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[摘要]在小学数学教学中，如何借助课后习题，发展学生的思维品质，是一个有价值的话题。从改进教学路径着手，浅析人教版数学三年级上册习题的二次开发，通过动态演示、踩出小路、变式训练等实操策略，促进学生的思维由浅入深、独辟蹊径、触类旁通。
[关键词]数学;习题;开发;思维
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号]1007-9068（2020）23-0034-03
《义务教育数学课程标准（2011年版）》对教材的使用提出了建议：“教师要善于结合实际教学的需要，灵活地和有创造性地使用教材，对教材的内容、编排顺序、教学方法等方面进行适当的取舍或调整。”其中蕴含了新的理念：教师是“用”习题而不是“教”习题。那么，如何做到“题尽其用”，发展学生的思维品质呢？
一、巧设动态演示，让思维由浅入深
三年级学生的思维正处在由具体形象思维向抽象思维过渡阶段，那么思维的形象性与数学的抽象性之间的矛盾怎么解决呢？巧设动态演示，将比较抽象、难理解的习题进行适当的增补，更深层次、创造性地挖掘习题内容，推动学生数学思维的发展由浅人深。例如第25页铁环问题（如下图），学生解决这类问题时常常与黏纸条的重叠问题混淆，得出错误答案：40x3-5x2=110（毫米）。为了减少此类错误，可设计如下教学过程：
（一）复习旧知
1.教师出示题目（如右图）：把3张长4厘米的纸条黏到一起，黏合的部分长5毫米，黏成的纸条长多少厘米呢？
2.动态演示：第1、2张纸条重叠，黏合的部分是5毫米，兩张纸条的总长减少了5毫米。第2.3张纸条重叠的时候，黏合的部分也是5毫米，两张纸条的总长又少了5毫米，所以3张纸条黏合后，总长少了10毫米。
（二）教学铁环问题
1.出示题目。
2.化繁为简，先解决2个铁环相连的问题。
（1）猜想：重叠部分是几？（5毫米或10毫米）
（2）动态演示。（课件演示分为三步走：挨一叠一勾）
师：你发现了什么？
生：挨在一起，没有重叠部分。
生，：叠在一起，重叠部分是5毫米。勾在一起，重叠部分是2个5毫米。
（3）手指演示：挨一叠一勾。分别算出重叠部分。
（4）我们的发现：重叠1次，减去2个5毫米。
（5）列式计算：2x40-2x5=70（毫米）。
3.解决3个铁环相连的问题。
此时学生信手拈来：3x40-4x5=100（毫米）。
（三）辨析两题
师：铁环问题和纸条问题有什么相同点和不同点？
生：相同点是都是重叠问题。
生2：不同点是，第一题黏1次，减1个5毫米;黏2次，减2个5毫米。第二题勾1次，减2个5毫米;勾2次，减4个5毫米。
通过此习题的增补、思辨，学生在动态演示中弄清了解题的思路。两种类型的题目虽有相似，但方法不同。在动态演示中，学生去粗取精、去伪存真、由表及里、由此及彼，抓住了问题的本质区别与联系，将学生的思维引向深人，有效培育了学生思维的深刻性。
二、巧借踩出小路，创思维独辟蹊径
世界著名建筑大师格罗培斯设计了美国迪士尼乐园。最初，他为连接景点之间的路径绞尽了脑汁，后来他受到启发，在游乐园的空地上撒上草籽。小草长出来后，整个乐园被游人随意踩出了一条条小路。第二年，他依照游人踩出的小路，设计出了连接景点的路径。这个设计在伦敦国际园林建筑艺术研讨会：上被评为世界最佳设计奖。我们作一个类比：把“获奖设计"比作一节好的数学课，把“踩出的小路”比作课堂上学生对“习题的独到见解”。这节课的最大“功臣”是谁？应该是学生即时性形成的“动态生成资源”。教师可以巧借学生踩出的“小路”，独辟蹊径，对习题进行拓展、衍生，发展思维的独创性。例如，课本第88页第6题教学片段。
1）根据题意画图，标出数据。
（2）独立完成，列式计算。（3）反馈。
生：21x4=84（厘米）。剩下图形的宽是30-21=9（厘米），所以它的周长是（9 21）x2=60（厘米）。
生：这个方法太麻烦了！
师：你有什么好办法？
生，：求正方形的周长就是求4个原来长方形的宽（如图1），求剩下的图形的周长就是求2个原来长方形的长。
师：前面半句概括到位，可后半句是什么意思？
生，（上台演示）：剩下的图形的周长就是小长方形的周长。现在我们把其中的一条长旋转90度，就到了这个位置。（如图2）
师：这个方法谁听懂了？（其他学生听完之后，自觉地鼓起了热烈的掌声，并接二连三地抢着回答）这个方法好在哪里？
生：：更容易算了！30x2=60（厘米）。
生。：不用求宽了，省事！师：如果题目变成这样呢？
生。：正方形的周长为29》4=116（厘米），剩下的图形的周长为40x2=80（厘米）。
大部分学生没有画图，直接运用刚才的结论计算。可见，课堂中“踩出的小路”是不可多得的宝贵财富，需要教师发现、捕捉。有研究表明，思维的独创性具有明显的后天性，是在主体思维发展的进程中逐步形成和稳定化的，因而在其形成和发展时期具有可培养性。这就需要教师给予学生行为、思想较大的自由度，促进增强自主意识，学会独立思考、自由表达、自我选择，促进自我发展。因此，面对无法预知的“小路时”，教师抓住契机，将习题拓展、衍生，将“球”踢还给学生，借“力”打“力”，在“意外”中寻找有价值的教学资源。让学生学会转化思想，将“折线”转化为“直线”，将“未知的两条线段长度之和”转化为“已知的一条线段的长度”，有效地发展了学生思维的独创性。 三、巧用变式训练，催思维触类旁通
“变式训练"指教师变换问题中的条件或结论，转换问题的内容和形式，配置实际应用的各种情境，从而使学生从不同的途径去思考问题、解决问题。可在原有习题教学的基础上进行调整、改变，使习题的教学功能得到更充分的发挥，培养学生探索、创新的意识，使之不断提高观察、分析、解决问题的能力，从而提升思维的灵活性。例如，第46页第13题教学片段。
这是一道开放题。其中，第一小题让学生估算，如果2个三位数的百位分别放6和3，和接近多少？答案是900、1000或1100。例如610 324～900，690 321≈1000，697 385≈1100。如果是计算差呢？那就可能有601-398≈200，620-314≈300，698-301～400。第二小题的解答方法差不多。为了培养学生思维的灵活性，教师将题目中条件和问题进行调整：
一石激起千层浪，面对挑战，学生变得兴致盎然，不久就有了答案。
生：：百位放7和9，十位放4和5，个位放0和2，和最大。
（虽然相同数位的两个数可以任意调换位置，但是它们的结果是相同的）
生：0不能放在百位，百位放小数2和4，十位放0和5，个位放大数7和9，和最小。
生：用最大的三位数减去最小的三位数，差最大，是975-204=771。
生：要想差最小，百位上要放相鄰的两个数，即4和5，十位上放小数2和0，个位上放大数9和7，即507-429=78。
生：错了！是5。百位上放相邻的4和5，十位上放相差最大的两个数0和9，个位放剩下的两个数2和7。十位和个位要把小数放在被减数，因为十位不够减，向百位借1，两个数相差越大，差就越小。
（此时，教室里响起了热烈的掌声，多么巧妙的分析啊！由于差最小比较难，而且变化多，教师再次调整题目）
生：如图3所示，百位上放相邻的8和9，十位上放0和4，个位放剩下的两个数2和1。
生：不对！如图4所示，百位上放相邻的1和2，十位上放相差最大的两个数0和9，个位放剩下的两个数4和8。
生。：奇怪，有两组相邻的数，1和2，8和9。
生。：不要慌，我有办法！先保证十位相差最大，即0和9，剩下的相邻数只有1组，即1和2，放在百位就可以了。
通过调整、改编习题，让学生参与和经历数学学习活动，捕捉思考规律背后的本质，获得自我生长的力量。教师顺应学生出现的情况，逐层深人拓展，引发冲突、解决矛盾，让学生触类旁通，于无疑处生疑，有疑处思辨，解疑而提升，有效锻炼了思维的灵活性。
叶圣陶先生曾说：“教材无非是个例子。”在面对思维能力处在不断发展和提升阶段的小学生进行教学时，需要教师潜心解读教材中的习题，用心研读学生的思维发展水平，通过巧设动态演示、巧借踩出小路、巧用变式训练等有效教学路径，让习题效用最大化，引导学生算中思、思中悟、悟中通，让学生的思维更深刻、更灵活，思维品质更上一个台阶。
（责编 吴美玲）
[关键词]数学;习题;开发;思维
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号]1007-9068（2020）23-0034-03
《义务教育数学课程标准（2011年版）》对教材的使用提出了建议：“教师要善于结合实际教学的需要，灵活地和有创造性地使用教材，对教材的内容、编排顺序、教学方法等方面进行适当的取舍或调整。”其中蕴含了新的理念：教师是“用”习题而不是“教”习题。那么，如何做到“题尽其用”，发展学生的思维品质呢？
一、巧设动态演示，让思维由浅入深
三年级学生的思维正处在由具体形象思维向抽象思维过渡阶段，那么思维的形象性与数学的抽象性之间的矛盾怎么解决呢？巧设动态演示，将比较抽象、难理解的习题进行适当的增补，更深层次、创造性地挖掘习题内容，推动学生数学思维的发展由浅人深。例如第25页铁环问题（如下图），学生解决这类问题时常常与黏纸条的重叠问题混淆，得出错误答案：40x3-5x2=110（毫米）。为了减少此类错误，可设计如下教学过程：
（一）复习旧知
1.教师出示题目（如右图）：把3张长4厘米的纸条黏到一起，黏合的部分长5毫米，黏成的纸条长多少厘米呢？
2.动态演示：第1、2张纸条重叠，黏合的部分是5毫米，兩张纸条的总长减少了5毫米。第2.3张纸条重叠的时候，黏合的部分也是5毫米，两张纸条的总长又少了5毫米，所以3张纸条黏合后，总长少了10毫米。
（二）教学铁环问题
1.出示题目。
2.化繁为简，先解决2个铁环相连的问题。
（1）猜想：重叠部分是几？（5毫米或10毫米）
（2）动态演示。（课件演示分为三步走：挨一叠一勾）
师：你发现了什么？
生：挨在一起，没有重叠部分。
生，：叠在一起，重叠部分是5毫米。勾在一起，重叠部分是2个5毫米。
（3）手指演示：挨一叠一勾。分别算出重叠部分。
（4）我们的发现：重叠1次，减去2个5毫米。
（5）列式计算：2x40-2x5=70（毫米）。
3.解决3个铁环相连的问题。
此时学生信手拈来：3x40-4x5=100（毫米）。
（三）辨析两题
师：铁环问题和纸条问题有什么相同点和不同点？
生：相同点是都是重叠问题。
生2：不同点是，第一题黏1次，减1个5毫米;黏2次，减2个5毫米。第二题勾1次，减2个5毫米;勾2次，减4个5毫米。
通过此习题的增补、思辨，学生在动态演示中弄清了解题的思路。两种类型的题目虽有相似，但方法不同。在动态演示中，学生去粗取精、去伪存真、由表及里、由此及彼，抓住了问题的本质区别与联系，将学生的思维引向深人，有效培育了学生思维的深刻性。
二、巧借踩出小路，创思维独辟蹊径
世界著名建筑大师格罗培斯设计了美国迪士尼乐园。最初，他为连接景点之间的路径绞尽了脑汁，后来他受到启发，在游乐园的空地上撒上草籽。小草长出来后，整个乐园被游人随意踩出了一条条小路。第二年，他依照游人踩出的小路，设计出了连接景点的路径。这个设计在伦敦国际园林建筑艺术研讨会：上被评为世界最佳设计奖。我们作一个类比：把“获奖设计"比作一节好的数学课，把“踩出的小路”比作课堂上学生对“习题的独到见解”。这节课的最大“功臣”是谁？应该是学生即时性形成的“动态生成资源”。教师可以巧借学生踩出的“小路”，独辟蹊径，对习题进行拓展、衍生，发展思维的独创性。例如，课本第88页第6题教学片段。
1）根据题意画图，标出数据。
（2）独立完成，列式计算。（3）反馈。
生：21x4=84（厘米）。剩下图形的宽是30-21=9（厘米），所以它的周长是（9 21）x2=60（厘米）。
生：这个方法太麻烦了！
师：你有什么好办法？
生，：求正方形的周长就是求4个原来长方形的宽（如图1），求剩下的图形的周长就是求2个原来长方形的长。
师：前面半句概括到位，可后半句是什么意思？
生，（上台演示）：剩下的图形的周长就是小长方形的周长。现在我们把其中的一条长旋转90度，就到了这个位置。（如图2）
师：这个方法谁听懂了？（其他学生听完之后，自觉地鼓起了热烈的掌声，并接二连三地抢着回答）这个方法好在哪里？
生：：更容易算了！30x2=60（厘米）。
生。：不用求宽了，省事！师：如果题目变成这样呢？
生。：正方形的周长为29》4=116（厘米），剩下的图形的周长为40x2=80（厘米）。
大部分学生没有画图，直接运用刚才的结论计算。可见，课堂中“踩出的小路”是不可多得的宝贵财富，需要教师发现、捕捉。有研究表明，思维的独创性具有明显的后天性，是在主体思维发展的进程中逐步形成和稳定化的，因而在其形成和发展时期具有可培养性。这就需要教师给予学生行为、思想较大的自由度，促进增强自主意识，学会独立思考、自由表达、自我选择，促进自我发展。因此，面对无法预知的“小路时”，教师抓住契机，将习题拓展、衍生，将“球”踢还给学生，借“力”打“力”，在“意外”中寻找有价值的教学资源。让学生学会转化思想，将“折线”转化为“直线”，将“未知的两条线段长度之和”转化为“已知的一条线段的长度”，有效地发展了学生思维的独创性。 三、巧用变式训练，催思维触类旁通
“变式训练"指教师变换问题中的条件或结论，转换问题的内容和形式，配置实际应用的各种情境，从而使学生从不同的途径去思考问题、解决问题。可在原有习题教学的基础上进行调整、改变，使习题的教学功能得到更充分的发挥，培养学生探索、创新的意识，使之不断提高观察、分析、解决问题的能力，从而提升思维的灵活性。例如，第46页第13题教学片段。
这是一道开放题。其中，第一小题让学生估算，如果2个三位数的百位分别放6和3，和接近多少？答案是900、1000或1100。例如610 324～900，690 321≈1000，697 385≈1100。如果是计算差呢？那就可能有601-398≈200，620-314≈300，698-301～400。第二小题的解答方法差不多。为了培养学生思维的灵活性，教师将题目中条件和问题进行调整：
一石激起千层浪，面对挑战，学生变得兴致盎然，不久就有了答案。
生：：百位放7和9，十位放4和5，个位放0和2，和最大。
（虽然相同数位的两个数可以任意调换位置，但是它们的结果是相同的）
生：0不能放在百位，百位放小数2和4，十位放0和5，个位放大数7和9，和最小。
生：用最大的三位数减去最小的三位数，差最大，是975-204=771。
生：要想差最小，百位上要放相鄰的两个数，即4和5，十位上放小数2和0，个位上放大数9和7，即507-429=78。
生：错了！是5。百位上放相邻的4和5，十位上放相差最大的两个数0和9，个位放剩下的两个数2和7。十位和个位要把小数放在被减数，因为十位不够减，向百位借1，两个数相差越大，差就越小。
（此时，教室里响起了热烈的掌声，多么巧妙的分析啊！由于差最小比较难，而且变化多，教师再次调整题目）
生：如图3所示，百位上放相邻的8和9，十位上放0和4，个位放剩下的两个数2和1。
生：不对！如图4所示，百位上放相邻的1和2，十位上放相差最大的两个数0和9，个位放剩下的两个数4和8。
生。：奇怪，有两组相邻的数，1和2，8和9。
生。：不要慌，我有办法！先保证十位相差最大，即0和9，剩下的相邻数只有1组，即1和2，放在百位就可以了。
通过调整、改编习题，让学生参与和经历数学学习活动，捕捉思考规律背后的本质，获得自我生长的力量。教师顺应学生出现的情况，逐层深人拓展，引发冲突、解决矛盾，让学生触类旁通，于无疑处生疑，有疑处思辨，解疑而提升，有效锻炼了思维的灵活性。
叶圣陶先生曾说：“教材无非是个例子。”在面对思维能力处在不断发展和提升阶段的小学生进行教学时，需要教师潜心解读教材中的习题，用心研读学生的思维发展水平，通过巧设动态演示、巧借踩出小路、巧用变式训练等有效教学路径，让习题效用最大化，引导学生算中思、思中悟、悟中通，让学生的思维更深刻、更灵活，思维品质更上一个台阶。
（责编 吴美玲）