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【摘要】知识经济时代，人才的标准不但要求知识渊博，而且要求具备创新意识、创新精神和创新能力。函数是中学数学的核心内容，能全面考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识，从而对培养学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。
【关键词】数学创新思维能力
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）04-0135-01
创新的基础是创造性思维能力，课堂教学是培养创造性思维能力的主渠道，创新要从课堂上抓起。思维的独特性、灵活性、求异性、综合性是创新思维的重要特点，应把“四性”教学渗透到每一个教学内容之中，笔者以函数教学内容为例，浅析如何在课堂教学中激励学生的创造意识。
1.弄清值域概念，培养思维的独特性
思维的独特性是具有创造性才能的人最重要的思维品质，独特性反映了思维的深度及对本质特征的把握程度，只有触及事物的本质，才能在学习和工作中“独辟蹊径”、“棋高一着”。为了培养学生这种能力，教学中设计了下列两道练习题。
例1.已知f(x)的定义域为[a，b]，且f(x)在x＝a处取得最小值A，在x＝b处取得最大值B，试求y＝f(x)在[a，b]上的值域。
例2.求f(x)＝■的值域。
例1是无法求值域的；在求解过程中没有学生对题目提出异议，没有独特的见解，有的同学误将答案写为[a，b]。
例2正确答案为[-■，0) ∪(0，■]，但有的学生将y＝■化简成y＝■sin2x从而得出值域为[-■，■]忽视了定义域 {x|x＝■kπ， k∈z}的制约。
值域是函数三要素之一，初等函数的特殊性，给学生造成了这样一种认识：若函数的值域为[m，M]，则函数的最大值、最小值分别为M和m；若函数的最小值为m，最大值为M，则其值域为[m，M]，实际上前一种认识是正确的，后一种认识是错误的。函数的性质,直接受定义域制约。函数的三要素定义域、值域、对应关系三者之间是相互渗透、相互依赖的，教学中多设几个特例，揭示这三者之间的内在联系和本质区别，有利于独特性思维的发展。
2.多方求函数的值，培养思维的灵活性
创造性思维强调根据不同的对象和条件，具体情况、具体对待，灵活应用，反对一成不变的模式。求函数值的方法是丰富多彩的，为了培养学生灵活求函数值的方法，要求学生计算下面两道习题。
例3.已知f(x) ＝4x-4x+1(x≥0)，求f-1(0)；
例4.已知f(x)＝asin3+x3+1，且f(■)＝4+■，求f(-■)的值；
解题时，学生出现不同的解法。
例3解法： 方法①应通过原函数与反函数的可逆性，将求f-1(0)转化为求方程f(x)＝0的解。方法②有的学生不惜通过繁琐的计算，先求出y＝f-1(x),进而求f-1(0)的值。
例4解法：方法①应通过函数的奇偶性，g(x) ＝f(x)-1，利用g(x)是奇函数这一性质求解最为方便。 方法②通过f(■)＝4+■解出a的值，以确定f(x)的表达式，再将x＝-■代入，求出f(-■)的值。
通过比较，教师指出解例3时，通过函数解析式y＝f(x)计算出与x对应的函数值y，这是常见的思路，初、高中课本中有大量这类题型，导致学生思维的单一性，解法繁琐。方法①则灵活、便捷。解例4时，方法①掌握了g(x)是奇函数这一性质，用逆向思维的方法解决，比方法②高明得多。通过这两个例题的教学使学生懂得解题或处理问题时要变通，要实事求是，不要拘泥于教条和模式。
3.深入理解定义域，学会求异思维
创造性思维是对已知知识的重新组合，目的是获得新的思维成果。深入理解函数定义域，有助于发展学生的求异思维。定义域一般分为三种类型；使解析式有意义的自变量的取值范围称为自然型；使实际问题或几何问题有意义的自变量的取值范围称为实际型；人为限制给定的自变量的取值范围称为限制型。为了加深对定义域的理解，求解下面几个例题。
例5.已知f(x) ＝log(x+a)，其中a∈R，若x∈[2，+∞]时，f(x)有意义，求a的取值范围。
例6.已知f(x) ＝x3-2x十3的值域为[2，3]，试说明该函数的定义域[0，a]所应满足的条件。
解例5时，不少学生错误地认为a＝-2； 正确解法是：由条件[2，+∞]应该是定义域的子集，由[2，+∞] ∪[-a，+∞]可得a∈[-2，+∞]。
解例6时，不少学生错误地得定义域为[0，1]或[0，2]。正确的答案为[0，2]，其中1≤a≤2。
解例5时，由于受教材内容的影响，教材中求定义域的大多数是自然型的，即使得式子有意义的x的取值范围，致使学生误认为给出的f(x)有意义的取值范围便是定义域，事实上给出的f(x)有意义的x的集合，应该是定义域的子集。
解例6反映出学生由值域导出定义域会感到束手无策，在函数教学中，正用概念、公式、得到了高度重视，但由于数学概念的定义项与被定义项之间往往存在着等价关系，忽视了知识的双向性，重视了常规方法，不会异向思维，通过这两例题的教学，有利于纠正这一思维倾向。
4.通过解抽象函数问题，培养学生思维的综合性
创造性思维是一种综合性思维。创造就是重新组合，日本人提出“综合就是创造”。可通过解下面抽象函数问题来培养学生综合思维能力。
例7.是否存在函数f(x)，同时满足下列三个条件：
①f(x+y)+f(x-y)＝2f(x) cosy（x,y∈ R)
②f(0) ＝a，(a为常数)
③f(■)＝b,(b为常数)
解：条件①中x，y的任意性，隐含着x，y可以“换元”，又可以“赋值”，结合条件②和③，可构造出函数方程组，求出函数表达式。
令x＝0，y＝t得：f(t)+f(-t)＝2acost(1)
令x＝■+t，y＝■得：f(π+t)+f(t)＝0(2)
令x＝■，y■+t得：f(π+t)+f(-t) ＝2bsint (3)
将(1)+(2)+(3)得：f(t)＝acost+bsint故存在f(x)＝acost+bsint符合题意。
函数思想、方法观点，是中学数学思想方法两个分支之一，在初等数学中，函数问题可用方程观点去解决。反之，亦然。当然，学生的成长离不开教师的培育，只有教师不断地为学生创造条件、正确地引导他们，就一定能激发学生的灵感，点燃学生创新意识的火花。
【关键词】数学创新思维能力
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）04-0135-01
创新的基础是创造性思维能力，课堂教学是培养创造性思维能力的主渠道，创新要从课堂上抓起。思维的独特性、灵活性、求异性、综合性是创新思维的重要特点，应把“四性”教学渗透到每一个教学内容之中，笔者以函数教学内容为例，浅析如何在课堂教学中激励学生的创造意识。
1.弄清值域概念，培养思维的独特性
思维的独特性是具有创造性才能的人最重要的思维品质，独特性反映了思维的深度及对本质特征的把握程度，只有触及事物的本质，才能在学习和工作中“独辟蹊径”、“棋高一着”。为了培养学生这种能力，教学中设计了下列两道练习题。
例1.已知f(x)的定义域为[a，b]，且f(x)在x＝a处取得最小值A，在x＝b处取得最大值B，试求y＝f(x)在[a，b]上的值域。
例2.求f(x)＝■的值域。
例1是无法求值域的；在求解过程中没有学生对题目提出异议，没有独特的见解，有的同学误将答案写为[a，b]。
例2正确答案为[-■，0) ∪(0，■]，但有的学生将y＝■化简成y＝■sin2x从而得出值域为[-■，■]忽视了定义域 {x|x＝■kπ， k∈z}的制约。
值域是函数三要素之一，初等函数的特殊性，给学生造成了这样一种认识：若函数的值域为[m，M]，则函数的最大值、最小值分别为M和m；若函数的最小值为m，最大值为M，则其值域为[m，M]，实际上前一种认识是正确的，后一种认识是错误的。函数的性质,直接受定义域制约。函数的三要素定义域、值域、对应关系三者之间是相互渗透、相互依赖的，教学中多设几个特例，揭示这三者之间的内在联系和本质区别，有利于独特性思维的发展。
2.多方求函数的值，培养思维的灵活性
创造性思维强调根据不同的对象和条件，具体情况、具体对待，灵活应用，反对一成不变的模式。求函数值的方法是丰富多彩的，为了培养学生灵活求函数值的方法，要求学生计算下面两道习题。
例3.已知f(x) ＝4x-4x+1(x≥0)，求f-1(0)；
例4.已知f(x)＝asin3+x3+1，且f(■)＝4+■，求f(-■)的值；
解题时，学生出现不同的解法。
例3解法： 方法①应通过原函数与反函数的可逆性，将求f-1(0)转化为求方程f(x)＝0的解。方法②有的学生不惜通过繁琐的计算，先求出y＝f-1(x),进而求f-1(0)的值。
例4解法：方法①应通过函数的奇偶性，g(x) ＝f(x)-1，利用g(x)是奇函数这一性质求解最为方便。 方法②通过f(■)＝4+■解出a的值，以确定f(x)的表达式，再将x＝-■代入，求出f(-■)的值。
通过比较，教师指出解例3时，通过函数解析式y＝f(x)计算出与x对应的函数值y，这是常见的思路，初、高中课本中有大量这类题型，导致学生思维的单一性，解法繁琐。方法①则灵活、便捷。解例4时，方法①掌握了g(x)是奇函数这一性质，用逆向思维的方法解决，比方法②高明得多。通过这两个例题的教学使学生懂得解题或处理问题时要变通，要实事求是，不要拘泥于教条和模式。
3.深入理解定义域，学会求异思维
创造性思维是对已知知识的重新组合，目的是获得新的思维成果。深入理解函数定义域，有助于发展学生的求异思维。定义域一般分为三种类型；使解析式有意义的自变量的取值范围称为自然型；使实际问题或几何问题有意义的自变量的取值范围称为实际型；人为限制给定的自变量的取值范围称为限制型。为了加深对定义域的理解，求解下面几个例题。
例5.已知f(x) ＝log(x+a)，其中a∈R，若x∈[2，+∞]时，f(x)有意义，求a的取值范围。
例6.已知f(x) ＝x3-2x十3的值域为[2，3]，试说明该函数的定义域[0，a]所应满足的条件。
解例5时，不少学生错误地认为a＝-2； 正确解法是：由条件[2，+∞]应该是定义域的子集，由[2，+∞] ∪[-a，+∞]可得a∈[-2，+∞]。
解例6时，不少学生错误地得定义域为[0，1]或[0，2]。正确的答案为[0，2]，其中1≤a≤2。
解例5时，由于受教材内容的影响，教材中求定义域的大多数是自然型的，即使得式子有意义的x的取值范围，致使学生误认为给出的f(x)有意义的取值范围便是定义域，事实上给出的f(x)有意义的x的集合，应该是定义域的子集。
解例6反映出学生由值域导出定义域会感到束手无策，在函数教学中，正用概念、公式、得到了高度重视，但由于数学概念的定义项与被定义项之间往往存在着等价关系，忽视了知识的双向性，重视了常规方法，不会异向思维，通过这两例题的教学，有利于纠正这一思维倾向。
4.通过解抽象函数问题，培养学生思维的综合性
创造性思维是一种综合性思维。创造就是重新组合，日本人提出“综合就是创造”。可通过解下面抽象函数问题来培养学生综合思维能力。
例7.是否存在函数f(x)，同时满足下列三个条件：
①f(x+y)+f(x-y)＝2f(x) cosy（x,y∈ R)
②f(0) ＝a，(a为常数)
③f(■)＝b,(b为常数)
解：条件①中x，y的任意性，隐含着x，y可以“换元”，又可以“赋值”，结合条件②和③，可构造出函数方程组，求出函数表达式。
令x＝0，y＝t得：f(t)+f(-t)＝2acost(1)
令x＝■+t，y＝■得：f(π+t)+f(t)＝0(2)
令x＝■，y■+t得：f(π+t)+f(-t) ＝2bsint (3)
将(1)+(2)+(3)得：f(t)＝acost+bsint故存在f(x)＝acost+bsint符合题意。
函数思想、方法观点，是中学数学思想方法两个分支之一，在初等数学中，函数问题可用方程观点去解决。反之，亦然。当然，学生的成长离不开教师的培育，只有教师不断地为学生创造条件、正确地引导他们，就一定能激发学生的灵感，点燃学生创新意识的火花。