数列是高中数学的重要内容,它与函数、方程、不等式、几何等数学的各个分支都有着密切的联系解答数列题往往涉及到重要的数学思想方法,对学生的能力要求较高因此,数列问题成为历年高考的热点内容本文就解答高考数列题的常见策略作简单的归纳,希望对同学们有所帮助
　　
　　一、化归转化策略
　　数列问题常可化归为等差(等比)数列或化归为我们熟悉的数列问题去求解;又由于数列的通项公式及求和公式可看成是关于序号n的函数,因此,也可将数列问题转化成函数问题去解决
　　例设 an}是正数组成的数列,其前n项和为n,且对所有的正整数n,an与2的等差中项等于n与2的等比中项,求数列 an}的通项公式
　　解:由题意12 an+2=2n,得n=18 an+22,∵12 a1+2=2a1,∴a1=2当n≥2时,an=n- n-1=18\ an+22- a n-1+22,整理得: an+a n-1 an-a n-1-4=0,故数列 an}是首项为2,公差为4的等差数列,∴an=4n-2
　　例 2设An为数列 an}的前n项和,An=32 an-1 n∈N,数列 bn}通项公式为bn=4n+3 n∈N
　　(1)求数列 an}的通项公式;
　　(2)若d∈ a1,a2,…,an…}∩ b1,b2,…,bn…},则称d为数列 an}与 bn}的公共项将数列 an}与 bn}的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列 dn},证明数列 dn}的通项公式为dn=32n+1(n∈N)
　　解:(1)由已知An=32 an-1,当n=1时,a1=32 a1-1,解得a1=3当n≥2时,an=An-A n-1=32 an-a n-1,解得an=3a n-1∴数列 an}是首项为3,公比为3的等比数列,故an=3n n∈N
　　(2)易知a1,a2不是数列 bn}中的项,∵a3=27=4×6+3,∴d1=27是数列 bn}中的第6项设ak=3k是数列中 bn}的第m项,则3k=4m+3 k,m∈N,a k+1=3k+1=3•3k=4 3m+2+1,∴a k+1不是数列 bn}中的项又a k+2=3k+1=9•3k=4 9m+6+3,∴a k+2,是数列 bn}中的项因此,d1=a3,d2=a5,d3=a7,…,dn=a 2n+1,∴dn=a 2n+1=32n+1 n∈N
　　评析:解(2)的关键是由题设得出3k=4m+3这一关系式,难点是运用分类思想进行归纳、判断,得出 dn}的通项公式,分类是按k除以3的余数来进行讨论该题应用了化归、分类等思想,是一道反映高考动向,考察学生能力的好题
　　例 3设等差数列 an}的前n项和为n,已知a3=12,2>0,3<0
　　(1)求公差d的取值范围;
　　(2)指出1,2,…,n中哪一个值最大,并说明理由
　　解:(1)由题意, 2=12a1+12×112d>03=13a1+13×122d<0 即 2a1+11d>0a1+6d<0 ,又a3=12,∴a1=12-2d,这样便可得到-247　　(2)∵n=na1+n n-12d=n 12-2d+n n-12d,
　　∴n=d2n-12 5-24d2-d212 5-24d2,因为d<0,且当-247　　5<12 5-24d<65,由二次函数的知识得n-6时,n最大,即6最大
　　
　　二、整体思维策略
　　在解题时,运用数列的性质,如等差数列 an}中,am+an=ap+aq;等比数列 an}中,am•an=ap•aq(其中m+n=p+q)等等,进行整体思考,可以简化解题过程,优化解题质量
　　例 4设 an}是由正数组成的等比数列,n是其前n项和,证明lgn+lg n+22<lg n+1
　　证明:设 an}的公比为q,由 n+1=a1+qn, n+2=a1+q n+1得n• n+2-2 n+1=n a1+q n+1- a1+qn n+1=a1 n- n+1=-a1a n+1<0,∴n• n+2<2 n+1,故lgn+lg n+22<lg n+1
　　
　　三、特殊探索策略
　　通过对某些特殊情形的观察、探索,猜测出问题的一般结论,然后运用数学归纳法或其它方法加以证明这种策略是解数列题的常用策略之一
　　例 5若a>b>2,那么ab,a+b,ba,a-b是否可依某种顺序组成等比数列?若能,求出a,b的值;若不能,说明理由
　　解:当a=4,b=3时,ab=12,a+b=7,ba=34,a-b=1从而猜测可能按ab,a+b,a-b,ba的顺序成等比数列若ab,a+b,a-b,ba成等比数列,则 a+bab=baa-b a+b2=ab a-b ,解得a=7+52,b=12 10+72∵b=12 10+72>2,∴满足a>b>2,故可按ab,a+b,a-b,ba的顺序组成等比数列,此时a=7+52,b=12 10+72
　　
　　四、递推探求策略
　　对于有些数列问题,我们可以建立起一个递推关系式,根据递推关系的性质进行探求
　　例 6 3设数列 an}的前n项和为n,且n=-ban+1-1 1+bn,(其中b是与n无关的常数,且b≠-1)试写出用n和b表示an的表达式
　　解:∵a1=1=-ba1+1-11+b,∴a1=b 1+b2,
　　当n≥2时,an=n- n-1=-b an-a n-1+b 1+bn,∴an=b1+ba n-1+b 1+bn+1 ()∴a2=b2 1+b3+b 1+b3=b+b2 1+b3,a3=b1+b•b+b2 1+b3+b 1+b4=3b+b2+b3 1+b4,…,继续用递推式()代下去,即得an=b+b2+…+bn 1+bn+1,故an= b-bn+1 1-b 1+bn+1 b≠1时n2n+1 b=1时 
　　
　　五、分类讨论策略
　　所谓分类讨论策略,是指解题时根据数列的有关公式,如an= n- n-1 n≥2时1 n=1时 ;又如等比数列求和公式n= ( na1q=1时a1 1-qn1-q q≠1时 )等,或根据问题的特点进行分类讨论的策略
　　例 7已知等比数列 an}的首项a1>0,公比q>-1且q≠0,设数列 bn}的通项bn=a n+1+a n+2 n∈N,数列 an}、 bn}的前n项和分别记为An、 n试比较An和 n的大小
　　解:∵bn=a n+1+a n+2=an q+q2,∴ n= q+q2An
　　当q>0时,∵a1>0,∴An>0;当-11,1-q>0,1-qn>0,∴An=a1 1-qn1-q>0
　　故当q>-1且q≠0时,总有An>0
　　又 n-An=An c+q2-1=An q+5+12 q-5-12,
　　∴当-1 n;
　　当q=5-12时,An= n;
　　当q>5-12时,An< n
　　(作者:周淦利,江苏省泰州市第三高级中学)