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不等式、推理与证明是高中数学的重要内容,是分析解决有关数学问题的基础与工具,更是高考中重点考查的内容之一。考查内容中不仅考查“三基”,而且还注重考查数学逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的综合能力.特别是有关不等式的题目多数与其它章节内容及实际问题相互交叉和渗透,充分体现出不等式的知识网络具有较强的辐射作用。下面结合08、09年典型考题谈谈不等式、推理与证明问题的考点分析及解题策略。
考点一:不等关系与不等式
【典型考题1】(09四川卷理)已知a,b,c,d为实数,且c>d。则“a>b”是“a-c>b-d”的 条件。
【考点定位】考查不等式的基本性质。
【解析】:a>b推不出a-c>b-d;但a-c>b-da>b+c-d>b,故“a>b”
是“a-c>b-d”的必要而不充分条件。
【解题策略】判断不等关系时,要注意正确运用不等式的性质来解题。另外可用特殊值法。
考点二、掌握一元二次不等式及其解法
【典型考题2】(08天津卷)已知函数f(x)=x+2,x≤0-x+2,x>0,则不等式f(x)≥x2的解集是 。
【考点定位】考查解一元二次不等式的知识。
【解析】:不等式化为:x≤0x+2≥x2或x>0-x+2≥x2,得-1≤x≤0或0 【解题策略】当函数为分段函数时,解不等式也应该分段去解,但要注意求交集和求并集的区分.
【典型考题3】(09天津卷理)0(ax)2的解集中的整数恰有3个,则a的取值范围是 。
【考点定位】考查解含参数的一元二次不等式的知识。
【解析】:不等式(x-b)2>(ax)2即为(a2-1)x2+2bx-b2<0,由题意可知,它的解应在两根之间,故有a2-1>0即a>1,不等式变形为[(a-1)x+b][(a+1)x-b]<0,所以不等式的解集为-ba-102a-2 【解题策略】含参数一元二次不等式的解法,注意分类讨论思想的应用,分类时做到不遗漏,特别是当二次项系数含参数时,对二次项系数的讨论不能遗漏。
考点三:简单的线性规划
【典型考题4】(09天津卷理)设变量x,y满足约束条件:x+y≥3x-y≥-12x-y≤3.则目标函数z=2x+3y的最小值为 。
【考点定位】考查简单的线性规划求最优解问题。
【解析】:画出不等式x+y≥3x-y≥-12x-y≤3表示的可行域,如图,将目标函数变为直线y=-2x3+z3,平移该直线至过点B处,目标函数取到最小值,解方程组x+y=32x-y=3,得B(2,1),所以zmin=4+3=7,
【解题策略】解决此类问题关键是把目标函数变为直线:y=-2x3+z3,利用几何意义,将z3看作直线的纵截距,要求z的最小值,即求z3的最小值,从而只需将直线平移至过点B即可。若要求最大值,只需将直线平移至过点A即可。
考点四:基本不等式的运用
【典型考题5】(08江苏卷)已知x,y,z∈R+,x-2y+3z=0,则y2xz的最小值 .
【考点定位】考查二元基本不等式的运用.
【解析】:由x-2y+3z=0得y=x+3z2,代入得y2xz=(x+3z)24xz=14(xz+9zx+6)≥3
当且仅当x=3z时取“=”.
【解题策略】题目中有三个未知数,通过已知代数式,对所求式子消去一个未知数后,用基本不等式进行求解。一般的,当所求式子里有几个未知数时,可通过消元的思想进行破解。
【典型考题6】(09山东卷理)设x,y满足约束条件3x-y-6≤0x-y+2≥0x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则2a+3b的最小值为 。
【考点定位】本题综合考查了线性规划问题和运用基本不等式求函数最值问题.
【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z(a>0,b>0),过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,所以2a+3b=(2a+3b)2a+3b6=136+(ba+ab)≥136+2=256,
【解题策略】准确画出不等式组表示的平面区域,然后依据典型考题4的方法求得目标函数的最大值。对于形如已知2a+3b=6,求2a+3b的最小值,常用“1”的代换之后,运用基本不等式进行解答.
考点五:推理与证明
【典型考题7】在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为
【考点定位】考查类比推理
【解析】平面上的面积与体积类比得体积比为1∶8
【解题策略】这是一种需要通过类比推理方法破解的问题,此类问题主要是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同。
考点六:不等式、推理与证明和其他知识的综合运用
【典型考题8】(08江苏卷)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意的x∈-1,1都有f(x)≥0成立,则实数a的值为
【考点定位】考查不等式与函数单调性、最值的综合运用.
【解析】(1)当x=0,则不论a取何值,fx≥0显然成立;
(2)当x∈(0,1]时,≥0可化为a≥3x2-1x3,设g(x)=3x2-1x3,则g′x=31-2xx4,所以gx在区间0,12上单调递增,在区间12,1上单调递减,因此gxmax=g12=4,从而a≥4;
(3)当x∈[-1,0)时,≥0化为a≤3x2-1x3,则g′x=31-2xx4>0,所以gx在区间-1,0上单调递增,因此g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,
综上所述:a=4
【解题策略】对于求参数的取值范围问题,一般可考虑对原不等式进行实施变量分离,最终形成g(t)>(≥)f(x)或g(t)<(≤)f(x)的结构(不妨假定t是参变量).对于g(t)>(≥)f(x)恒成立,只需g(t)>(≥)f(x)max;对于g(t)<(≤)f(x)恒成立,只需g(t)<(≤)f(x)min,进而把问题转化为求函数最值问题。此类问题是高考考查的重点内容。
考点七:运用基本不等式来解决实际应用问题
【典型考题9】(09江苏卷)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a元,如果他卖出该产品的单价为m元,则他的满意度为mm+a;如果他买进该产品的单价为n元,则他的满意度为nn+a.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2,则他对这两种交易的综合满意度为h1h2.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为mA元和mB元,甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲,乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙
(1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式;当时mA=35mB,求证:h甲=h乙;
(2)设mA=35mB,当mA、mB分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?
(3)记(2)中最大的综合满意度为h0,试问能否适当选取mA、mB的值,使得h甲≥h乙和h乙≥h0同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。
【考点定位】考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。
【解析】(1)设mA=x,mB=y,则h甲=12x+12•yy+5,h乙=xx+3•20y+20
当mA=35mB,即x=35y时,
h甲=12x+12•yy+5=1235y+12•yy+5=20y(y+20)(y+5)
h乙=xx+3•20y+20=20y(y+20)(y+5),所以=h甲=h乙.
(2)当x=35y时,h甲=h乙=20y(y+20)(y+5)=20y+100y+25≤23
当且仅当y=10,x=6时,甲乙两人同时取到最大的综合满意度为23。
(3)由(2)知h0=23,
因为h甲h乙=12x+12•yy+5•xx+3•20y+20=12x+36x+15•20y+100y+25≤49
所以当h甲≥23,h乙≥23时,有h甲h乙≥49,从而h甲=23,h乙=23,
因此,不能取到mA,mB的值,使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立,但等号不同时成立。
【解题策略】解决应用题首先是将条件理清,把实际应用问题转化为纯数学问题是关键。此题第(2)、(3)问将得到的数学模型作适当变形后,运用基本不等式的知识进行求解。对于形如y=ax2+bx+ckx或y=kxax2+bx+c(a,c>0)求最值或值域时,可将该式化为y=1k(ax+cx)+bk或y=kax+cx+b,然后运用基本不等式求解。
从以上例子可以看出,高考中这部分内容主要考查不等式的基本性质、解一元二次不等式、线性规划、基本不等式应用、求参数范围等,这类题目多属于基础问题,多以小题的形式出现。解答策略可按解答小题的一般策略进行,如用:直接法、特殊值法、排除法、验证法、数形结合法等。选择方法时要注意合理、准确、快速,不要“小题大做”,要思维灵活,不拘一格,以提高解题效率;对于高考中有关不等式的解答题主要考查证明不等式、含参数的不等式恒成立问题、最值型综合题以及实际应用题等.试题寓不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、几何等问题之中,并有机融合、交互渗透,这类问题也成为高考考查数学思想方法以及数学能力的重要题型,此类题目多属于中档题甚至是难题。解答策略:证明不等式要注意化归思想的应用,要注意证明不等式的基本方法的应用,如:比较法、分析法、综合法、放缩法、数学归纳法、函数单调性法等;求参数的取值范围问题,一般考虑对原不等式实施变量分离,最终把问题转化为求函数最值问题来解决。只有准确掌握这些考点和解题策略,在高考中解决相关问题就会挥洒自如,就能稳操胜券。
考点一:不等关系与不等式
【典型考题1】(09四川卷理)已知a,b,c,d为实数,且c>d。则“a>b”是“a-c>b-d”的 条件。
【考点定位】考查不等式的基本性质。
【解析】:a>b推不出a-c>b-d;但a-c>b-da>b+c-d>b,故“a>b”
是“a-c>b-d”的必要而不充分条件。
【解题策略】判断不等关系时,要注意正确运用不等式的性质来解题。另外可用特殊值法。
考点二、掌握一元二次不等式及其解法
【典型考题2】(08天津卷)已知函数f(x)=x+2,x≤0-x+2,x>0,则不等式f(x)≥x2的解集是 。
【考点定位】考查解一元二次不等式的知识。
【解析】:不等式化为:x≤0x+2≥x2或x>0-x+2≥x2,得-1≤x≤0或0
【典型考题3】(09天津卷理)0
【考点定位】考查解含参数的一元二次不等式的知识。
【解析】:不等式(x-b)2>(ax)2即为(a2-1)x2+2bx-b2<0,由题意可知,它的解应在两根之间,故有a2-1>0即a>1,不等式变形为[(a-1)x+b][(a+1)x-b]<0,所以不等式的解集为-ba-1
考点三:简单的线性规划
【典型考题4】(09天津卷理)设变量x,y满足约束条件:x+y≥3x-y≥-12x-y≤3.则目标函数z=2x+3y的最小值为 。
【考点定位】考查简单的线性规划求最优解问题。
【解析】:画出不等式x+y≥3x-y≥-12x-y≤3表示的可行域,如图,将目标函数变为直线y=-2x3+z3,平移该直线至过点B处,目标函数取到最小值,解方程组x+y=32x-y=3,得B(2,1),所以zmin=4+3=7,
【解题策略】解决此类问题关键是把目标函数变为直线:y=-2x3+z3,利用几何意义,将z3看作直线的纵截距,要求z的最小值,即求z3的最小值,从而只需将直线平移至过点B即可。若要求最大值,只需将直线平移至过点A即可。
考点四:基本不等式的运用
【典型考题5】(08江苏卷)已知x,y,z∈R+,x-2y+3z=0,则y2xz的最小值 .
【考点定位】考查二元基本不等式的运用.
【解析】:由x-2y+3z=0得y=x+3z2,代入得y2xz=(x+3z)24xz=14(xz+9zx+6)≥3
当且仅当x=3z时取“=”.
【解题策略】题目中有三个未知数,通过已知代数式,对所求式子消去一个未知数后,用基本不等式进行求解。一般的,当所求式子里有几个未知数时,可通过消元的思想进行破解。
【典型考题6】(09山东卷理)设x,y满足约束条件3x-y-6≤0x-y+2≥0x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则2a+3b的最小值为 。
【考点定位】本题综合考查了线性规划问题和运用基本不等式求函数最值问题.
【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z(a>0,b>0),过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,所以2a+3b=(2a+3b)2a+3b6=136+(ba+ab)≥136+2=256,
【解题策略】准确画出不等式组表示的平面区域,然后依据典型考题4的方法求得目标函数的最大值。对于形如已知2a+3b=6,求2a+3b的最小值,常用“1”的代换之后,运用基本不等式进行解答.
考点五:推理与证明
【典型考题7】在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为
【考点定位】考查类比推理
【解析】平面上的面积与体积类比得体积比为1∶8
【解题策略】这是一种需要通过类比推理方法破解的问题,此类问题主要是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同。
考点六:不等式、推理与证明和其他知识的综合运用
【典型考题8】(08江苏卷)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意的x∈-1,1都有f(x)≥0成立,则实数a的值为
【考点定位】考查不等式与函数单调性、最值的综合运用.
【解析】(1)当x=0,则不论a取何值,fx≥0显然成立;
(2)当x∈(0,1]时,≥0可化为a≥3x2-1x3,设g(x)=3x2-1x3,则g′x=31-2xx4,所以gx在区间0,12上单调递增,在区间12,1上单调递减,因此gxmax=g12=4,从而a≥4;
(3)当x∈[-1,0)时,≥0化为a≤3x2-1x3,则g′x=31-2xx4>0,所以gx在区间-1,0上单调递增,因此g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,
综上所述:a=4
【解题策略】对于求参数的取值范围问题,一般可考虑对原不等式进行实施变量分离,最终形成g(t)>(≥)f(x)或g(t)<(≤)f(x)的结构(不妨假定t是参变量).对于g(t)>(≥)f(x)恒成立,只需g(t)>(≥)f(x)max;对于g(t)<(≤)f(x)恒成立,只需g(t)<(≤)f(x)min,进而把问题转化为求函数最值问题。此类问题是高考考查的重点内容。
考点七:运用基本不等式来解决实际应用问题
【典型考题9】(09江苏卷)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a元,如果他卖出该产品的单价为m元,则他的满意度为mm+a;如果他买进该产品的单价为n元,则他的满意度为nn+a.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2,则他对这两种交易的综合满意度为h1h2.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为mA元和mB元,甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲,乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙
(1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式;当时mA=35mB,求证:h甲=h乙;
(2)设mA=35mB,当mA、mB分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?
(3)记(2)中最大的综合满意度为h0,试问能否适当选取mA、mB的值,使得h甲≥h乙和h乙≥h0同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。
【考点定位】考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。
【解析】(1)设mA=x,mB=y,则h甲=12x+12•yy+5,h乙=xx+3•20y+20
当mA=35mB,即x=35y时,
h甲=12x+12•yy+5=1235y+12•yy+5=20y(y+20)(y+5)
h乙=xx+3•20y+20=20y(y+20)(y+5),所以=h甲=h乙.
(2)当x=35y时,h甲=h乙=20y(y+20)(y+5)=20y+100y+25≤23
当且仅当y=10,x=6时,甲乙两人同时取到最大的综合满意度为23。
(3)由(2)知h0=23,
因为h甲h乙=12x+12•yy+5•xx+3•20y+20=12x+36x+15•20y+100y+25≤49
所以当h甲≥23,h乙≥23时,有h甲h乙≥49,从而h甲=23,h乙=23,
因此,不能取到mA,mB的值,使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立,但等号不同时成立。
【解题策略】解决应用题首先是将条件理清,把实际应用问题转化为纯数学问题是关键。此题第(2)、(3)问将得到的数学模型作适当变形后,运用基本不等式的知识进行求解。对于形如y=ax2+bx+ckx或y=kxax2+bx+c(a,c>0)求最值或值域时,可将该式化为y=1k(ax+cx)+bk或y=kax+cx+b,然后运用基本不等式求解。
从以上例子可以看出,高考中这部分内容主要考查不等式的基本性质、解一元二次不等式、线性规划、基本不等式应用、求参数范围等,这类题目多属于基础问题,多以小题的形式出现。解答策略可按解答小题的一般策略进行,如用:直接法、特殊值法、排除法、验证法、数形结合法等。选择方法时要注意合理、准确、快速,不要“小题大做”,要思维灵活,不拘一格,以提高解题效率;对于高考中有关不等式的解答题主要考查证明不等式、含参数的不等式恒成立问题、最值型综合题以及实际应用题等.试题寓不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、几何等问题之中,并有机融合、交互渗透,这类问题也成为高考考查数学思想方法以及数学能力的重要题型,此类题目多属于中档题甚至是难题。解答策略:证明不等式要注意化归思想的应用,要注意证明不等式的基本方法的应用,如:比较法、分析法、综合法、放缩法、数学归纳法、函数单调性法等;求参数的取值范围问题,一般考虑对原不等式实施变量分离,最终把问题转化为求函数最值问题来解决。只有准确掌握这些考点和解题策略,在高考中解决相关问题就会挥洒自如,就能稳操胜券。