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数列作为特殊函数，具有与函数相同的表示方法，除此而外，也常用递推关系来表示数列. 数列{an}的连续k+1(k∈N*)项满足F(an, an+1, an+2, …, an+k)=0，则称此关系式为数列{an}的一个递推关系式.由递推关系式及k个初始值可以确定的一个数列{an}称为递推数列. 事实上，我们熟悉的等差、等比数列的递推关系式分别为an+1－an=d(n∈N*，d为常数)，an+1an=q(n∈N*，q为非零常数).
递推数列的类型很多，可用初等数学方法求通项的类型也不少. 本文介绍两类利用特征方程求通项的递推数列.
【定理1】 已知数列{an}的首项，且满足an+1=ran+span+q(p≠0,rq－sp≠0,r，s，p，q为常数). 设关于x的方程x=rx+spx+q有两解α和β. 若α=β，令yn=1an－α，则数列{yn}是等差数列；若α≠β，令z
【证明】 若α=β，令yn=1an－α，
则yn+1=1an+1－α=1ran+span+q－α
因为α是关于x的方程x=rx+spx+q即px2+(q－r)x－s=0的解，
因为α，β是关于x的方程x=rx+spx+q的解，
因为qr≠ps，所以r－pαr－pβ≠0.
故数列{zn}是公比为r－pαr－pβ的等比数列.
【解读】 关于x的方程x=rx+spx+q即在递推公式an+1=ran+span+q中将an+1和an都换为x, 我们把该方程称为这类递推数列的特征方程. 由于p≠0,rq－sp≠0, 因此特征方程x=rx+spx+q与一元二次方程px2+(q－r)x－s=0同解，根据解的情况(是否相等)，构造新数列, 再由新数列的通项公式求出原数列的通项公式.
例1 数列{an}满足:a1=1, an+1=3an+2an+2(n∈N*), 求数列{an}的通项公式.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
递推数列的类型很多，可用初等数学方法求通项的类型也不少. 本文介绍两类利用特征方程求通项的递推数列.
【定理1】 已知数列{an}的首项，且满足an+1=ran+span+q(p≠0,rq－sp≠0,r，s，p，q为常数). 设关于x的方程x=rx+spx+q有两解α和β. 若α=β，令yn=1an－α，则数列{yn}是等差数列；若α≠β，令z
【证明】 若α=β，令yn=1an－α，
则yn+1=1an+1－α=1ran+span+q－α
因为α是关于x的方程x=rx+spx+q即px2+(q－r)x－s=0的解，
因为α，β是关于x的方程x=rx+spx+q的解，
因为qr≠ps，所以r－pαr－pβ≠0.
故数列{zn}是公比为r－pαr－pβ的等比数列.
【解读】 关于x的方程x=rx+spx+q即在递推公式an+1=ran+span+q中将an+1和an都换为x, 我们把该方程称为这类递推数列的特征方程. 由于p≠0,rq－sp≠0, 因此特征方程x=rx+spx+q与一元二次方程px2+(q－r)x－s=0同解，根据解的情况(是否相等)，构造新数列, 再由新数列的通项公式求出原数列的通项公式.
例1 数列{an}满足:a1=1, an+1=3an+2an+2(n∈N*), 求数列{an}的通项公式.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”