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数学学习离不开用逻辑用语来表述概念和论证结论，因而逻辑联结词就成为高中数学学习的重点．下面笔者就如何学习本节知识作阐述，希望对同学们的学习有所裨益．
一、理解概念的关键点
1. 定义
（1）“且”（[p∧q]）
这里的“且”与生活中的“和”“并且”“以及”“既…，又…”意思相当，即要求两者必须同时成立．同时我们也可以联系必修1中有关集合的知识，可知“且”与集合的“交”是一致的．
（2）“或”（[p∨q]）
逻辑中的“或”与生活中的“或”还是有所区别的：生活中的“或”一般指二者必居其一但并不兼有，而逻辑用语中的“或”指二者取一或二者均有，它与集合的“并”是一致的．
（3）“非”（¬[p]）
“非”是对一个命题的全盘否定，它与集合的“补”一致．
2. 真值表
对“且”“或”“非”命题的真假关系，我们可以用下表来直观表达：
3. “且”“或”“非”命题的判定
（1）含有“且”“或”“非”字眼的命题并不一定是“且”“或”“非”命题．
例1 判断正误：
（1）命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”是“且”命题；
（2）命题“[x2-x-6=0的解是x=-2或x=3]”是“或”命题；
（3）命题“非零实数的零次幂等于1”是“非”命题．
答案 （1）错 （2）错 （3）错
分析 （1）粗看起来，这是一个“[p∧q]”形式的命题，理由似乎很充分：它含有逻辑联结词“且”．它到底是不是“且”命题呢？我们可以用上面的真值表来检验．记[p]：一组对边平行的四边形是平行四边形，[q]：一组对边相等的四边形是平行四边形．很显然，[p]和[q]都是假命题，由真值表可以知道“[p∧q]”也是假命题，但命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”却是一个真命题，于是出现了矛盾. 问题出在哪里呢？不难看出，原因就是该命题不是“[p∧q]”形式的命题．类似的还有“满足不等式[x2-x-6<0]的[x]的范围为[-2-2]且[x<3]）”．
（2）“[x2-x-6=0]的解是[x=-2]或[x=3]”也不是“或”命题．理由：记[p]：[x2-x-6=0]的解是[x=-2]，[q]：[x2-x-6=0]的解是[x=3]．这里的“解”实际上是“所有的解”的意思，很容易看出，[p]和[q]均是假命题，由真值表可以知道“[p∨q]”应该为假命题，而命题“[x2-x-6=0]的解是[x=-2]或[x=3]”却是真命题，又出现了矛盾，因此命题“[x2-x-6=0]的解是[x=-2]或[x=3]”也不是“或”命题．
（3）命题“非零实数的零次幂等于1”不是“非”命题．我们很容易看出，该命题虽然含有“非”字，但它却不是“非”命题．
点评 根据第（1）题的解析，我们可以总结一个规律：命题“同时具有[n1、n2、⋯、nk]性质的A是B”不是“[p∧q]”形式的命题．根据第（2）题的解析，我们也可以总结一个规律：命题“A的所有对象是[n1、n2、⋯、nk]”也不是“[p∨q]”形式的命题．
（2）不含“且”“或”“非”字眼的命题也可能是“且”“或”“非”命题．
例2 判断下列命题的形式：
（1）[2≤2]；
（2）有两个角为[45°]的三角形是等腰直角三角形．
解析 （1）命题“[2≤2]”是“[p∨q]”形式的命题，其中[p]：2=2，[q]：[2<2]；
（2）命题“有两个角为[45°]的三角形是等腰直角三角形”是“[p∧q]”形式的命题．其中[p]：有两个角为[45°]的三角形是等腰三角形，[q]：有两个角为[45°]的三角形是直角三角形．
点评 判断一个命题是否为“且”“或”“非”命题，不仅要看命题中是否含有“且”“或”“非”这些字眼，还要用真值表来检验．
二、学习过程中应注意的几个问题
部分同学由于理解上的模糊、错误，在书写“且”“或”“非”命题时常出现混淆、遗漏、错写等现象，总结起来主要有下面几种情况.
1. “且”和“或”混淆不清
例3 记[x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a]，若[x>y]，则实数[a、b]应满足的充要条件为 ．
错解 ∵[x-y=(a2b2+5)-(2ab-a2-4a)=(ab-][1)2+(a+2)2≥0]，若要[x>y]，则
[(ab-1)2+(a+2)2≠0⇒ab-1≠0a+2≠0⇒ab≠1a≠-2]，故实数[a,b]应满足的充要条件为[ab≠1且a≠-2]．
分析 上面解答过程中的“[(ab-1)2+(a+2)2][≠0⇒ab-1≠0a+2≠0⇒ab≠1a≠-2]”是错误的．实际上由[(ab-1)2+(a+2)2≠0]应该得到[ab≠1或a≠-2]．因此，若要[x>y]，实数[a、b]应满足的充要条件为[ab≠1或a≠-2]．
点评 “且”和“或”是两个截然不同的概念，比如点集[{(x,y)|x=1]或[y=2}]表示两条直线，而点集[{(x,y）|x=1]且[y=2]}则表示点[(1,2)]．
2. 命题简化的度把握不准
书写“且”“或”命题时能否简化要视具体情况而定，如果两个命题的条件相同或结论相同，书写“且”“或”命题时可以简化．如[p]：2是偶数，[q]：2是质数，“[p∧q]”形式的命题可以写成：2既是偶数又是质数，这里省略了一个命题的条件；又如[p]：内错角相等，两直线平行，[q]：同位角相等，两直线平行，“[p∨q]”形式的命题则可以写成：内错角相等或同位角相等，则两直线平行，它省略了一个命题的结论．但是如果简化过度的话，那就会使命题的意思发生改变．
例4 已知[p]：能被5整除的整数的个位数一定为5，[q]：能被5整除的整数的个位数一定为0．请写出“[p∨q]”形式的命题．
错解 能被5整除的整数的个位数一定为5或0．
分析 上面的写法有错误，我们可以用真值表来检验，易知[p]和[q]均是假命题，由真值表可以知道“[p∨q]”应该为假命题，但命题“能被5整除的整数的个位数一定为5或0”却为真命题．实际上，根据字面意思，命题[p]和[q]中的“一定”其实还含有“只有”的意思．因此，“[p∨q]”的正确写法为：能被5整除的整数的个位数一定只为5或一定只为0．
点评 书写“且”“或”命题时，一定要根据语境适度简化，既要把意思表达清楚，又不能改变题目的本意（检验的方法还是利用真值表）．
3. 书写“非”命题时不能准确理解题目的意思
例5 已知p：25的平方根是5，请写出¬[p]．
错解 ¬[p]： 25的平方根不是5．
分析 上述解法中¬[p]的写法不确切．事实上，命题[p]的意思是“25的平方根都是5”，当命题中含有“全…”“都…”时，命题的否定只需在其前面加一个“不”字即可，从而¬[p]应为“25的平方根不都是5”．
例6 已知[p]：梯形有一组对边平行，请写出¬[p].
错解 ¬[p]：梯形有一组对边不平行．
分析 我们易知命题[p]是真命题，则由真值表可知¬[p]应该是假命题，但错解中的¬[p]却是真命题，显然是错误的．其实命题[p]的关键词是“有”而不是“平行”，所以¬[p]应该对“有”进行否定．因此正确答案为：梯形没有一组对边平行．
4. “命题的否定”和“否命题”混淆不清
¬[p]是命题p的否定，它只是否定命题p的结论；否命题则既要否定条件又要否定结论．
例7 （1）若p：所有正方形都是平行四边形．请写出¬[p]；
（2）命题“若[a>b]，则[2a>2b-1]”的否命题为 ．
解析 第（1）题是命题的否定，只要否定结论即可. 我们关注的重点字眼是“都是”，于是¬[p]可以写成：所有正方形不都是平行四边形. 我们还可以根据命题的意思把¬[p]写成：存在一个正方形不是平行四边形．
第（2）题要求的是写出命题的否命题，这就要对命题的条件和结论同时进行否定，于是命题“若[a>b]，则[2a>2b-1]”的否命题为“若[a≤b]，则[2a≤2b-1]”．
点评 在书写命题的否定时，一定要准确把握命题的条件和结论，记住我们只是否定命题的结论，注意与命题的否命题加以区别．常见的关键词的否定如下：
[关键词\&一定\&都是\&都不是\&存在一个是\&至少[n]个\&否定\&不一定\&不都是\&至少一个是\&任意一个
都不是\&至多[n-1]个\&]
简单逻辑联结词学习起来并不简单，我们一定要特别注意两个方面：①根据语境把握准题目的意思；②适时利用真值表进行检验．
一、理解概念的关键点
1. 定义
（1）“且”（[p∧q]）
这里的“且”与生活中的“和”“并且”“以及”“既…，又…”意思相当，即要求两者必须同时成立．同时我们也可以联系必修1中有关集合的知识，可知“且”与集合的“交”是一致的．
（2）“或”（[p∨q]）
逻辑中的“或”与生活中的“或”还是有所区别的：生活中的“或”一般指二者必居其一但并不兼有，而逻辑用语中的“或”指二者取一或二者均有，它与集合的“并”是一致的．
（3）“非”（¬[p]）
“非”是对一个命题的全盘否定，它与集合的“补”一致．
2. 真值表
对“且”“或”“非”命题的真假关系，我们可以用下表来直观表达：
3. “且”“或”“非”命题的判定
（1）含有“且”“或”“非”字眼的命题并不一定是“且”“或”“非”命题．
例1 判断正误：
（1）命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”是“且”命题；
（2）命题“[x2-x-6=0的解是x=-2或x=3]”是“或”命题；
（3）命题“非零实数的零次幂等于1”是“非”命题．
答案 （1）错 （2）错 （3）错
分析 （1）粗看起来，这是一个“[p∧q]”形式的命题，理由似乎很充分：它含有逻辑联结词“且”．它到底是不是“且”命题呢？我们可以用上面的真值表来检验．记[p]：一组对边平行的四边形是平行四边形，[q]：一组对边相等的四边形是平行四边形．很显然，[p]和[q]都是假命题，由真值表可以知道“[p∧q]”也是假命题，但命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”却是一个真命题，于是出现了矛盾. 问题出在哪里呢？不难看出，原因就是该命题不是“[p∧q]”形式的命题．类似的还有“满足不等式[x2-x-6<0]的[x]的范围为[-2
（2）“[x2-x-6=0]的解是[x=-2]或[x=3]”也不是“或”命题．理由：记[p]：[x2-x-6=0]的解是[x=-2]，[q]：[x2-x-6=0]的解是[x=3]．这里的“解”实际上是“所有的解”的意思，很容易看出，[p]和[q]均是假命题，由真值表可以知道“[p∨q]”应该为假命题，而命题“[x2-x-6=0]的解是[x=-2]或[x=3]”却是真命题，又出现了矛盾，因此命题“[x2-x-6=0]的解是[x=-2]或[x=3]”也不是“或”命题．
（3）命题“非零实数的零次幂等于1”不是“非”命题．我们很容易看出，该命题虽然含有“非”字，但它却不是“非”命题．
点评 根据第（1）题的解析，我们可以总结一个规律：命题“同时具有[n1、n2、⋯、nk]性质的A是B”不是“[p∧q]”形式的命题．根据第（2）题的解析，我们也可以总结一个规律：命题“A的所有对象是[n1、n2、⋯、nk]”也不是“[p∨q]”形式的命题．
（2）不含“且”“或”“非”字眼的命题也可能是“且”“或”“非”命题．
例2 判断下列命题的形式：
（1）[2≤2]；
（2）有两个角为[45°]的三角形是等腰直角三角形．
解析 （1）命题“[2≤2]”是“[p∨q]”形式的命题，其中[p]：2=2，[q]：[2<2]；
（2）命题“有两个角为[45°]的三角形是等腰直角三角形”是“[p∧q]”形式的命题．其中[p]：有两个角为[45°]的三角形是等腰三角形，[q]：有两个角为[45°]的三角形是直角三角形．
点评 判断一个命题是否为“且”“或”“非”命题，不仅要看命题中是否含有“且”“或”“非”这些字眼，还要用真值表来检验．
二、学习过程中应注意的几个问题
部分同学由于理解上的模糊、错误，在书写“且”“或”“非”命题时常出现混淆、遗漏、错写等现象，总结起来主要有下面几种情况.
1. “且”和“或”混淆不清
例3 记[x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a]，若[x>y]，则实数[a、b]应满足的充要条件为 ．
错解 ∵[x-y=(a2b2+5)-(2ab-a2-4a)=(ab-][1)2+(a+2)2≥0]，若要[x>y]，则
[(ab-1)2+(a+2)2≠0⇒ab-1≠0a+2≠0⇒ab≠1a≠-2]，故实数[a,b]应满足的充要条件为[ab≠1且a≠-2]．
分析 上面解答过程中的“[(ab-1)2+(a+2)2][≠0⇒ab-1≠0a+2≠0⇒ab≠1a≠-2]”是错误的．实际上由[(ab-1)2+(a+2)2≠0]应该得到[ab≠1或a≠-2]．因此，若要[x>y]，实数[a、b]应满足的充要条件为[ab≠1或a≠-2]．
点评 “且”和“或”是两个截然不同的概念，比如点集[{(x,y)|x=1]或[y=2}]表示两条直线，而点集[{(x,y）|x=1]且[y=2]}则表示点[(1,2)]．
2. 命题简化的度把握不准
书写“且”“或”命题时能否简化要视具体情况而定，如果两个命题的条件相同或结论相同，书写“且”“或”命题时可以简化．如[p]：2是偶数，[q]：2是质数，“[p∧q]”形式的命题可以写成：2既是偶数又是质数，这里省略了一个命题的条件；又如[p]：内错角相等，两直线平行，[q]：同位角相等，两直线平行，“[p∨q]”形式的命题则可以写成：内错角相等或同位角相等，则两直线平行，它省略了一个命题的结论．但是如果简化过度的话，那就会使命题的意思发生改变．
例4 已知[p]：能被5整除的整数的个位数一定为5，[q]：能被5整除的整数的个位数一定为0．请写出“[p∨q]”形式的命题．
错解 能被5整除的整数的个位数一定为5或0．
分析 上面的写法有错误，我们可以用真值表来检验，易知[p]和[q]均是假命题，由真值表可以知道“[p∨q]”应该为假命题，但命题“能被5整除的整数的个位数一定为5或0”却为真命题．实际上，根据字面意思，命题[p]和[q]中的“一定”其实还含有“只有”的意思．因此，“[p∨q]”的正确写法为：能被5整除的整数的个位数一定只为5或一定只为0．
点评 书写“且”“或”命题时，一定要根据语境适度简化，既要把意思表达清楚，又不能改变题目的本意（检验的方法还是利用真值表）．
3. 书写“非”命题时不能准确理解题目的意思
例5 已知p：25的平方根是5，请写出¬[p]．
错解 ¬[p]： 25的平方根不是5．
分析 上述解法中¬[p]的写法不确切．事实上，命题[p]的意思是“25的平方根都是5”，当命题中含有“全…”“都…”时，命题的否定只需在其前面加一个“不”字即可，从而¬[p]应为“25的平方根不都是5”．
例6 已知[p]：梯形有一组对边平行，请写出¬[p].
错解 ¬[p]：梯形有一组对边不平行．
分析 我们易知命题[p]是真命题，则由真值表可知¬[p]应该是假命题，但错解中的¬[p]却是真命题，显然是错误的．其实命题[p]的关键词是“有”而不是“平行”，所以¬[p]应该对“有”进行否定．因此正确答案为：梯形没有一组对边平行．
4. “命题的否定”和“否命题”混淆不清
¬[p]是命题p的否定，它只是否定命题p的结论；否命题则既要否定条件又要否定结论．
例7 （1）若p：所有正方形都是平行四边形．请写出¬[p]；
（2）命题“若[a>b]，则[2a>2b-1]”的否命题为 ．
解析 第（1）题是命题的否定，只要否定结论即可. 我们关注的重点字眼是“都是”，于是¬[p]可以写成：所有正方形不都是平行四边形. 我们还可以根据命题的意思把¬[p]写成：存在一个正方形不是平行四边形．
第（2）题要求的是写出命题的否命题，这就要对命题的条件和结论同时进行否定，于是命题“若[a>b]，则[2a>2b-1]”的否命题为“若[a≤b]，则[2a≤2b-1]”．
点评 在书写命题的否定时，一定要准确把握命题的条件和结论，记住我们只是否定命题的结论，注意与命题的否命题加以区别．常见的关键词的否定如下：
[关键词\&一定\&都是\&都不是\&存在一个是\&至少[n]个\&否定\&不一定\&不都是\&至少一个是\&任意一个
都不是\&至多[n-1]个\&]
简单逻辑联结词学习起来并不简单，我们一定要特别注意两个方面：①根据语境把握准题目的意思；②适时利用真值表进行检验．