理方程时,一般都要验根,有的根是在解题过程中多出来的,而有的根却漏掉了,这是怎么回事呢？现在,我们可以用大学里学过的集合论的初步知识来加以解释,分以下四种情况加以说明。
1 增根情况
设初始给定方程为:
解题时,若在变形过程中,x的取值范围变大了,即变成了E,且E的范围大于D的范围,则此时就可能产生增根。
例1解方程 ①
解:将①式变为②
将②式约分得 ③
最后解得
而x=-1不满足原方程,即为增根.
∴原方程的解为x=1
注:这里产生增根的原因就是从②式变到③式时,方程的定義域由变为了,定义域增大了。
对于增根,我们除了可以将根代入原方程验算的方法检验外,还可以用带入方程定义域的方法来检验。
例2 解方程 ①
解:通过下列不等式组:
求出方程的定义域是
把方程都换成以x+2为底,化简得:
②
设③
将③代入①得
即
解之得:,
将y1=2代入③得:
即
解之得:x1=1,x2=-1,
将y2=-1代入③得:
即
解之得:
因都不在定义域D中,所以,是增根。
∴原方程的解为:
2 漏根情况
设初始给定方程为:
解题时,若在变形过程中,x的取值范围缩小了,即变成了E,且E的范围小于D的范围,则此时就可能产生漏根.同学们一般不怕增根,因为将解代入原方程进行验算,便立即判断它是不是增根.但要找回漏掉的根,那就要困难多了。
当时,若方程有漏根情况,则漏根一定在D-E中,所以我们可将D-E中的元素代入原方程检验,看它是不是根,这样,漏掉的根就能被找出来.
例3解方程①
解:由①式可变为: ②
②式两边同除以x-1,即:
③
从而得到: ④
解④式,有x=0.
原方程的定义域D=R,但在变形过程中从②式变到③式时,方程的定义域缩小了,变为了了.,将x=1代入原方程,经验算,x=1是原方程的根(即x=1是漏掉的根)。
∴方程的解为x=1,0。
3 既有增根又有漏根的情况
设初始给定方程为:
解题时,若在变形过程中,x的取值范围发生了变化,如变为E,,则此时就既可能产生增根同时又产生漏根。
验根时,同样的道理,不在D中的解一定是增根,漏根一定在D-E中。
例4 解方程
①
解:对①式利用合分比法则,得到
化简得: ②
①式中,容易得到x的取值范围为
②式中,也容易得到x的取值范围为
①式中,化简得,所以,.
不在D中,是原方程的增根。
将x=0代入原方程,经验算,x=0是原方程的解。
∴原方程的解为x=0,-1。
4 无增根、漏根的情况
解题时,方程变形过程中,方程的定义域没有产生任何变化,则此时肯定没有增根、漏根情况,即无需验根.
比如,解一般的一元一次和一元二次方程,都不需要验根。
例5解方程x2-2x-2=0 ①
解:将①式化为(x2-2x+1)-3=0从而有(x-1)2=3②
对②式两边同时开方得
③
∴
这里解方程时,方程①的定义域为D=R,变形过程中都没有引起定义域的变化,所以得到的解就是原方程的解,不会产生增根或漏根情况。
综上可知,解方程过程中,在对方程进行变形时,只要密切注意方程的定义域的变化,就能做到心中有数,也就不怕增根或漏根了。
参考文献
[1] 耿素云屈婉玲.集合论导引[M].北京:北京大学出版社,1990.
[2] 张奠宙张广祥.中学代数研究[M].北京:高等教育出版社,2006.
[3] 张小明汪晓勤.分式方程增根问题的历史[J].中学教研(数学),2005,8.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
10 网络传播信息的非强迫性,消费者对于是否接受信息有完全的控制权
报纸、杂志、电视、广播、户外等传统传媒在传播信息时,都具有很大的强迫性,强迫观众接受它们所传播的信息;而网络传播的过程则完全是开放的,非强迫性的,这一点同传统传媒有本质的不同。网络作为新的传播媒体,其开放性和自由性是前所未有的,消费者对于是否接受信息有完全的控制权,这也是弹出式广告等不再流行的根本原因。比如趋势科技公司(Trend Micro Inc.)提供的AdSubtract软件和Mozilla Firefox浏览器自带的Adblock extension广告拦截软件,几乎可以阻止整个网页内的任何一个Flash和图像显示。
11 广告发布方式的多样性
传统广告发布主要是通过广告代理制实现的,即由广告主委托广告公司实施广告计划,广告媒介通过广告公司来承揽广告业务,广告公司同时作为广告客户的代理人和广告媒体的代理人提供双向的服务。而在网络上发布广告对广告主来说有更大的自主权,既可以自行发布又可以通过广告代理商发布。目前网络广告发布的方式主要有三种:
(1)广告主不借助广告代理商,而是自己制作,自己建立网站,自行发布广告信息。
(2)广告公司作为中介机构参与到网络广告业务中。传统的广告代理商顺应潮流,招聘专门人才成立网络广告服务部门,或与网络服务商合作,广告专业人才与网络技术人员优势互补,共同代理此类业务。
(3)广告主直接寻求网络服务商作为合作伙伴。网络服务商为广告主办理广告业务,执行广告计划,甚至参与离线市场促销活动。
12 媒體收费
电视、广播、报纸等传统媒体广告的计费方式是建立在收视收听率或发行量阅读率的基础之上以CPM即COST PER ONE THOUSAND IMPRESSIONS千人印象成本为单位计算的。广告费用=CPM*媒体接触人数(收视率或发行量)/1000。受传统媒体计费方式的影响,大部分网络媒体服务商沿用了这种模式,以广告图形在用户终端计算机上被显示1000次为基准计费。 但是,网络企业便倾向于计费标准的多元化、多层次,有时按发布时长定价,有时采用按点击率定价、有时按简单回应定价,有时则按实际回应定价。
当网络横空出现在人们面前,当网络营销、电子商务的概念深入人心,那么,网民、厂家从哪里购买商品呢？他可以找产品商的官方站、拍卖站,也可能是随意打开某个页面时出现的一个广告,那个时候,我们可以说,一个广告,就是一个面向网民的产品销售点！这个广告,它是在做广告,在向网民做产品宣传,但是它也是在做商品销售！你要做的,就是点进去,选择你喜欢的产品,去购买它,就像你徜徉在商业街的时候,无意进入一家商店,看到喜欢的产品并买下来那么容易。中国的网络广告,将逐步摆脱单纯广告的目的,更多的参与网络销售环节,网络广告的价值,将会获得更进一步的体现。