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数学思维能力,就是在数学思维活动中,直接影响着该活动的效率,使活动得以顺利完成的个体的稳定的心理特征。思维能力是一切智能活动的核心。它与其他的一些能力,如观察能力、理解能力、想象能力、记忆能力、语言表达能力等都是紧密联系的。提高思维能力的过程,实际上是以思维能力为中心,诸能力互相促进、共同发展的过程. 在数学中,"客观事物的一般特性和规律"是指现实世界的空间形式与数量的本质规律。因此,数学思维就是通过发现问题、解决问题的形式,对现实世界的空间形式和数量关系本质进行概括性认识的过程。下面谈谈如何通过问题解决来培养学生的数学思维,让学生在解决问题的过程中形成数学思维能力。
一、精选例题
有些老师上课喜欢搞题海战,一味的让学生多做题。我提倡的问题解决不是要搞题海战,而是要精选题、精讲题,题不在多,在于精。这就要求老师课前充分备课,所选例题一定要典型。一定要问自己选这道题目是为了哪个知识点,准备培养学生一种什么样的思维能力,做到心中有数。时刻铭记我们让学生做题的目的是教给学生知识,最重要的还是要培养学生的思维能力。
通过 例题的层层推进,既让学生知道了一元二次函数在给定区间的最大值和最小值和对称轴有关,又让学生体会了数学中分析和讨论问题的方法。培养了学生分析问题的严谨性。
二、创设问题情境
问题解决除了选题之外,还要求能吸引学生参与进来,只有学生参与了思考才能起到培养学生思维的作用。怎么来吸引学生的参与呢?
从生活情境入手,或者从数学基础知识出发,把需要解决的问题有意识地、巧妙地寓于符合学生实际的基础知识之中,把学生引入一种与问题有关的情境之中,激发学生的探究兴趣和求知欲。应为数学本身就来源于生活,从生活中来还应回到生活中去。
比如数列求和中从现实生活中入手学生思考的积极性大大的提高了。
例 某人年初向建设银行贷款10万元用于买房。
(一)如果他向建设银行贷款, 年利率为5%, 且这笔借款分10次等额归还(不计复利), 每年一次, 并从借后次年年初开始归还, 问每年应还多少元(精确到1元)?
(二)如果他向工商银行贷款, 年利率为4%, 要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息), 仍分10次等额归还, 每年一次, 每年应还多少元(精确到1元)?
解:(1) 若向建设银行贷款, 设每年还款元, 则
105×(1+10×5%)=(1+9×5%)+(1+8×5%)+(1+7×5%)+ …+, 105×1.5 = 10 + 45×0.05,
解得 (元)
(2)若向工商银行贷款, 设每年还款元, 则
105×(1+4%)10 =(1+4%)9 +(1+4%)8 +(1+4%)7 + … +
(元)
答: 若向建设银行贷款, 每年需还12245元; 若向工商银行贷款, 每年需还12330元。
三、尝试引导
学生在尝试进行问题解决的过程中,常常难以把握问题解决的思维方向,难以建立起新旧知识间的联系,难以判断知识运用是否正确、方法选择是否有效、问题的解是否准确等,这时千万不要急于把方法直接告诉学生,要注意进行启发引导。
四、自主解决
让学生学会并形成问题解决的思维方法,需要让学生反复经历多次的"自主解决"过程,这就需要教师把数学思想方法的培养作为长期的任务,在课堂教学中加强这方面的培养意识。切忌在课堂上包办包揽,生怕学生不会,翻来覆去的将,应该大胆放心的让学生自己去解决,对于比较简单的问题,可以让学生独立完成,使学生体会到运用数学思想方法解决问题的快乐。对于有一定难度的问题,应该让学生有充足的时间独立思考,再进行尝试解决。对于思维力度较大的问题,应在学生独立思考、小组讨论和全班交流的基础上,通过合作共同解决。
五、养成总结的习惯
问题解决后不要就此罢休,应乘胜追击。鼓励学生对问题进行总结,由一道题做法总结出一类题的方法;由方法上升到平时处理问题的习惯;由平时的习惯成为一种数学思维。这样才达到了我们处理这道题目的目的。
例1设实数满足,则的最大值是,表示两点(0,0),()的斜率,作出不等式组表示的平面区域即△及其内部,由图形可得的斜率最大,可求得A(1, )=,
例2已知 ,则的最小值是____。
表示直线上动点()到点(1,1)的距离,的最小值就是点(1,1)到直线的距离,可求得 。
例3已知实数满足 =||,则点()所对应的轨迹为( )(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线。在复习圆锥曲线时,我拿出这个问题后,学生一着手就简化方程,化简了半天还看不出结果就再找自己运算中的错误(怀疑自己算错),而不去仔细研究此式的结构=|| / 进而可以看出点到点(1,3)及直线的距离相等,从而其轨迹为抛物线。
让学生自己去总结规律然后交流心得,既掌握了解题方法又感受到数学中的转化思想。总结的过程中加深了对转化思想的认识。
问题解决能力的培养为学生学习数学知识提供动力,而系统的数学知识体系为问题的解决提供保障。同时在问题解决的过程中培养了学生的数学思维能力。
一、精选例题
有些老师上课喜欢搞题海战,一味的让学生多做题。我提倡的问题解决不是要搞题海战,而是要精选题、精讲题,题不在多,在于精。这就要求老师课前充分备课,所选例题一定要典型。一定要问自己选这道题目是为了哪个知识点,准备培养学生一种什么样的思维能力,做到心中有数。时刻铭记我们让学生做题的目的是教给学生知识,最重要的还是要培养学生的思维能力。
通过 例题的层层推进,既让学生知道了一元二次函数在给定区间的最大值和最小值和对称轴有关,又让学生体会了数学中分析和讨论问题的方法。培养了学生分析问题的严谨性。
二、创设问题情境
问题解决除了选题之外,还要求能吸引学生参与进来,只有学生参与了思考才能起到培养学生思维的作用。怎么来吸引学生的参与呢?
从生活情境入手,或者从数学基础知识出发,把需要解决的问题有意识地、巧妙地寓于符合学生实际的基础知识之中,把学生引入一种与问题有关的情境之中,激发学生的探究兴趣和求知欲。应为数学本身就来源于生活,从生活中来还应回到生活中去。
比如数列求和中从现实生活中入手学生思考的积极性大大的提高了。
例 某人年初向建设银行贷款10万元用于买房。
(一)如果他向建设银行贷款, 年利率为5%, 且这笔借款分10次等额归还(不计复利), 每年一次, 并从借后次年年初开始归还, 问每年应还多少元(精确到1元)?
(二)如果他向工商银行贷款, 年利率为4%, 要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息), 仍分10次等额归还, 每年一次, 每年应还多少元(精确到1元)?
解:(1) 若向建设银行贷款, 设每年还款元, 则
105×(1+10×5%)=(1+9×5%)+(1+8×5%)+(1+7×5%)+ …+, 105×1.5 = 10 + 45×0.05,
解得 (元)
(2)若向工商银行贷款, 设每年还款元, 则
105×(1+4%)10 =(1+4%)9 +(1+4%)8 +(1+4%)7 + … +
(元)
答: 若向建设银行贷款, 每年需还12245元; 若向工商银行贷款, 每年需还12330元。
三、尝试引导
学生在尝试进行问题解决的过程中,常常难以把握问题解决的思维方向,难以建立起新旧知识间的联系,难以判断知识运用是否正确、方法选择是否有效、问题的解是否准确等,这时千万不要急于把方法直接告诉学生,要注意进行启发引导。
四、自主解决
让学生学会并形成问题解决的思维方法,需要让学生反复经历多次的"自主解决"过程,这就需要教师把数学思想方法的培养作为长期的任务,在课堂教学中加强这方面的培养意识。切忌在课堂上包办包揽,生怕学生不会,翻来覆去的将,应该大胆放心的让学生自己去解决,对于比较简单的问题,可以让学生独立完成,使学生体会到运用数学思想方法解决问题的快乐。对于有一定难度的问题,应该让学生有充足的时间独立思考,再进行尝试解决。对于思维力度较大的问题,应在学生独立思考、小组讨论和全班交流的基础上,通过合作共同解决。
五、养成总结的习惯
问题解决后不要就此罢休,应乘胜追击。鼓励学生对问题进行总结,由一道题做法总结出一类题的方法;由方法上升到平时处理问题的习惯;由平时的习惯成为一种数学思维。这样才达到了我们处理这道题目的目的。
例1设实数满足,则的最大值是,表示两点(0,0),()的斜率,作出不等式组表示的平面区域即△及其内部,由图形可得的斜率最大,可求得A(1, )=,
例2已知 ,则的最小值是____。
表示直线上动点()到点(1,1)的距离,的最小值就是点(1,1)到直线的距离,可求得 。
例3已知实数满足 =||,则点()所对应的轨迹为( )(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线。在复习圆锥曲线时,我拿出这个问题后,学生一着手就简化方程,化简了半天还看不出结果就再找自己运算中的错误(怀疑自己算错),而不去仔细研究此式的结构=|| / 进而可以看出点到点(1,3)及直线的距离相等,从而其轨迹为抛物线。
让学生自己去总结规律然后交流心得,既掌握了解题方法又感受到数学中的转化思想。总结的过程中加深了对转化思想的认识。
问题解决能力的培养为学生学习数学知识提供动力,而系统的数学知识体系为问题的解决提供保障。同时在问题解决的过程中培养了学生的数学思维能力。