论文部分内容阅读
如果单从形式上进行分析，分数的认识应当说与自然数和小数的认识十分类似，从而似乎也不会有特别的困难；但任一稍有教学经验的数学教师都知道，这又正是小学数学教学最困难的论题之一。例如，有评论者就曾针对“单位，让分数更好玩”这样一个论题发出如下的感叹：“在我的印象中，小学时学分数并没有好玩的感受，有的是‘要命’的感受。”（彭刚）
进一步说，这显然也是现行各种小学数学教材中何以将“分数的认识”分成“初步认识”与“再认识”这样两个部分的主要原因。但从研究的角度看，这恰又为我们提出了一些值得深入思考的问题：分段进行“认识分数”的教学是否真有道理？什么又是进行区分的主要依据，包括不同阶段的主要区别与联系，特别是我们究竟应当如何去理解这里所说的“初步认识”与“再认识”的具体含义？
进而，即使未作深入的思考，相信大多數读者面对上述问题也一定会想到这样一个事实，即分数意义的多样性。从而，这也就是我们应当深入思考的又一重要问题：在分数的教学中我们应当如何去处理所说的“多”与“一”之间的关系？
笔者在此强调，这是国际教育界关于教师工作的一个新定位：“作为研究者的教师”。因为只有通过积极的教学研究我们才能更有效地促进自身的专业成长，包括不断改进自己的教学，而不是始终处于被动地向别人学习乃至纯粹的“被运动”的地位。又由于这正是一切真正的研究工作的共同特点，即以“问题”作为直接出发点，因此，这也就是一线教师如何通过积极的教学研究促进自身的专业成长，包括切实改进教学工作最重要的一个环节，我们应当切实增强自身的问题意识，通过立足实际教学工作发现值得深入研究的问题。
以下就围绕上面所提到的各个问题对我们应当如何从事分数的教学做出具体分析。1
具体地说，我们在此不妨首先思考：你会如何去回答“什么是分数”这样一个问题，特别是究竟何者又可被看成“分数的数学本质”？更进一步说，我们显然还可就同一问题做点调查，即以已接触过分数的学生为对象具体地去调查他们对于分数的认识，特别是不同年级的学生对于“什么是分数”的看法是否有很大不同？后者又是否可以被看成认识不断深入的具体表现？
在此还可提及这样一个常见的做法，即面对“什么是分数”这样一个问题人们往往会通过查阅一些相关的论著，特别是著名专家的论述去发现解答。但是，这又正是笔者在这方面的一个具体建议：为了促进自身的专业成长，包括切实改进自己的教学，我们在任何时候都应坚持自己的独立思考，而不应盲目地去追随各种理论观点，尽管后者也为我们深入开展相关的研究提供了重要背景。当然，这事实上也应被看成一线教师开展教学研究的一个重要方面，即我们应通过积极的教学实践与认真的总结和反思对各种相关的理论思想，包括自身在这方面的认识，做出必要的检验和发展。
由以下事实读者即可更好地理解明确倡导后—立场的重要性：相关专家关于分数的论述并非完全一致，有些甚至还可使问题变得更加复杂、更加难以理解。例如，作为对于某个关于分数的实际课例的“名家点评”，就有专家指出：“在小学阶段，只要从‘算术’角度学习分数，不管学习什么，怎么学习，都是失败。所以，在小学高年级学习分数，凡是从算术的角度进行的，教学法上没有好坏之分，因为根本不应该从算术角度学习！应该从代数的角度学习分数。”再如，以下的论述显然也可被看成后一方面的又一实例：“分数的本质在于它的无量纲性”“在现实生活中，对于处理分数的加法，有时候需要分子加分子、分母加分母。”
总之，与刻意地去寻找某种现成的解答相对照，笔者以为，我们应更加重视如何能够依据自身的经验做出必要的总结与进一步的研究。例如，我们可以借助多个不同方法去引入分数，给出分数的多个不同定义。如由“平均分”去引入分数（这也就是通常所谓的“份数定义”）；强调分数主要表示“整体与部分之间关系”，或是“两个量之间的关系”（这大致相当于分数的“比的定义”）；由“度量”去引入分数；或是认为应当突出分数的“商的定义”（这应当说与上面所提到的“作为代数概念的分数”较为接近。当然，后者所强调的又主要是这样一点：我们应当从纯形式的角度去从事分数的研究，特别是人们之所以要引入分数主要就是为了保证除法的通行无阻，即所谓的“封闭性”）；等等。
当然，真正的研究工作不应停留于简单的列举，而是应当对此做出进一步的梳理与分析。例如，容易想到的是，上面所提到的前三种理解显然就具有重要的内在联系，并清楚地体现了认识的不断深化，由“平构分”这样的操作性理解过渡到了“量与量之间的关系”，后者已超出“部分与整体之间的关系”并获得了更普遍的意义，包括同类的量与不同类的量的比较。
上述的发展过程事实上也正是现行教材中三年级关于分数学习的主要内容，从而我们也就可以按照所说的思路去从事相应的教学设计。例如，由于所说的发展即是抽象水平不断提高的一个过程，因此，我们就可依据所谓的“变式理论”（特别是“概念变式”）去进行具体的教学设计。（可详见另文“理论视角下的小学数学教学——案例三则”，《小学教学》，2007年第7期）
再则，依据所说的分析我们也可对前面所提到的关于分数的多种不同理解做出如下概括，主要包括这样两种不同的含义：（1）量与量之间的关系；（2）与自然数、小数一样，分数也应被看成一个数，一种新的数。容易想到的是，后者就正是现行教材中五年级分数学习的主要目标，特别是无论就“单位1”或是“分数单位”的引入而言，都是为了很好地实现这样一个目标。
另外，我们应将所有的分数与自然数和小数一起看成同一数系的成员，在彼此之间更存有十分重要的内在联系，如大小关系与运算关系等。于是，我们显然也只有从后一角度去进行分析才能具体地谈及相关数系对于某一运算（如减法或除法）的封闭性。
再者，从同一角度去分析，我们也就容易理解这样一个主张，可以借助度量去引出分数；又由于这一做法与自然数与小数的引入十分一致，从而也就更为清楚地表明它们的内在一致性，特别是这样一个总体性的思想：“数起源于数，量起源于量。”（这方面的一个具体教学设计可见华应龙的《我不只是数学》，中国人民大学出版社，2018，[例8]） 但就分数的认识而言，应当说仍然存在这样一个问题：就上述两种理解而言，后者应当说更加重要乃至可以被看成更好地体现了分数的“数学本质”。进而，在教学中我们又是否应当特别重视如何能够帮助学生很好地实现由原先的“多”向所说的“一”的重要转变？
由于现行的教材普遍采取了分段教学这样一个做法，并将所说的两种理解分别安排于三年级和五年级，因此，面对上述问题人们很容易得出这样一个结论：“分数是一个数”更好地体现了分数的数学本质。这一说法也许有一定道理，但是从研究的角度看，我们并不应将数学上的逻辑次序简单地等同于学生的认识顺序。更一般地说，我们则应当更深入地去思考：所说的安排究竟有什么优越性与不足之处，我们又应如何去进行教学才能尽可能地减小所说的局限性？再者，我们又应如何帮助学生很好地实现由分数的多种意义向单一意义的转变？
在此笔者再次强调这样一点，与唯一地去强调某种现成的解答相比较，我们应当采取更加开放的态度，即应当通过积极的探索与深入研究去发现可能的解答。由以下分析读者即可更好地理解采取这一立场的合理性。
所说的两种不同意义事实上在自然数的学习过程中也有同样的表现，只不过出现的次序恰好相反，后者即是指自然数的学习而言，我们首先强调的是“自然数是一个数”这样一个认识，然后，只是作为自然数概念的应用，我们才又帮助学生逐步建立起了这样的认识：我们也可用自然数表示两个数（量）之间的关系，这也就是所谓的“倍数关系”，因为后者无非就是将两个数中较小的那个数看成新的比较单位，即“相对意义上的1”。
那么，我们是否就可因此而认定将“自然数看成一个数”相对于“用自然数表示两个数之间的关系”是更为基本的一个认识。这是否又应被看成学生认识发展更为合理的一个顺序，即首先帮助学生建立“自然数是一个数”这样一个认识，然后，只是在学生较好地掌握了乘法运算以后，再帮助学生认识自然数的概念也可用以表示两个数之间的（倍数）关系。當然，就我们目前的论题而言，似乎又可因此而引出这样一个推论：我们应当将现有教材中关于分数学习的安排次序完全颠倒过来。
显然，绝对地肯定上述想法也是过于武断的，毋宁说，这更为清楚地表明用“研究的精神从事教学”的重要性，特别是上述分析事实上可以被看成为我们积极地开展教学研究（包括教材建设）指明了一个重要方向。更一般地说，这也就是指，相对于任一独断性的结论而言，我们应当更加强调思维的开放性，并应通过积极的教学实践与深入研究去发现正确的解答。
以下就是这方面的三个具体建议，希望能有助于广大教师深入思考与积极研究。
第一，无论就自然数或是分数的认识而言，相对于片面地强调某种单一性的观点而言，我们应当更加提倡认识的多元性，特别是更应被看成是这方面十分重要的一个认识，即“比较（或度量）单位”的相对性，也是由绝对的“1”向相对的“1”的过渡。
值得指出的是，这事实上也可被看成所谓的“多元表征理论”（其对于“单一表征理论”的取代正是学习心理学研究现代发展的一个重要特征。可详见另文“多元表征理论与概念教学”，《小学数学教育》，2011年第10期）给予我们的一个重要启示：为了帮助学生更好地理解各个数学概念，我们事实上不应唯一地强调其数学本质，而是应当帮助学生从各个方面去进行理解，如现实意义、直观动作、空间图形、语言表述等，包括这些方面的适当转换与必要整合。
另外，如果说这正是数学教学的主要目标，我们应当通过数学教学努力促进学生思维的发展，特别是不断提升思维的品质，那么，这显然也就是强调同一数学概念的不同侧面乃至不同意义之间的联系与转化的一个重要意义。这不仅有利于学生更好地掌握相关概念，也十分有益于提升其思维的灵活性和综合性。
第二，从同一角度去分析，我们也可更清楚地看出“用全局观念指导教学”的重要性，特别是我们应将“分数的认识”与“自然数（与小数）的认识”联系起来加以分析思考，包括通过自然数的教学为学生将来学习分数做好必要的准备。
例如，这显然就是这方面的一个基本事实：就两个数的比较而言，我们既可以用较小的数作为比较单位，即将较大的数表示成较小的数的若干倍，也可将较大的数用作比较单位——这时，分数的引入也就十分自然了。由此可见，如果我们能通过自然数的教学确实帮助学生初步地建立起“比较单位的相对性”这样一个认识，就可以为他们将来学习分数创造更好的条件。当然，随着分数学习的深入，我们又应十分重视如何能够帮助学生更清楚地认识“倍比关系”的一致性。（对此可见另著《小学数学教育的理论与实践》，华东师范大学出版社，2017，第一章，[例6]）最后，这显然也是这方面认识的又一重要发展，即除去同类量的比较以外，我们也可将分数用于不同类的量的比较。
第三，从思维的角度进行分析，我们又应特别重视分数认识过程中所包含的这样一种思维形式：“凝聚”，即由“过程”向“对象”的过渡或转变。具体地说，后者就直接关系到了分数的“商的定义”，我们如何将分析的着眼点由实际从事相关的运算转向相应的结果，即将后者直接看成一个数，一个真正的数。（应当指出，所说的转变也可被看成对于“通过度量引入分数”的直接超越，因为，我们在此已不再关注如何能够借助所谓的“分数单位”去把握分数的意义）又由于 “凝聚”这一思维形式对于算术与代数的学习具有特别的重要性（可详见另著《数学思维与小学数学》，江苏教育出版社，2008，第3.1节），因此，这也就十分清楚地表明分数教学的又一重要意义，或者说，我们应将帮助学生更好地适应这样一种思维方式看成分数教学的又一重点。
最后，应当再次强调的是，相对于各个具体结论而言，我们应当更加重视思维的开放性，并应围绕问题积极地去开展教学研究，包括自觉的教学实践与认真的总结反思。显然，后者事实上也正是这里所说的“研究精神”的核心所在。
（南京大学哲学系 210093）
进一步说，这显然也是现行各种小学数学教材中何以将“分数的认识”分成“初步认识”与“再认识”这样两个部分的主要原因。但从研究的角度看，这恰又为我们提出了一些值得深入思考的问题：分段进行“认识分数”的教学是否真有道理？什么又是进行区分的主要依据，包括不同阶段的主要区别与联系，特别是我们究竟应当如何去理解这里所说的“初步认识”与“再认识”的具体含义？
进而，即使未作深入的思考，相信大多數读者面对上述问题也一定会想到这样一个事实，即分数意义的多样性。从而，这也就是我们应当深入思考的又一重要问题：在分数的教学中我们应当如何去处理所说的“多”与“一”之间的关系？
笔者在此强调，这是国际教育界关于教师工作的一个新定位：“作为研究者的教师”。因为只有通过积极的教学研究我们才能更有效地促进自身的专业成长，包括不断改进自己的教学，而不是始终处于被动地向别人学习乃至纯粹的“被运动”的地位。又由于这正是一切真正的研究工作的共同特点，即以“问题”作为直接出发点，因此，这也就是一线教师如何通过积极的教学研究促进自身的专业成长，包括切实改进教学工作最重要的一个环节，我们应当切实增强自身的问题意识，通过立足实际教学工作发现值得深入研究的问题。
以下就围绕上面所提到的各个问题对我们应当如何从事分数的教学做出具体分析。1
具体地说，我们在此不妨首先思考：你会如何去回答“什么是分数”这样一个问题，特别是究竟何者又可被看成“分数的数学本质”？更进一步说，我们显然还可就同一问题做点调查，即以已接触过分数的学生为对象具体地去调查他们对于分数的认识，特别是不同年级的学生对于“什么是分数”的看法是否有很大不同？后者又是否可以被看成认识不断深入的具体表现？
在此还可提及这样一个常见的做法，即面对“什么是分数”这样一个问题人们往往会通过查阅一些相关的论著，特别是著名专家的论述去发现解答。但是，这又正是笔者在这方面的一个具体建议：为了促进自身的专业成长，包括切实改进自己的教学，我们在任何时候都应坚持自己的独立思考，而不应盲目地去追随各种理论观点，尽管后者也为我们深入开展相关的研究提供了重要背景。当然，这事实上也应被看成一线教师开展教学研究的一个重要方面，即我们应通过积极的教学实践与认真的总结和反思对各种相关的理论思想，包括自身在这方面的认识，做出必要的检验和发展。
由以下事实读者即可更好地理解明确倡导后—立场的重要性：相关专家关于分数的论述并非完全一致，有些甚至还可使问题变得更加复杂、更加难以理解。例如，作为对于某个关于分数的实际课例的“名家点评”，就有专家指出：“在小学阶段，只要从‘算术’角度学习分数，不管学习什么，怎么学习，都是失败。所以，在小学高年级学习分数，凡是从算术的角度进行的，教学法上没有好坏之分，因为根本不应该从算术角度学习！应该从代数的角度学习分数。”再如，以下的论述显然也可被看成后一方面的又一实例：“分数的本质在于它的无量纲性”“在现实生活中，对于处理分数的加法，有时候需要分子加分子、分母加分母。”
总之，与刻意地去寻找某种现成的解答相对照，笔者以为，我们应更加重视如何能够依据自身的经验做出必要的总结与进一步的研究。例如，我们可以借助多个不同方法去引入分数，给出分数的多个不同定义。如由“平均分”去引入分数（这也就是通常所谓的“份数定义”）；强调分数主要表示“整体与部分之间关系”，或是“两个量之间的关系”（这大致相当于分数的“比的定义”）；由“度量”去引入分数；或是认为应当突出分数的“商的定义”（这应当说与上面所提到的“作为代数概念的分数”较为接近。当然，后者所强调的又主要是这样一点：我们应当从纯形式的角度去从事分数的研究，特别是人们之所以要引入分数主要就是为了保证除法的通行无阻，即所谓的“封闭性”）；等等。
当然，真正的研究工作不应停留于简单的列举，而是应当对此做出进一步的梳理与分析。例如，容易想到的是，上面所提到的前三种理解显然就具有重要的内在联系，并清楚地体现了认识的不断深化，由“平构分”这样的操作性理解过渡到了“量与量之间的关系”，后者已超出“部分与整体之间的关系”并获得了更普遍的意义，包括同类的量与不同类的量的比较。
上述的发展过程事实上也正是现行教材中三年级关于分数学习的主要内容，从而我们也就可以按照所说的思路去从事相应的教学设计。例如，由于所说的发展即是抽象水平不断提高的一个过程，因此，我们就可依据所谓的“变式理论”（特别是“概念变式”）去进行具体的教学设计。（可详见另文“理论视角下的小学数学教学——案例三则”，《小学教学》，2007年第7期）
再则，依据所说的分析我们也可对前面所提到的关于分数的多种不同理解做出如下概括，主要包括这样两种不同的含义：（1）量与量之间的关系；（2）与自然数、小数一样，分数也应被看成一个数，一种新的数。容易想到的是，后者就正是现行教材中五年级分数学习的主要目标，特别是无论就“单位1”或是“分数单位”的引入而言，都是为了很好地实现这样一个目标。
另外，我们应将所有的分数与自然数和小数一起看成同一数系的成员，在彼此之间更存有十分重要的内在联系，如大小关系与运算关系等。于是，我们显然也只有从后一角度去进行分析才能具体地谈及相关数系对于某一运算（如减法或除法）的封闭性。
再者，从同一角度去分析，我们也就容易理解这样一个主张，可以借助度量去引出分数；又由于这一做法与自然数与小数的引入十分一致，从而也就更为清楚地表明它们的内在一致性，特别是这样一个总体性的思想：“数起源于数，量起源于量。”（这方面的一个具体教学设计可见华应龙的《我不只是数学》，中国人民大学出版社，2018，[例8]） 但就分数的认识而言，应当说仍然存在这样一个问题：就上述两种理解而言，后者应当说更加重要乃至可以被看成更好地体现了分数的“数学本质”。进而，在教学中我们又是否应当特别重视如何能够帮助学生很好地实现由原先的“多”向所说的“一”的重要转变？
由于现行的教材普遍采取了分段教学这样一个做法，并将所说的两种理解分别安排于三年级和五年级，因此，面对上述问题人们很容易得出这样一个结论：“分数是一个数”更好地体现了分数的数学本质。这一说法也许有一定道理，但是从研究的角度看，我们并不应将数学上的逻辑次序简单地等同于学生的认识顺序。更一般地说，我们则应当更深入地去思考：所说的安排究竟有什么优越性与不足之处，我们又应如何去进行教学才能尽可能地减小所说的局限性？再者，我们又应如何帮助学生很好地实现由分数的多种意义向单一意义的转变？
在此笔者再次强调这样一点，与唯一地去强调某种现成的解答相比较，我们应当采取更加开放的态度，即应当通过积极的探索与深入研究去发现可能的解答。由以下分析读者即可更好地理解采取这一立场的合理性。
所说的两种不同意义事实上在自然数的学习过程中也有同样的表现，只不过出现的次序恰好相反，后者即是指自然数的学习而言，我们首先强调的是“自然数是一个数”这样一个认识，然后，只是作为自然数概念的应用，我们才又帮助学生逐步建立起了这样的认识：我们也可用自然数表示两个数（量）之间的关系，这也就是所谓的“倍数关系”，因为后者无非就是将两个数中较小的那个数看成新的比较单位，即“相对意义上的1”。
那么，我们是否就可因此而认定将“自然数看成一个数”相对于“用自然数表示两个数之间的关系”是更为基本的一个认识。这是否又应被看成学生认识发展更为合理的一个顺序，即首先帮助学生建立“自然数是一个数”这样一个认识，然后，只是在学生较好地掌握了乘法运算以后，再帮助学生认识自然数的概念也可用以表示两个数之间的（倍数）关系。當然，就我们目前的论题而言，似乎又可因此而引出这样一个推论：我们应当将现有教材中关于分数学习的安排次序完全颠倒过来。
显然，绝对地肯定上述想法也是过于武断的，毋宁说，这更为清楚地表明用“研究的精神从事教学”的重要性，特别是上述分析事实上可以被看成为我们积极地开展教学研究（包括教材建设）指明了一个重要方向。更一般地说，这也就是指，相对于任一独断性的结论而言，我们应当更加强调思维的开放性，并应通过积极的教学实践与深入研究去发现正确的解答。
以下就是这方面的三个具体建议，希望能有助于广大教师深入思考与积极研究。
第一，无论就自然数或是分数的认识而言，相对于片面地强调某种单一性的观点而言，我们应当更加提倡认识的多元性，特别是更应被看成是这方面十分重要的一个认识，即“比较（或度量）单位”的相对性，也是由绝对的“1”向相对的“1”的过渡。
值得指出的是，这事实上也可被看成所谓的“多元表征理论”（其对于“单一表征理论”的取代正是学习心理学研究现代发展的一个重要特征。可详见另文“多元表征理论与概念教学”，《小学数学教育》，2011年第10期）给予我们的一个重要启示：为了帮助学生更好地理解各个数学概念，我们事实上不应唯一地强调其数学本质，而是应当帮助学生从各个方面去进行理解，如现实意义、直观动作、空间图形、语言表述等，包括这些方面的适当转换与必要整合。
另外，如果说这正是数学教学的主要目标，我们应当通过数学教学努力促进学生思维的发展，特别是不断提升思维的品质，那么，这显然也就是强调同一数学概念的不同侧面乃至不同意义之间的联系与转化的一个重要意义。这不仅有利于学生更好地掌握相关概念，也十分有益于提升其思维的灵活性和综合性。
第二，从同一角度去分析，我们也可更清楚地看出“用全局观念指导教学”的重要性，特别是我们应将“分数的认识”与“自然数（与小数）的认识”联系起来加以分析思考，包括通过自然数的教学为学生将来学习分数做好必要的准备。
例如，这显然就是这方面的一个基本事实：就两个数的比较而言，我们既可以用较小的数作为比较单位，即将较大的数表示成较小的数的若干倍，也可将较大的数用作比较单位——这时，分数的引入也就十分自然了。由此可见，如果我们能通过自然数的教学确实帮助学生初步地建立起“比较单位的相对性”这样一个认识，就可以为他们将来学习分数创造更好的条件。当然，随着分数学习的深入，我们又应十分重视如何能够帮助学生更清楚地认识“倍比关系”的一致性。（对此可见另著《小学数学教育的理论与实践》，华东师范大学出版社，2017，第一章，[例6]）最后，这显然也是这方面认识的又一重要发展，即除去同类量的比较以外，我们也可将分数用于不同类的量的比较。
第三，从思维的角度进行分析，我们又应特别重视分数认识过程中所包含的这样一种思维形式：“凝聚”，即由“过程”向“对象”的过渡或转变。具体地说，后者就直接关系到了分数的“商的定义”，我们如何将分析的着眼点由实际从事相关的运算转向相应的结果，即将后者直接看成一个数，一个真正的数。（应当指出，所说的转变也可被看成对于“通过度量引入分数”的直接超越，因为，我们在此已不再关注如何能够借助所谓的“分数单位”去把握分数的意义）又由于 “凝聚”这一思维形式对于算术与代数的学习具有特别的重要性（可详见另著《数学思维与小学数学》，江苏教育出版社，2008，第3.1节），因此，这也就十分清楚地表明分数教学的又一重要意义，或者说，我们应将帮助学生更好地适应这样一种思维方式看成分数教学的又一重点。
最后，应当再次强调的是，相对于各个具体结论而言，我们应当更加重视思维的开放性，并应围绕问题积极地去开展教学研究，包括自觉的教学实践与认真的总结反思。显然，后者事实上也正是这里所说的“研究精神”的核心所在。
（南京大学哲学系 210093）