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【摘要】《有余数的除法》是二年级上学期学过的《表内除法》的后续和扩展，这两部分内容是相互联系的，它们具有互补性，也是今后继续学习多位数除法和小数除法的基础，具有承上启下的作用。教学中，应让学生在动手操作中感知“余数”的产生，在自我探究中把问题符号化、表征化，通过自己的努力发现问题、解决问题，并切身感受到“余数比除数小”这一结论的合理性，从而自主构建新的知识体系。
【关键词】操作 有余数 合理
一、操作中感悟、认识到“平均分有时会有剩余”
1.回顾旧知：把一些物体平均分用除法计算
师：请同学们先把10支铅笔分给小朋友，每人分2支，可以分给几人？在小组里摆一摆。
（1）说一说你是怎样摆的。
（2）能把摆的过程用算式表示出来吗？
10 2=5（人）。
师：这个算式是什么意思？
引导学生说出各个数字在除法算式里的名称及读法。
2.承上启下：平均分后，有时会有剩余
师：如果把10支铅笔分给小朋友，每人分3支、4支、5支，可以分给几人呢？请同学们摆一摆，并小组交流：
（1）仔细观察，你发现了什么？
（2）能把你的想法用算式表示出来吗？
生1：10 3=3人余1支。
生2：10 4=2人余2支。
生3：10 5=2（人）。
笔者接着引导学生：“这里的数是有单位的，规范算式的写法：10 3=3（人）……1（支），这种写法既简单又美观。”
师：谁来说说这个算式表示的意思？
通过自己动手分铅笔，学生们很容易理解这个算式表示的意思。从刚才的操作过程中，我们还抽象出一组算式，填写在表格内。
3.感悟认识：初步认识有余数除法的意义
师：同学们，今天我们分了2次铅笔，在这2次分配过程中有什么相同的地方，又有什么不同的地方呢？先小组同学讨论，再回答。
观察表格中的这些算式，引导学生自己做总结：“平均分”会出现两种情况，一种是“没有剩余”，比如：10 2=5，10 5=2;另一种是“有剩余”，比如：10 3=3……1，10 4=2……2，不够分的那部分就是余数，“余数”这个概念的揭示就水到渠成了。
反思：教学中，笔者首先通过“将10支铅笔平均分，每人分2支、3支、4支、5支，可以怎么分”的操作，让学生在分东西的过程中形成：无论是按每几个一份去分，还是平均分成几份，都会出现“正好分完”和“有剩余”两种情况。接着在这样的图像表征中逐步建立“余数”“有余数除法”的概念，引入有余数的除法，同时揭示“有余数的除法”算式，以及“余数”的概念。然后是有余数的除法横式和没有余数（表内）除法的横式的对比，通过结合操作过程让学生在对比中，理解有余数的除法的横式中各部分的名称，以及每个数表示的含义。通过这样的对比，不仅可以唤起学生已有的知识经验，加深学生对有余数除法的理解，还可以使学生感受到知识之间的联系，实现对原有认知结构的扩展，为建构合理的知识结构提供有力的支撑。
二、操作中比较、归纳出“余数都比除数小”
1.列式填表：不同情况的平均分会怎样
师：刚刚我们是把10支铅笔平均分的，现在我们再试一试其他情况。我们知道，4根小棒摆1个正方形，8根小棒可以摆2个，像这样用12、13、14、15、16根小棒摆正方形，结果会怎样？
师：如果用17根小棒去摆，会得到怎样一道算式呢？出现了这样两种情况：
2.比较归纳：余数都比除数小
师：你觉得哪道算式正确？为什么？在小组内交流一下。
通过交流，大家形成了统一的见解，“17 4=4（个）……1（根）”这道算式是正确的，他们认为：
生1：如果余5根，我们就可以再摆1个正方形了，所以余数不可能是5。
生2：17 4，最大可以商4，四四十六，所以应该是17 4=4（个）……1（根）。
生3：我们可以观察前面已经得到的算式，会发现余数只有1、2、3这三种情况，也就是余数都会比除数小。
师：为什么“余数都比除数小”呢？
生：除数是4，如果余下的数又满4根，表示剩下的小棒中还够摆一个正方形，那就没有分完，要繼续摆下去，直到不够摆为止，那么余下的数只可能比4小。所以在有余数的除法里，余数都比除数小。
反思：在教学中，我们要从学生已有的生活经验和数学知识入手，在具体的生活情境中去理解数学知识，利用具体、直观、形象的活动材料，变知识传授为学生动手探究，让学生经历把生活问题“数学化”的过程，在操作、观察、猜测和归纳等活动中，不断丰富学生的表象，不断增强学生的感性认识，在相互交流、比较、吸引的基础上逐步抽象出数学知识，形成学生的认知。在操作中得出一组算式，是顺理成章的。重要的是接下来的观察、比较活动，“余数为什么都比除数小？”这个结论不是教师强加给学生的，而是学生在自己的操作中观察、思考、交流，有效地把握生成资源得出的结论，因此这个结论是“合理”的。在活泼、有序和高效的课堂中，让学生在师生、生生互动中进一步辨清概念、理清思路，由原有的“一”个问题，再看到了引发的“众”多问题，找到它们的相同之处，在自然而然中掌握了新知，突破了难点。
总评：对“余数的认识”“有余数除法算式的认识”以及“余数都比除数小”这一难点的理解，都是利用直观操作完成的，从直观的操作到符号的表征，让学生从多方面、多角度去理解所学的知识，并在过程中顺利实现“操作过程、语言表达和符号表征”之间的联结，从而达到学生对数学概念的真正理解。因此，我们在教学中应丰富感性材料，让学生在具体的情境中去体验、去感悟，形成概括性的认识。在学生初步建立概念的过程中，往往需要大量的事实来做支持。本节课中笔者通过大量的操作活动，学生感悟、体验出“平均分”时，如果没有正好全部分完，就可以用“有余数的除法”来表示，“什么是余数、什么样的算式是有余数的除法算式”合理生成。接着继续在学生喜爱的操作活动中，比较、归纳出“余数都比除数小”这一结论。虽然在摆的过程和学生的交流中，课堂秩序有点难以把控，但我们只要合理分工、有序操作，学生的自主创造、自由发展就会有很大的提升。活动中，学生们经历了由具体现象归纳出数学概念的过程，又经历了利用具体实例说明数学结论的过程，使学生既获得了数学知识，又增长了学习智慧。
为学生提供更多的操作、探索的平台，使学生面对数学问题时，能用自己的亲身实践去感受、去体验，从而归纳出数学的奥秘，这是每一位数学教师都应积极努力去做的一件事。
【关键词】操作 有余数 合理
一、操作中感悟、认识到“平均分有时会有剩余”
1.回顾旧知：把一些物体平均分用除法计算
师：请同学们先把10支铅笔分给小朋友，每人分2支，可以分给几人？在小组里摆一摆。
（1）说一说你是怎样摆的。
（2）能把摆的过程用算式表示出来吗？
10 2=5（人）。
师：这个算式是什么意思？
引导学生说出各个数字在除法算式里的名称及读法。
2.承上启下：平均分后，有时会有剩余
师：如果把10支铅笔分给小朋友，每人分3支、4支、5支，可以分给几人呢？请同学们摆一摆，并小组交流：
（1）仔细观察，你发现了什么？
（2）能把你的想法用算式表示出来吗？
生1：10 3=3人余1支。
生2：10 4=2人余2支。
生3：10 5=2（人）。
笔者接着引导学生：“这里的数是有单位的，规范算式的写法：10 3=3（人）……1（支），这种写法既简单又美观。”
师：谁来说说这个算式表示的意思？
通过自己动手分铅笔，学生们很容易理解这个算式表示的意思。从刚才的操作过程中，我们还抽象出一组算式，填写在表格内。
3.感悟认识：初步认识有余数除法的意义
师：同学们，今天我们分了2次铅笔，在这2次分配过程中有什么相同的地方，又有什么不同的地方呢？先小组同学讨论，再回答。
观察表格中的这些算式，引导学生自己做总结：“平均分”会出现两种情况，一种是“没有剩余”，比如：10 2=5，10 5=2;另一种是“有剩余”，比如：10 3=3……1，10 4=2……2，不够分的那部分就是余数，“余数”这个概念的揭示就水到渠成了。
反思：教学中，笔者首先通过“将10支铅笔平均分，每人分2支、3支、4支、5支，可以怎么分”的操作，让学生在分东西的过程中形成：无论是按每几个一份去分，还是平均分成几份，都会出现“正好分完”和“有剩余”两种情况。接着在这样的图像表征中逐步建立“余数”“有余数除法”的概念，引入有余数的除法，同时揭示“有余数的除法”算式，以及“余数”的概念。然后是有余数的除法横式和没有余数（表内）除法的横式的对比，通过结合操作过程让学生在对比中，理解有余数的除法的横式中各部分的名称，以及每个数表示的含义。通过这样的对比，不仅可以唤起学生已有的知识经验，加深学生对有余数除法的理解，还可以使学生感受到知识之间的联系，实现对原有认知结构的扩展，为建构合理的知识结构提供有力的支撑。
二、操作中比较、归纳出“余数都比除数小”
1.列式填表：不同情况的平均分会怎样
师：刚刚我们是把10支铅笔平均分的，现在我们再试一试其他情况。我们知道，4根小棒摆1个正方形，8根小棒可以摆2个，像这样用12、13、14、15、16根小棒摆正方形，结果会怎样？
师：如果用17根小棒去摆，会得到怎样一道算式呢？出现了这样两种情况：
2.比较归纳：余数都比除数小
师：你觉得哪道算式正确？为什么？在小组内交流一下。
通过交流，大家形成了统一的见解，“17 4=4（个）……1（根）”这道算式是正确的，他们认为：
生1：如果余5根，我们就可以再摆1个正方形了，所以余数不可能是5。
生2：17 4，最大可以商4，四四十六，所以应该是17 4=4（个）……1（根）。
生3：我们可以观察前面已经得到的算式，会发现余数只有1、2、3这三种情况，也就是余数都会比除数小。
师：为什么“余数都比除数小”呢？
生：除数是4，如果余下的数又满4根，表示剩下的小棒中还够摆一个正方形，那就没有分完，要繼续摆下去，直到不够摆为止，那么余下的数只可能比4小。所以在有余数的除法里，余数都比除数小。
反思：在教学中，我们要从学生已有的生活经验和数学知识入手，在具体的生活情境中去理解数学知识，利用具体、直观、形象的活动材料，变知识传授为学生动手探究，让学生经历把生活问题“数学化”的过程，在操作、观察、猜测和归纳等活动中，不断丰富学生的表象，不断增强学生的感性认识，在相互交流、比较、吸引的基础上逐步抽象出数学知识，形成学生的认知。在操作中得出一组算式，是顺理成章的。重要的是接下来的观察、比较活动，“余数为什么都比除数小？”这个结论不是教师强加给学生的，而是学生在自己的操作中观察、思考、交流，有效地把握生成资源得出的结论，因此这个结论是“合理”的。在活泼、有序和高效的课堂中，让学生在师生、生生互动中进一步辨清概念、理清思路，由原有的“一”个问题，再看到了引发的“众”多问题，找到它们的相同之处，在自然而然中掌握了新知，突破了难点。
总评：对“余数的认识”“有余数除法算式的认识”以及“余数都比除数小”这一难点的理解，都是利用直观操作完成的，从直观的操作到符号的表征，让学生从多方面、多角度去理解所学的知识，并在过程中顺利实现“操作过程、语言表达和符号表征”之间的联结，从而达到学生对数学概念的真正理解。因此，我们在教学中应丰富感性材料，让学生在具体的情境中去体验、去感悟，形成概括性的认识。在学生初步建立概念的过程中，往往需要大量的事实来做支持。本节课中笔者通过大量的操作活动，学生感悟、体验出“平均分”时，如果没有正好全部分完，就可以用“有余数的除法”来表示，“什么是余数、什么样的算式是有余数的除法算式”合理生成。接着继续在学生喜爱的操作活动中，比较、归纳出“余数都比除数小”这一结论。虽然在摆的过程和学生的交流中，课堂秩序有点难以把控，但我们只要合理分工、有序操作，学生的自主创造、自由发展就会有很大的提升。活动中，学生们经历了由具体现象归纳出数学概念的过程，又经历了利用具体实例说明数学结论的过程，使学生既获得了数学知识，又增长了学习智慧。
为学生提供更多的操作、探索的平台，使学生面对数学问题时，能用自己的亲身实践去感受、去体验，从而归纳出数学的奥秘，这是每一位数学教师都应积极努力去做的一件事。