三角函数是高中数学的重要内容之一,也是高考必考内容,其中较多内容在高考考查的B级和C级要求.其严密的知识体系、独特的解题方式和广泛的实际运用,在给同学们带来无限乐趣的同时也向思维方式提出了严峻的挑战,表现为具体问题中基本概念易混淆,预设陷阱多,需综合运用相关代数、几何知识和解题技巧.以下就三角学习中一些常见错误举例说明.
　　一、忽视讨论
　　例1 已知θ是第四象限角,且|cosθ2 |=-cosθ2,则θ2是第几象限的角?
　　错解:因为|cosθ2 |=-cosθ2所以cosθ2≤0,
　　所以2kπ+π2≤θ2≤2kπ+3π2(k∈Z)
　　又因为θ是第四象限角,所以2kπ+3π2<θ<2kπ+2π(k∈Z),
　　kπ+3π4<θ2　　剖析:在得到kπ+3π4<θ2　　继而得到:
　　若k=2n(n∈Z),则2nπ+3π4<θ2<2nπ+π.
　　若k=2n+1,则2nπ+7π4<θ2<2nπ+2π.
　　即θ2在第二或第四象限
　　综合得,θ2在第二象限.
　　上述解法虽然结论正确,但由于忽视了对k的讨论,从而导致过程的错误.
　　说明:三角函数中角的象限问题一般都要对字母k进行讨论,才能确定角的具体象限.
　　二、忽视复合函数单调性
　　例2 求函数f(x)=2sin(-2x+π3)的单调递增区间.
　　错解:2kπ-π2≤-2x+π3≤2kπ+π2
　　得-kπ-π12≤x≤-kπ+5π12
　　所以函数的单调增区间为-kπ-π12,-kπ+5π12,k∈Z
　　剖析:上述解法忽略了函数f(x)=2sin(-2x+π3)是一个复合函数,其内函数是一个单调递减函数,外函数递增时原函数则为减函数.解决这类问题时需要对原函数进行变形.f(x)=2sin(-2x+π3)=-2sin(2x-π3),求函数y=sin(2x-π3)的递减区间即为原函数的递增区间.
　　由2kπ+π2≤2x-π3≤2kπ+3π2得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12,所以函数f(x)=2sin(-2x+π3)的单调递增区间为kπ+5π12,kπ+11π12,k∈Z.
　　说明:对于函数y=Asin(ωx+φ)的单调性,要结合A,ω的符号一起考虑,特别碰到ω为负数时要通过诱导公式sin(-α)=-sinα将其变为y=-Asin(|ω|x-φ),再结合A的正负求出单调区间.
　　三、忽视隐含条件
　　
　　例3 设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA
　　求cosA+sinC的取值范围 .
　　错解:由a=2bsinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以sinB=12,由△ABC为锐角三角形得B=π6
　　cosA+sinC=cosA+sinπ-π6-A=cosA+sinπ6+A
　　=cosA+12cosA+32sinA=3sinA+π3
　　由0　　剖析:△ABC为锐角三角形,A为锐角,所以A的范围不是0　　2π3　　说明:锐角三角形问题中,同学们经常出现角的范围错误,要了解锐角三角形的本质特征:最大角为锐角或三个角均为锐角.
　　
　　例4 已知tanα,tanβ是方程x2-6x+7=0的两根,α,β∈(0,π),α≠β,求α+β的值.
　　错解:由韦达定理得
　　tan α+tan β=6tan α•tan β=7①
　　又tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=61-7=-1②
　　因为0<α<π,0<β<π,所以0<α+β<2π③
　　由②③得α+β=3π4或α+β=7π4
　　剖析:由①知,tanα>0,tanβ>0,∴α,β∈(0,π2)∴α+β∈(0,π)
　　∴α+β=3π4
　　说明:对于与一元二次方程的根有关的问题要注意根的符号隐含在韦达定理中,直接影响角的范围.
　　四、忽视三角函数的定义域
　　例5 求函数y=sinxcosx1+sinx+cosx的值域
　　错解:设t=sinx+cosx= 2sin(x+π4),t∈[-2,2],sinxcosx=t2-12
　　∴y=t2-121+t=t-12∵-2≤t≤2∴y∈-2-12,2-12
　　剖析:上述解法中忽视了定义域及变量t的取值范围的讨论.
　　∵1+t≠0,∴y≠-1 所以函数值域为-2-12,-1∪-1,2-12
　　例6 求f(x)=2cosx+1tanx的定义域.
　　错解:∵2cosx+1≥0tanx≠0∴cosx≥-12tanx≠0
　　∴2kπ-2π3≤x≤2kπ+2π3(x≠kπ,k∈Z)
　　故函数f(x)定义域为{x|2kπ-2π3≤x≤2kπ+2π3且x≠kπ(k∈Z)}
　　剖析:解题中没有注意到三角函数本身的特有属性,要使tanx有意义,必须有x≠kπ+π2(k∈Z).
　　故f(x)定义域为{x|2kπ-2π3≤x≤2kπ+2π3且x≠kπ且x≠kπ+π2(k∈Z)}
　　说明:忽视定义域是同学们在求函数单调区间和值域时的常见错误,要有定义域优先考虑的习惯.
　　五、忽视角的范围,选错三角函数,导致多解
　　例7 若sinα=55,sinβ=1010,且α,β均为锐角,求α+β的值.
　　错解:∵α为锐角,∴cosα=1-sin2α=255
　　又β为锐角,∴cosβ=1-sin2β=31010.
　　且sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=22,
　　由于0°<α<90°,0°<β<90°,
　　∴0°<α+β<180°,
　　故α+β=45°或135°.
　　剖析:∵0<α+β<π,所以选择正弦不能直接确定哪个角,从而出现了多解.
　　∵α为锐角,∴cosα=1-sin2α=255.
　　又β为锐角,∴cosβ=1-sin2β=31010.
　　且cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=22,
　　由于0°<α<90°,0°<β<90°,
　　∴0°<α+β<180°,故α+β=45°.
　　说明:求角经常通过求角的某一个三角函数值来实现,同学们经常会选错三角函数导致出现多解的情况,解决办法是:先确定角的范围,然后选择能够区分角的象限的三角函数进行求值,这样就不会出现多解现象了.
　　六、忽视三角函数的有界性
　　例8 若sin2α+2sin2β=2cosα,求sin2α+sin2β的取值范围.
　　错解:由已知得sin2β=cosα-12sin2α,则有
　　
　　sin2α+sin2β=sin2α+cosα-12sin2α=cosα+12(1-cos2α)
　　=-12(cosα-1)2+1
　　所以,当cosα=1时,sin2α+sin2β取得最大值1,当cosα=-1时sin2α+sin2β取得最小值-1.
　　剖析:cosα的取值范围在本题中不是[-1,1],因为1≥sin2β=cosα-12sin2α≥0
　　所以2-1≤cosα≤1,当cosα=1时,sin2α+sin2β取得最大值1,cosα=2-1时,sin2α+sin2β取得最小值2(2-1).
　　说明:求解这类题目同学们往往注意不到消元过程产生的变量范围的变化,需要引起重视.
　　七、忽视三角形边角关系对角范围的制约
　　例9 A,B,C为△ABC的三个内角,且cosA=35,sinB=513,求cosC的值.
　　错解:由cosA=35得A∈0,π2,所以sinA=45,又由sinB=513,B∈(0,π)
　　所以cosB=±1213所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-1665或cosC=5665.
　　剖析:由于sinB=513,sinA=45,sinB<sinA,由正弦定理2RsinB<2RsinAb　　所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-1665.
　　八、忽视图象变换原理出错
　　例10 先将函数y=sin2x的图象向左平移π3个单位长度,再将所得图象作关于y轴的对称变换,则所得函数图象对应的解析式为 .
　　错解:将函数y=sin2x的图象向左平移π3个单位长度所得图像解析式为y=sin(2x+π3) ,再将其关于y轴对称所得图像解析式为y=sin(-2x+π3).
　　剖析:函数y=f(x)的图像向左平移a个单位,所得图像对应解析式为y=f(x+a),变化应体现的是x的整体变化成x+a.将函数y=sin2x的图象向左平移π3个单位长度所得图像解析式为y=sin2(x+π3)=sin(2x+2π3) ,再将其关于y轴对称所得图像的解析式为y=sin(-2x+2π3)=-sin(2x-2π3).
　　说明:函数图像的平移是同学们最容易出错的点.
　　以上是本人在平常教学中发现的一些典型错误,具有一定的代表性,同学们在平时的学习过程中要真正明白个中缘由,在以后的解题中就会减少错误的发生.
　　(作者:刘和玲、陈建军,昆山市震川高级中学)