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[摘 要] 数学是思维的体操。数学课堂应该具有活泼的氛围，富于变化，让学生的思维活跃起来。习题教学中开展以学生为主体的一题多解、以教师为主导的一题多变和以合作为基础的互动交流，能够让课堂在认知迁移、观点碰撞和民主研讨中增添灵动的气息。
[关键词] 一题多解；一题多变；互动交流
一、以学生为主体一题多解
课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，培养学生参与课堂教学中的主人翁意识，是现代数学教学的趋势。要实现这一目标，教师要艺术地创造把课堂还给学生的条件。习题教学中的一题多解具备这方面的特征。这里说的一题多解并不是教师给学生呈现多种方法，而是给学生表达的机会，借用一题，让不同的学生呈现不同解法，让学生的观点相互碰撞，思想相互交流，达到仁者见仁、取长补短的目的。
问题1.（苏教版选修2-1课本第37页习题10改编）已知椭圆[x2a2 y2b2=1（a>b>0）]的两个焦点分别为[F1，F2]，若椭圆上存在点P，使[∠F1PF2]为直角，则椭圆的离心率的取值范围是______。
学生1：设点[P（x0，y0）]，由[∠F1PF2]为直角，通过[PF12 PF22=F1F22]可以得到[x02 y02=c2]，得[y02=c2-x02]，整理得到一个关于[x0]的表达式，再由[x0]范围计算得到离心率的取值范围。
学生2：设点[P（x0，y0）]，由[∠F1PF2]为直角，得[kPF1?kPF2=-1]。
学生3：用[PF1PF2=0]比较好！
学生4：由“椭圆上存在点P，使[∠F1PF2]为直角”这个条件不难看出，这样的点P肯定落在以原点为圆心、c为半径的圆上，而同时点P又在椭圆上，由此得到结论，圆和椭圆必须有公共点，得到[c≥b]，从而得到所需结论。
学生5：设椭圆的上顶点为Q，则[∠F1QF2]为椭圆上的点与两个焦点的最大夹角，所以若椭圆上存在点P，使[∠F1PF2]为直角，则[∠F1QF2≥90°]，因此有[∠F1QO≥45°]，所以主要考察此时它的正弦值的取值范围即可，即[sin∠F1PO∈22，1]，即离心率[e∈22，1]。
点评：习题课堂犹如一湖春水，让老师独唱，会风平浪静一片祥和。但学生都是有思想的人，更是处于善于表达、急于表达的年龄，教师把问题抛给孩子，把表达的机会还给孩子，就会出现一石激起千层浪的美景。学生会根据自己的认知，充分发掘自身的潜能，从不同的角度分析，经过不同视角和观点的交流，全班同学会分享多视角思考问题和解决问题的过程，这既扩大了知识面，又让学生感受到成功的喜悦，充分调动学生学习积极性。
二、以教师为主导一题多变
变式教学是运用不同的知识和方法，对有关数学概念、定理、习题等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律。变式教学最终是为了通过变化让学生掌握变化中的不变，能从不同方面、不同角度和不同情况来说明某一事物，从而概括出事物的一般属性。因此，适当的变式能够使学生确切地掌握数学基础知识。另外，数学题目是永远做不完的，如果善于变换，在变式中掌握一类问题的解法，则会以少胜多，大大提高课堂教学的有效性。
问题2.已知[f（x）=ax-lnx，x∈]（[e]]，[g（x）=lnxx]，其中e是自然对数的底数，[a∈]R。
（1）讨论a=1时，函数[f（x）]的单调性和极值；
（2）求证：在（1）的条件下，[f（x）>g（x） 12]。
变式1.在本例条件下，是否存在正实数a，使[f（x）]的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。
意图：将视角从已知a的值的条件下求极值变为已知最值确定a的值，从正向和逆向两个方面体验导数在求最值和极值中的应用。
变式2（2013江苏卷）：设函数[f（x）=lnx-ax]，[e][-][c]其中a为实数。若[f（x）]在[1， ∞]上是单调减函数，且[g（x）]在[1， ∞]上有最小值，求[a]的取值范围。
意图：高考真题的出现，让学生亲身体会“原来这就是高考题”，怎么这么亲切，并不是想象中的那么高大上，这有利于增强学生学习的信心，激发学好数学的兴趣和动力。当然，通过高考真题更能够让学生从心态上重视用导数解决函数单调性、求最值时的方法步骤和细节要求。
变式3（2013北京卷）：设L为曲线[C：y=lnxx]在点（1，0）处的切线。
（1）求L的方程；
（2）证明：除切点（1，0）之外，曲线[C]在直线L的下方。
意图：高考题并非无本之木，并不是专家们利用自己手中的权力和能力生编出来的。我们常常说高考题源于课本，函数[y=lnxx]就是一个很好的例证。变式3的一个目的是通过高考题让学生知道这个事实从而重视课本，另一个目的则是让学生正确理解问题中诸如“曲线C在直线L的下方” 这样的数学语言。
一道看似普通的问题，涉及的两个函数居然出现在两个省份的高考真题中，这对学生的触动有多大？通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”，从而使一个题目延伸出一类题目，达到举一反三、触类旁通的目的。
三、以合作为基础互动交流
相对教师“课霸”的独角戏来说，“小组合作学习”的確有许多的優越性。在数学习题教学中开展合作学习，往往会收到预期不到的惊喜。
问题3.设过点[P（2，1）]作直线l交[x]轴、[y]轴的正半轴于[A，B]两点。
（1）当[ΔAOB]的面积最小时，求直线[l]的方程；
（2）当[PA?PB]取得最小值时，求直线[l]的方程。
这是在学习了直线方程之后我在习题课上提供给学生的一个探究性问题，当时的要求是学生自己先独立研究10分钟，然后小组交流或者合作10分钟，最后由小组代表展示15分钟，留给我5分钟点评。
我这样的设想是“既大胆又大方”的，因为同组的老师们往往会一节课“讲完”很多问题，在这样的环境中，我舍得把这么多的时间给学生，一节课只研究一个问题，无论在“见识面”上还是“进度”上都已经赶不上别人了。然而，事实证明把课堂还给学生，让学生通过合作来充当课堂主人的角色的做法不但没有损失，反而取得了令人满意的效果。下面是4个小组提供的解法，受篇幅限制过程省略。
小组1：设直线[l]方程为[y-1=k（x-2）（k<0）]，构建以[k]为变量的基本不等式。
小组2：设直线[l]方程为[xa yb=1（a>0，b>0）]，消元后构建以a为变量的基本不等式。
小组3： 设直线[l]方程为[xa yb=1（a>0，b>0）]，以整体思想构建以[a、b]为变量的基本不等式。
小组4：设[∠OAB=θ（θ∈（0，π2）]，构建以[θ]为变量的三角函数模型。
因为教师“主讲”的课堂通常用一种方法把问题解决，而小组互助合作、交流分享的课堂给我们以多种视角的认识，方法的多样性、思维的灵活性和容量的广阔性是教师一人无法做到的。小组合作，互助交流给课堂教学注入了活力，它不仅充分发挥了师生间、生生间的相互交流、协作功能，而且还可以培养学生的合作意识、团队精神，让学生由被动变为主动，把个人自学、小组交流、全班讨论、教师指点等有机地结合起来，进而促使小组之间合作、竞争，激发了学习热情，挖掘了个体学习潜能，增大了信息量，使学生在互补促进中共同提高，为枯燥的数学解题教学增添了热情、活跃和灵动的气氛。
责任编辑 李杰杰
[关键词] 一题多解；一题多变；互动交流
一、以学生为主体一题多解
课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，培养学生参与课堂教学中的主人翁意识，是现代数学教学的趋势。要实现这一目标，教师要艺术地创造把课堂还给学生的条件。习题教学中的一题多解具备这方面的特征。这里说的一题多解并不是教师给学生呈现多种方法，而是给学生表达的机会，借用一题，让不同的学生呈现不同解法，让学生的观点相互碰撞，思想相互交流，达到仁者见仁、取长补短的目的。
问题1.（苏教版选修2-1课本第37页习题10改编）已知椭圆[x2a2 y2b2=1（a>b>0）]的两个焦点分别为[F1，F2]，若椭圆上存在点P，使[∠F1PF2]为直角，则椭圆的离心率的取值范围是______。
学生1：设点[P（x0，y0）]，由[∠F1PF2]为直角，通过[PF12 PF22=F1F22]可以得到[x02 y02=c2]，得[y02=c2-x02]，整理得到一个关于[x0]的表达式，再由[x0]范围计算得到离心率的取值范围。
学生2：设点[P（x0，y0）]，由[∠F1PF2]为直角，得[kPF1?kPF2=-1]。
学生3：用[PF1PF2=0]比较好！
学生4：由“椭圆上存在点P，使[∠F1PF2]为直角”这个条件不难看出，这样的点P肯定落在以原点为圆心、c为半径的圆上，而同时点P又在椭圆上，由此得到结论，圆和椭圆必须有公共点，得到[c≥b]，从而得到所需结论。
学生5：设椭圆的上顶点为Q，则[∠F1QF2]为椭圆上的点与两个焦点的最大夹角，所以若椭圆上存在点P，使[∠F1PF2]为直角，则[∠F1QF2≥90°]，因此有[∠F1QO≥45°]，所以主要考察此时它的正弦值的取值范围即可，即[sin∠F1PO∈22，1]，即离心率[e∈22，1]。
点评：习题课堂犹如一湖春水，让老师独唱，会风平浪静一片祥和。但学生都是有思想的人，更是处于善于表达、急于表达的年龄，教师把问题抛给孩子，把表达的机会还给孩子，就会出现一石激起千层浪的美景。学生会根据自己的认知，充分发掘自身的潜能，从不同的角度分析，经过不同视角和观点的交流，全班同学会分享多视角思考问题和解决问题的过程，这既扩大了知识面，又让学生感受到成功的喜悦，充分调动学生学习积极性。
二、以教师为主导一题多变
变式教学是运用不同的知识和方法，对有关数学概念、定理、习题等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律。变式教学最终是为了通过变化让学生掌握变化中的不变，能从不同方面、不同角度和不同情况来说明某一事物，从而概括出事物的一般属性。因此，适当的变式能够使学生确切地掌握数学基础知识。另外，数学题目是永远做不完的，如果善于变换，在变式中掌握一类问题的解法，则会以少胜多，大大提高课堂教学的有效性。
问题2.已知[f（x）=ax-lnx，x∈]（[e]]，[g（x）=lnxx]，其中e是自然对数的底数，[a∈]R。
（1）讨论a=1时，函数[f（x）]的单调性和极值；
（2）求证：在（1）的条件下，[f（x）>g（x） 12]。
变式1.在本例条件下，是否存在正实数a，使[f（x）]的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。
意图：将视角从已知a的值的条件下求极值变为已知最值确定a的值，从正向和逆向两个方面体验导数在求最值和极值中的应用。
变式2（2013江苏卷）：设函数[f（x）=lnx-ax]，[e][-][c]其中a为实数。若[f（x）]在[1， ∞]上是单调减函数，且[g（x）]在[1， ∞]上有最小值，求[a]的取值范围。
意图：高考真题的出现，让学生亲身体会“原来这就是高考题”，怎么这么亲切，并不是想象中的那么高大上，这有利于增强学生学习的信心，激发学好数学的兴趣和动力。当然，通过高考真题更能够让学生从心态上重视用导数解决函数单调性、求最值时的方法步骤和细节要求。
变式3（2013北京卷）：设L为曲线[C：y=lnxx]在点（1，0）处的切线。
（1）求L的方程；
（2）证明：除切点（1，0）之外，曲线[C]在直线L的下方。
意图：高考题并非无本之木，并不是专家们利用自己手中的权力和能力生编出来的。我们常常说高考题源于课本，函数[y=lnxx]就是一个很好的例证。变式3的一个目的是通过高考题让学生知道这个事实从而重视课本，另一个目的则是让学生正确理解问题中诸如“曲线C在直线L的下方” 这样的数学语言。
一道看似普通的问题，涉及的两个函数居然出现在两个省份的高考真题中，这对学生的触动有多大？通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”，从而使一个题目延伸出一类题目，达到举一反三、触类旁通的目的。
三、以合作为基础互动交流
相对教师“课霸”的独角戏来说，“小组合作学习”的確有许多的優越性。在数学习题教学中开展合作学习，往往会收到预期不到的惊喜。
问题3.设过点[P（2，1）]作直线l交[x]轴、[y]轴的正半轴于[A，B]两点。
（1）当[ΔAOB]的面积最小时，求直线[l]的方程；
（2）当[PA?PB]取得最小值时，求直线[l]的方程。
这是在学习了直线方程之后我在习题课上提供给学生的一个探究性问题，当时的要求是学生自己先独立研究10分钟，然后小组交流或者合作10分钟，最后由小组代表展示15分钟，留给我5分钟点评。
我这样的设想是“既大胆又大方”的，因为同组的老师们往往会一节课“讲完”很多问题，在这样的环境中，我舍得把这么多的时间给学生，一节课只研究一个问题，无论在“见识面”上还是“进度”上都已经赶不上别人了。然而，事实证明把课堂还给学生，让学生通过合作来充当课堂主人的角色的做法不但没有损失，反而取得了令人满意的效果。下面是4个小组提供的解法，受篇幅限制过程省略。
小组1：设直线[l]方程为[y-1=k（x-2）（k<0）]，构建以[k]为变量的基本不等式。
小组2：设直线[l]方程为[xa yb=1（a>0，b>0）]，消元后构建以a为变量的基本不等式。
小组3： 设直线[l]方程为[xa yb=1（a>0，b>0）]，以整体思想构建以[a、b]为变量的基本不等式。
小组4：设[∠OAB=θ（θ∈（0，π2）]，构建以[θ]为变量的三角函数模型。
因为教师“主讲”的课堂通常用一种方法把问题解决，而小组互助合作、交流分享的课堂给我们以多种视角的认识，方法的多样性、思维的灵活性和容量的广阔性是教师一人无法做到的。小组合作，互助交流给课堂教学注入了活力，它不仅充分发挥了师生间、生生间的相互交流、协作功能，而且还可以培养学生的合作意识、团队精神，让学生由被动变为主动，把个人自学、小组交流、全班讨论、教师指点等有机地结合起来，进而促使小组之间合作、竞争，激发了学习热情，挖掘了个体学习潜能，增大了信息量，使学生在互补促进中共同提高，为枯燥的数学解题教学增添了热情、活跃和灵动的气氛。
责任编辑 李杰杰