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摘 要:为便于对均匀B样条曲线进行形状修改,利用二次均匀B样条基函数所需满足的条件,扩展二次均匀B样条基函数,构造出三次多项式调配函数. 基于给出的调配函数,建立1种带形状参数的分段多项式曲线. 调整形状参数可使三次多项式曲线在二次均匀B样条曲线两侧摆动.最后给出实例,构造出带局部调节参数G1的连续曲线. 该方法可以通过调整参数扩大二次均匀B样条曲线的调整范围.
关键词:B样条曲线; B样条基; 调配函数; 形状参数
中图分类号:TP391.41
文献标志码: A
Extension of uniform quadratic B-spline curve TAO Shuyi
(Computer College,Shanghai Sanda Univ.,Shanghai 201209,China)
Abstract:To facilitate the shape modification of uniform quadratic B-spline curve,the cubic polynomial blending functions are constructed using the requirements of uniform quadratic B-spline basis. It is an extension for the uniform quadratic B-spline basis functions. Based on the blending functions,the piecewise polynomial curves with shape parameters is built. By changing the values of the shape parameters,the shape of cubic polynomial curves can be adjusted and swing at the two sides of the uniform quadratic B-spline curve. The instance of the continuous curve with local adjusting parameter G1 is given. The method can enlarge the adjusting scale of uniform quadratic B-spline curve by adjusting the related parameters.
Key words:B-spline curve; B-spline basis; blending function; shape parameter
0 引 言
B样条基和B样条曲线是计算机辅助几何设计中最基本的造型工具,具有很多优良性质,并已在实际工程中得到广泛应用,因此长期以来一直受到人们关注,有关这方面的研究工作[1-6]也在进行中.分段的B样条曲线具有形状简单､使用灵活的优点,然而,对给定的控制点,分段B样条曲线的位置是确定的.若要调整曲线形状,需要调整控制多边形.通过调整控制点,基于约束优化方法,调整B样条曲线形状,已有一定研究[7-10],目前该方法比较成熟.
通过构造带形状参数的二次均匀B样条的基,给出带形状参数的三次多项式调配函数,使其具备二次均匀B样条基函数的性质[11],用它生成的曲线具有与分段二次B样条曲线相同的结构和一些基本几何性质,并可通过改变形状参数的取值而调整曲线形状以及曲线接近其控制多边形的程度.本文最后给出实例.
1 带形状参数的二次均匀B样条基构造
将带形状参数的基函数用矩阵形式表示为
性质 2 在扩展曲线C i,2 (λ;u)(i=0,1,…,n-2) 中,参数λ增大,曲线往靠近控制多边形的方向移动,参数减小则向反方向移动.
性质 3 当λ=1时,曲线为一般的二次均匀B样条曲线.
4 实 例
用本文方法构造的三次多项式曲线不但具有二次B样条曲线的许多良好性质,而且还有其自身的优点,其形状可以通过参数进行调整,给实际应用带来很大方便.下面给出具体实例,更直观地说明其优越性.
图1中,给定5个控制顶点为:P0 (0,0),P1[WTBX](10,20),P2(30,15),P3(20,5),P4(60,0),用折线表示控制多边形.图中的曲线1表示参数 λ=32 时的曲线,曲线2表示参数λ=1时的曲线,即二次均匀B样条曲线,曲线3表示参数λ=32时的曲线.可见,带形状参数的二次B样条曲线在给定参数范[CM(22]围内,包含在控制多边形的凸包内.同时也可直观[CM)][LL]地验证上文所提到的曲线的性质2.
参考文献:
[1] 王国瑾,汪国昭,郑建民. 计算机辅助几何设计[M]. 北京:高等教育出版社,2001.
[2] 韩旭里,刘圣军. 三次均匀B样条曲线的扩展[C]// 全国第1届几何设计与计算学术会议论文集. 山东东营:石油大学出版社,2002:29-32.
[3] 王省富. 样条函数及其应用[M]. 西安:西北工业大学出版社,1989.
[4] de BOOR C. A practical guide to splines[M]. New York:Springer-Verlag,1978.
[5] GREGORY J A,SARFRAZ M. A rational cubic spline with tension[J]. Comput Aided Geometric Des,1990,7(9):1-13.
[6] 谢进,洪素珍. 带形状参数的二次B样条曲线[J]. 计算机辅助工程,2006,15(2):15-19.
[7] [JP2]胡事民,周登文,孙家广.基于约束优化的NURBS曲线形状修改[C]//’99 CAD图像会议论文集.上海:上海文汇出版社,1999:958-962.[JP]
[8] PIEGL L. Modifying of the shape of rational B-spline.Part 1: curves[J]. Comput Aided Des,1989,21(8):509-518.
[9] 陶淑一,吴庆标. 基于约束优化的B样条曲线形状修改[J]. 计算机工程与应用,2006,42(18):37-39.
[10] 张太发,秦新强,程东旭,等. NURBS曲面形状修改的一种改进算法[J]. 计算机辅助工程,2005,14(4):58-61.
[11] 施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M]. 北京:高等教育出版社,2001:166-206.(编辑 廖粤新)
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关键词:B样条曲线; B样条基; 调配函数; 形状参数
中图分类号:TP391.41
文献标志码: A
Extension of uniform quadratic B-spline curve TAO Shuyi
(Computer College,Shanghai Sanda Univ.,Shanghai 201209,China)
Abstract:To facilitate the shape modification of uniform quadratic B-spline curve,the cubic polynomial blending functions are constructed using the requirements of uniform quadratic B-spline basis. It is an extension for the uniform quadratic B-spline basis functions. Based on the blending functions,the piecewise polynomial curves with shape parameters is built. By changing the values of the shape parameters,the shape of cubic polynomial curves can be adjusted and swing at the two sides of the uniform quadratic B-spline curve. The instance of the continuous curve with local adjusting parameter G1 is given. The method can enlarge the adjusting scale of uniform quadratic B-spline curve by adjusting the related parameters.
Key words:B-spline curve; B-spline basis; blending function; shape parameter
0 引 言
B样条基和B样条曲线是计算机辅助几何设计中最基本的造型工具,具有很多优良性质,并已在实际工程中得到广泛应用,因此长期以来一直受到人们关注,有关这方面的研究工作[1-6]也在进行中.分段的B样条曲线具有形状简单､使用灵活的优点,然而,对给定的控制点,分段B样条曲线的位置是确定的.若要调整曲线形状,需要调整控制多边形.通过调整控制点,基于约束优化方法,调整B样条曲线形状,已有一定研究[7-10],目前该方法比较成熟.
通过构造带形状参数的二次均匀B样条的基,给出带形状参数的三次多项式调配函数,使其具备二次均匀B样条基函数的性质[11],用它生成的曲线具有与分段二次B样条曲线相同的结构和一些基本几何性质,并可通过改变形状参数的取值而调整曲线形状以及曲线接近其控制多边形的程度.本文最后给出实例.
1 带形状参数的二次均匀B样条基构造
将带形状参数的基函数用矩阵形式表示为
性质 2 在扩展曲线C i,2 (λ;u)(i=0,1,…,n-2) 中,参数λ增大,曲线往靠近控制多边形的方向移动,参数减小则向反方向移动.
性质 3 当λ=1时,曲线为一般的二次均匀B样条曲线.
4 实 例
用本文方法构造的三次多项式曲线不但具有二次B样条曲线的许多良好性质,而且还有其自身的优点,其形状可以通过参数进行调整,给实际应用带来很大方便.下面给出具体实例,更直观地说明其优越性.
图1中,给定5个控制顶点为:P0 (0,0),P1[WTBX](10,20),P2(30,15),P3(20,5),P4(60,0),用折线表示控制多边形.图中的曲线1表示参数 λ=32 时的曲线,曲线2表示参数λ=1时的曲线,即二次均匀B样条曲线,曲线3表示参数λ=32时的曲线.可见,带形状参数的二次B样条曲线在给定参数范[CM(22]围内,包含在控制多边形的凸包内.同时也可直观[CM)][LL]地验证上文所提到的曲线的性质2.
参考文献:
[1] 王国瑾,汪国昭,郑建民. 计算机辅助几何设计[M]. 北京:高等教育出版社,2001.
[2] 韩旭里,刘圣军. 三次均匀B样条曲线的扩展[C]// 全国第1届几何设计与计算学术会议论文集. 山东东营:石油大学出版社,2002:29-32.
[3] 王省富. 样条函数及其应用[M]. 西安:西北工业大学出版社,1989.
[4] de BOOR C. A practical guide to splines[M]. New York:Springer-Verlag,1978.
[5] GREGORY J A,SARFRAZ M. A rational cubic spline with tension[J]. Comput Aided Geometric Des,1990,7(9):1-13.
[6] 谢进,洪素珍. 带形状参数的二次B样条曲线[J]. 计算机辅助工程,2006,15(2):15-19.
[7] [JP2]胡事民,周登文,孙家广.基于约束优化的NURBS曲线形状修改[C]//’99 CAD图像会议论文集.上海:上海文汇出版社,1999:958-962.[JP]
[8] PIEGL L. Modifying of the shape of rational B-spline.Part 1: curves[J]. Comput Aided Des,1989,21(8):509-518.
[9] 陶淑一,吴庆标. 基于约束优化的B样条曲线形状修改[J]. 计算机工程与应用,2006,42(18):37-39.
[10] 张太发,秦新强,程东旭,等. NURBS曲面形状修改的一种改进算法[J]. 计算机辅助工程,2005,14(4):58-61.
[11] 施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M]. 北京:高等教育出版社,2001:166-206.(编辑 廖粤新)
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