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[摘 要]几何直观在数的认识和运算中有重要作用。在教学“除数为分数的除法”时，多次运用几何直观，突破教学难点，帮助学生深刻理解分数除法的算理。
[关键词]几何直观；分数除法；归纳法
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）11-0079-02
【教学内容】北师大版教材五年级下册第57页至58页“练一练”。
【教学目标】
1.借助實物操作和演示，理解分数除法中除数为分数的意义和算理。
2.归纳得出一般分数除法的计算方法，并能正确计算。
【设计思路】“几何直观”是学生理解分数乘除法算理的重要手段，培养学生“几何直观”素养是数学学科核心素养的重要内容。通过教具、课件演示等直观方式，在帮助学生理解除数为分数的除法算理的同时，提升学生运用“几何直观”解决问题的能力和培养学生的“几何直观”素养。
【教材分析】分数除法（二）是北师大版教材五年级下册的内容，即除数为分数的小数除法。本课是让学生在上节课学习了“分数除以整数”后，进一步认识分数除法的意义和算理算法。与除数为整数的除法相比，除数为分数的除法意义在算理上是完全不同，前者为“等分”，后者为“包含分”；前者算理容易理解——把一个数平均分成几份与求这个数的几分之一的意义容易沟通，后者学生理解很困难——每几分之一个一份，相当于每个几分之一都可以分成几份。因此，理解算理是本节课的重点和难点，笔者将利用“几何直观”手段来突破这些重难点。
【教学过程】
师（出示本课师生愿景：会讲故事的老师，会讲道理的学生）：猜一猜，老师为什么会提出这样的要求。
师：一位国王造了一个大湖，便问群臣“：这个大湖的水能装多少桶？”大臣无言以对……最后，有一位大臣的儿子帮父亲解决了问题：“关键要看桶多大，如果桶和湖一样大，一桶就装完；如果桶是湖的一半，可以装两桶……”
[设计意图：揭示本节课的主线和学习的策略——讲算理。故事为主线的问题串引入，不但为除数为分数的除法意义的学习做了铺垫，还沟通了2和，3和……互为倒数的两个数的实际意义——总量为“1”时，每份数与份数互为倒数。]
师：国王问：“你们会列算式吗？”大臣表示只会列第一个1÷1=1，其余不会。国王要求他们和我们一起学习“分数除法”，我们一起来帮助他们。不过他们远道而来，一定已经饿了，我们先请他们吃点东西。
师（出示主题图1；图略）：有4张同样的大饼，每2张为一份，可以分给几个人？
（学生列出算式，重点讲清为什么用除法，以及两个2的区别）
师（出示主题图2；图略）：有4张同样的大饼，每1张为一份，可以分成几份？
（学生列出算式，重点讲出除数1和商4的意义）
[设计意图：温习除法中包含分的意义及除法各部分表示的意义。]
师（出示主题图3）：
生1：4÷=8。
师：8是如何得到的？
生2：看主题图可知，一共被分成了8份。
生3：根据意义，看4里面有几个一半，共8个一半，即8份。
生4：除以一个数等于乘这个数的倒数，所以4÷=4×2=8。
师：我们只学过“除以一个整数，相当于乘这个整数的倒数”，这能直接迁移到分数除法吗？
师：除以一个分数是否相当于乘这个分数的倒数？理由是什么？意义上能说得通吗？
（举例说明除数为整数的情况。如a÷3和a×都可以表示平均分成3份，求每份是多少）
师：除数为分数时也是这样吗？刻舟求剑的典故后面有一个故事，说有一个人把一个婴儿扔到水里，曰“其父善游”。其父善游其子亦善游？这个故事传达了一个重要的数学精神——大胆猜测，小心求证。
师：为什么除以相当于乘2呢？或者说每张饼为一份时，为什么乘2，2表示什么意思呢？（教师出示“锦囊”：每张饼为一份相当于每张饼可以分成2份）
（学生讲4遍“道理”：第一遍读“锦囊”，初步理解句意；第二遍，教师手持教具（教具为两个半圆）演示，学生看着几何教具讲，通过几何直观，初步理解算理；第三遍，学生看着主题图讲，并补充说4张饼可以分成4×2=8；第四遍，学生看着算式讲，理解“除以几分之一，相当于乘几。”）
[设计意图：语言是思维的载体，学生在反复讲“道理”的过程中，就能理解算理，教师再辅以几何直观，就能充分帮助学生沟通生活与算式的意义。]
师：有4张饼，每张为一份，可以分成几份？你会算吗？（把“锦囊”的教学内容迁移到上）
师：现在能否说“除以一个分数，相当于乘这个分数的倒数”？
师：通过“守株待兔”这个故事，我们明白了，为了排除偶然因素，必须小心求证。因此，仅用分饼一件事来说明是不够严谨的，还要用更多的事例来进行归纳，从而提高命题的正确性。
[设计意图：此处让学生体会不完全归纳推理的方法——作为合情推理，事例越多，不完全归纳得出的命题正确性越高。]
师（出示P58练一练图1；图略）：2米长的绳子，每段米，可以截成几段？（学生列式，并讲出算理。“锦囊”改为“每米一份相当于‘1’米可以分成2份。”）
（教师出示P58练一练图2，教学流程同上）
师（出示P58练一练图3）：2米长的绳子，每段米，可以截成几段？
生5：每米为一份，相当于1米可以分成份。
（教师引导学生发现“原来的除数一直是分子为1，即为分数单位，如果分子不是1，原来的“锦囊”就不灵了”，指导学生将转化为1或是1.5，说成一个半，再对照线段图来讲明道理。）
[设计意图：对于分母不为1的情况，运用转化和几何直观手段，可以助力教学目标的达成。]
师：通过以上例子可以得出，除以一个分数，相当于乘这个分数的倒数。除以一个数，相当于乘这个数的倒数。
师：如果桶是湖的一半，可以装两桶。列式为1÷=2（桶）。总量为“1”时，表示每份数，2则表示份数。我们是将除以每份数转化为乘每份数来计算和说明算理的。
师：本节课中，老师是会讲故事的老师吗？你们是会讲道理的学生吗？我讲了什么故事，你们又讲了什么道理？我们是如何进行归纳推理的？有两个幕后“英雄”介绍给大家。
课件呈现：
A锦囊：语言是思维的载体，多讲多说可以帮助我们理解算理。
B几何直观是理解算理、解决问题的好帮手，今天我们就是用它来学习的。送给同学们两句话：算理不清用图形，思路不明画线段。
（责编 金 铃）
[关键词]几何直观；分数除法；归纳法
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）11-0079-02
【教学内容】北师大版教材五年级下册第57页至58页“练一练”。
【教学目标】
1.借助實物操作和演示，理解分数除法中除数为分数的意义和算理。
2.归纳得出一般分数除法的计算方法，并能正确计算。
【设计思路】“几何直观”是学生理解分数乘除法算理的重要手段，培养学生“几何直观”素养是数学学科核心素养的重要内容。通过教具、课件演示等直观方式，在帮助学生理解除数为分数的除法算理的同时，提升学生运用“几何直观”解决问题的能力和培养学生的“几何直观”素养。
【教材分析】分数除法（二）是北师大版教材五年级下册的内容，即除数为分数的小数除法。本课是让学生在上节课学习了“分数除以整数”后，进一步认识分数除法的意义和算理算法。与除数为整数的除法相比，除数为分数的除法意义在算理上是完全不同，前者为“等分”，后者为“包含分”；前者算理容易理解——把一个数平均分成几份与求这个数的几分之一的意义容易沟通，后者学生理解很困难——每几分之一个一份，相当于每个几分之一都可以分成几份。因此，理解算理是本节课的重点和难点，笔者将利用“几何直观”手段来突破这些重难点。
【教学过程】
一、导入
师（出示本课师生愿景：会讲故事的老师，会讲道理的学生）：猜一猜，老师为什么会提出这样的要求。
师：一位国王造了一个大湖，便问群臣“：这个大湖的水能装多少桶？”大臣无言以对……最后，有一位大臣的儿子帮父亲解决了问题：“关键要看桶多大，如果桶和湖一样大，一桶就装完；如果桶是湖的一半，可以装两桶……”
[设计意图：揭示本节课的主线和学习的策略——讲算理。故事为主线的问题串引入，不但为除数为分数的除法意义的学习做了铺垫，还沟通了2和，3和……互为倒数的两个数的实际意义——总量为“1”时，每份数与份数互为倒数。]
二、新知探究
师：国王问：“你们会列算式吗？”大臣表示只会列第一个1÷1=1，其余不会。国王要求他们和我们一起学习“分数除法”，我们一起来帮助他们。不过他们远道而来，一定已经饿了，我们先请他们吃点东西。
师（出示主题图1；图略）：有4张同样的大饼，每2张为一份，可以分给几个人？
（学生列出算式，重点讲清为什么用除法，以及两个2的区别）
师（出示主题图2；图略）：有4张同样的大饼，每1张为一份，可以分成几份？
（学生列出算式，重点讲出除数1和商4的意义）
[设计意图：温习除法中包含分的意义及除法各部分表示的意义。]
师（出示主题图3）：
生1：4÷=8。
师：8是如何得到的？
生2：看主题图可知，一共被分成了8份。
生3：根据意义，看4里面有几个一半，共8个一半，即8份。
生4：除以一个数等于乘这个数的倒数，所以4÷=4×2=8。
师：我们只学过“除以一个整数，相当于乘这个整数的倒数”，这能直接迁移到分数除法吗？
师：除以一个分数是否相当于乘这个分数的倒数？理由是什么？意义上能说得通吗？
（举例说明除数为整数的情况。如a÷3和a×都可以表示平均分成3份，求每份是多少）
师：除数为分数时也是这样吗？刻舟求剑的典故后面有一个故事，说有一个人把一个婴儿扔到水里，曰“其父善游”。其父善游其子亦善游？这个故事传达了一个重要的数学精神——大胆猜测，小心求证。
师：为什么除以相当于乘2呢？或者说每张饼为一份时，为什么乘2，2表示什么意思呢？（教师出示“锦囊”：每张饼为一份相当于每张饼可以分成2份）
（学生讲4遍“道理”：第一遍读“锦囊”，初步理解句意；第二遍，教师手持教具（教具为两个半圆）演示，学生看着几何教具讲，通过几何直观，初步理解算理；第三遍，学生看着主题图讲，并补充说4张饼可以分成4×2=8；第四遍，学生看着算式讲，理解“除以几分之一，相当于乘几。”）
[设计意图：语言是思维的载体，学生在反复讲“道理”的过程中，就能理解算理，教师再辅以几何直观，就能充分帮助学生沟通生活与算式的意义。]
师：有4张饼，每张为一份，可以分成几份？你会算吗？（把“锦囊”的教学内容迁移到上）
师：现在能否说“除以一个分数，相当于乘这个分数的倒数”？
师：通过“守株待兔”这个故事，我们明白了，为了排除偶然因素，必须小心求证。因此，仅用分饼一件事来说明是不够严谨的，还要用更多的事例来进行归纳，从而提高命题的正确性。
[设计意图：此处让学生体会不完全归纳推理的方法——作为合情推理，事例越多，不完全归纳得出的命题正确性越高。]
师（出示P58练一练图1；图略）：2米长的绳子，每段米，可以截成几段？（学生列式，并讲出算理。“锦囊”改为“每米一份相当于‘1’米可以分成2份。”）
（教师出示P58练一练图2，教学流程同上）
师（出示P58练一练图3）：2米长的绳子，每段米，可以截成几段？
生5：每米为一份，相当于1米可以分成份。
（教师引导学生发现“原来的除数一直是分子为1，即为分数单位，如果分子不是1，原来的“锦囊”就不灵了”，指导学生将转化为1或是1.5，说成一个半，再对照线段图来讲明道理。）
[设计意图：对于分母不为1的情况，运用转化和几何直观手段，可以助力教学目标的达成。]
师：通过以上例子可以得出，除以一个分数，相当于乘这个分数的倒数。除以一个数，相当于乘这个数的倒数。
三、反思总结
师：如果桶是湖的一半，可以装两桶。列式为1÷=2（桶）。总量为“1”时，表示每份数，2则表示份数。我们是将除以每份数转化为乘每份数来计算和说明算理的。
师：本节课中，老师是会讲故事的老师吗？你们是会讲道理的学生吗？我讲了什么故事，你们又讲了什么道理？我们是如何进行归纳推理的？有两个幕后“英雄”介绍给大家。
课件呈现：
A锦囊：语言是思维的载体，多讲多说可以帮助我们理解算理。
B几何直观是理解算理、解决问题的好帮手，今天我们就是用它来学习的。送给同学们两句话：算理不清用图形，思路不明画线段。
（责编 金 铃）