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所谓逆向思维是指从问题的反方向进行思考的一种思维方式. 中学数学课本中的逆向思维包括逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性. 在数学解题中，通常是按照从已知到结论的思维方式，但是有部分数学问题若是按照顺向思维方式则是比较困难的，而且常常伴随着较大的运算量，有时甚至无法解决. 在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆运用，就会使较难的问题得到简化. 经常性地运用这样的训练方法可以培养学生思维的灵敏性.
一、数学定义的逆用
在数学解题中“定义法”是一种比较常见的方法，但定义的逆运用容易被学生忽视，我们应重视定义的逆运用，学会逆向思考，这样会达到使问题解答简捷的目的. 定义的可逆性应用是很重要的，也是很广泛的.
例1已知函数f（x）＝arcsin（2x＋1）（－1≤x≤0），求 f-1（）的值()
Ａ. B. -C. D. -
分析：常见的方法是：先求反函数f-1（x），然后再求f-1（）的值，但只要逆用反函数定义，令f（x）=，解出x的值即为f-1（）的值.
例2如图1，是y=Asin（ωx+）（Ａ＞0，ω＞0）在一个周期内的图象，求其解析式.
分析：由已知易得周期T=π，ω=2，此题的难点是求，而且极易出错，只要我们逆用“五点法”的定义，则问题极易解决，由点（，0）为其一中心对称点（第三点），其周期为π，即：2·+=π. 所以=，最后求得A=，所以y=sin（2x+）.
二、数学公式的逆用
在有些数学问题中，除了熟练掌握公式的顺用之外，还应掌握公式的变形逆向运用，这样可以使解答问题的运算量减少.
例3化简cos3A+cos3（+A）+cos3（-A）
分析：此题如果用和差角公式后再立方，则运算量太大，但我们只要联系与三次方有关的三倍角公式：cos3A=4cos3A-3cosA，变形逆用三倍角公式.
所以，cos3A=（cos3A+3cosA）这样就可以使原式降次，然后用和差化积公式，就能很快得出结果cos3A.
例4求1-2C1n+4C2n-8C3n+16C4n-…+（-2）nCnn的值.
分析:利用二项式定理的展开式，即可解决:
1-2C1n+4C2n-8C3n+16C4n-…+（-2）nCnn=（1-2）n=（-1）n
故当n为偶数时，原式的值为1；当n为奇数时，原式的值为－1.
三、分析法——执果索因
执果索因法也叫分析法. 解决要证明结论成立，只需找出使结论成立的条件充分性即可. 这种方法在证明题中使用得较多，这也是逆向思维在数学解题中的主要应用.
例5已知a，b，c∈R+，且a+b＞c，求证：+＞.
证明：因为a，b，c∈R+故要证原式成立，
只需证明：a（1+b）（1+c）+b（1+a）（1+c）＞c（1+a）（1+b），即证：a+b+2ab+abc＞c.
因为a+b＞c，
所以a+b+2ab+abc＞c成立，即原不等式成立.
例6已知正数a、b、c成等差数列，求证：a2－bc，b2－ac，c2－ab也成等差数列.
分析：要证结论成立，
只需证2（b2－ac）= a2－bc+c2－ab，即证2b2+（a+c）b=（a+c）2.
又2b=a+c，所以上式成立，即结论成立.
四、反证法
反证法就是假设结论的反面成立，由此导出与题设、定义、公理、定理相矛盾的结论，从而推翻假设，肯定结论成立的证明方法，这种应用逆向思维的方法，可使很多问题处理起来相当简捷.
例7已知a，b，c都是小于1的正数，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于.
证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a都大于，
因为0＜a＜1，0＜b＜1，则有0＜1-a＜1，
故≥＞=，
即＞.
同理有：＞，＞.
三式相加得：
++＞.
这与++=明显矛盾，
所以假设不成立，故（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于成立.
五、结论代入与逆向排除法
在有些数学问题解答中，正面进行复杂，反面进行简单，只要逆向分析、进行排除，就能使问题得到简捷的解答，同时这也是解答有些选择题的有效解法.
例8若函数f（x）=mx2+（m-3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围是（）
A. 0＜m≤1B. 0＜m＜1C. m＜1D. m≤1
分析：观察所给答案可得特殊值0与1，把0代入函数式稍加分析即可排除答案A、B，同理把1代入函数式即可排除C，故可得到答案D.
例9若二次函数f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少有一个点C，使f（x）＞０，求实数p的取值范围.
分析：此题从反面分析，采取补集法则比较简单.
如果在[－1，1]内没有点满足f（x）＞０，则
f（-1）≤0f（1）≤0p≤-或p≥1p≤-3或p≥p≤-3或p≥
故取补集为－３＜p＜，即为满足条件的p的取值范围.
六、运用淘汰法进行逆向思维
解选择题常用“肯定一支”的正向思维，当运算量较大或解题受阻时，往往利用“逆向思维”中的淘汰法，即“否定三支”.
例10不等式（1-x）（1+|x|）﹥0的解集是
A. ｛x︳0≤x﹤1｝ B. ｛x︳x﹤0且x≠1｝
C. ｛x︳-1﹤x﹤1｝ D. ｛x︳x﹤1且x≠-1｝
分析：本题正面思考，则需等价转化为不等式组，明显是“小题大做”，而取特殊值，运用排除法否定三支即可简捷解决. 取x=0、-2，显然是原不等式的解，故排除A、B、C，而选D.
综上所述：在数学解题中，根据问题的特点，在应用常规数学思维的同时，注意逆向思维的运用，往往能使很多在常规数学思维下难以解决的问题得到简化，通过加强逆向思维的运用可以锻炼学生的思维能力，特别是思维的敏捷性，对于提高学生的数学应用能力具有相当重要的意义.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、数学定义的逆用
在数学解题中“定义法”是一种比较常见的方法，但定义的逆运用容易被学生忽视，我们应重视定义的逆运用，学会逆向思考，这样会达到使问题解答简捷的目的. 定义的可逆性应用是很重要的，也是很广泛的.
例1已知函数f（x）＝arcsin（2x＋1）（－1≤x≤0），求 f-1（）的值()
Ａ. B. -C. D. -
分析：常见的方法是：先求反函数f-1（x），然后再求f-1（）的值，但只要逆用反函数定义，令f（x）=，解出x的值即为f-1（）的值.
例2如图1，是y=Asin（ωx+）（Ａ＞0，ω＞0）在一个周期内的图象，求其解析式.
分析：由已知易得周期T=π，ω=2，此题的难点是求，而且极易出错，只要我们逆用“五点法”的定义，则问题极易解决，由点（，0）为其一中心对称点（第三点），其周期为π，即：2·+=π. 所以=，最后求得A=，所以y=sin（2x+）.
二、数学公式的逆用
在有些数学问题中，除了熟练掌握公式的顺用之外，还应掌握公式的变形逆向运用，这样可以使解答问题的运算量减少.
例3化简cos3A+cos3（+A）+cos3（-A）
分析：此题如果用和差角公式后再立方，则运算量太大，但我们只要联系与三次方有关的三倍角公式：cos3A=4cos3A-3cosA，变形逆用三倍角公式.
所以，cos3A=（cos3A+3cosA）这样就可以使原式降次，然后用和差化积公式，就能很快得出结果cos3A.
例4求1-2C1n+4C2n-8C3n+16C4n-…+（-2）nCnn的值.
分析:利用二项式定理的展开式，即可解决:
1-2C1n+4C2n-8C3n+16C4n-…+（-2）nCnn=（1-2）n=（-1）n
故当n为偶数时，原式的值为1；当n为奇数时，原式的值为－1.
三、分析法——执果索因
执果索因法也叫分析法. 解决要证明结论成立，只需找出使结论成立的条件充分性即可. 这种方法在证明题中使用得较多，这也是逆向思维在数学解题中的主要应用.
例5已知a，b，c∈R+，且a+b＞c，求证：+＞.
证明：因为a，b，c∈R+故要证原式成立，
只需证明：a（1+b）（1+c）+b（1+a）（1+c）＞c（1+a）（1+b），即证：a+b+2ab+abc＞c.
因为a+b＞c，
所以a+b+2ab+abc＞c成立，即原不等式成立.
例6已知正数a、b、c成等差数列，求证：a2－bc，b2－ac，c2－ab也成等差数列.
分析：要证结论成立，
只需证2（b2－ac）= a2－bc+c2－ab，即证2b2+（a+c）b=（a+c）2.
又2b=a+c，所以上式成立，即结论成立.
四、反证法
反证法就是假设结论的反面成立，由此导出与题设、定义、公理、定理相矛盾的结论，从而推翻假设，肯定结论成立的证明方法，这种应用逆向思维的方法，可使很多问题处理起来相当简捷.
例7已知a，b，c都是小于1的正数，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于.
证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a都大于，
因为0＜a＜1，0＜b＜1，则有0＜1-a＜1，
故≥＞=，
即＞.
同理有：＞，＞.
三式相加得：
++＞.
这与++=明显矛盾，
所以假设不成立，故（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于成立.
五、结论代入与逆向排除法
在有些数学问题解答中，正面进行复杂，反面进行简单，只要逆向分析、进行排除，就能使问题得到简捷的解答，同时这也是解答有些选择题的有效解法.
例8若函数f（x）=mx2+（m-3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围是（）
A. 0＜m≤1B. 0＜m＜1C. m＜1D. m≤1
分析：观察所给答案可得特殊值0与1，把0代入函数式稍加分析即可排除答案A、B，同理把1代入函数式即可排除C，故可得到答案D.
例9若二次函数f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少有一个点C，使f（x）＞０，求实数p的取值范围.
分析：此题从反面分析，采取补集法则比较简单.
如果在[－1，1]内没有点满足f（x）＞０，则
f（-1）≤0f（1）≤0p≤-或p≥1p≤-3或p≥p≤-3或p≥
故取补集为－３＜p＜，即为满足条件的p的取值范围.
六、运用淘汰法进行逆向思维
解选择题常用“肯定一支”的正向思维，当运算量较大或解题受阻时，往往利用“逆向思维”中的淘汰法，即“否定三支”.
例10不等式（1-x）（1+|x|）﹥0的解集是
A. ｛x︳0≤x﹤1｝ B. ｛x︳x﹤0且x≠1｝
C. ｛x︳-1﹤x﹤1｝ D. ｛x︳x﹤1且x≠-1｝
分析：本题正面思考，则需等价转化为不等式组，明显是“小题大做”，而取特殊值，运用排除法否定三支即可简捷解决. 取x=0、-2，显然是原不等式的解，故排除A、B、C，而选D.
综上所述：在数学解题中，根据问题的特点，在应用常规数学思维的同时，注意逆向思维的运用，往往能使很多在常规数学思维下难以解决的问题得到简化，通过加强逆向思维的运用可以锻炼学生的思维能力，特别是思维的敏捷性，对于提高学生的数学应用能力具有相当重要的意义.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文