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一、含参数的一元二次不等式的解题方法举例.
例1 解下列不等式
(1)ax2-2a+1x+2<0
(2)(m+1)x2-4x+1≤0
解(1)原不等式可化为ax-1x-2<0
当a=0时,不等式可化为x>2;
当a>0时,不等式可化为x-1ax-2<0
当1a<2即a>12时,1a 当1a>2即0 当1a=2即a=12时,不等式无解;
当a<0时,不等式可化为x-1ax-2>0;
此时x<1a或x>2
综上得①当a=0时,解集为2,+∞
②当0 ③当a=12时,解集为
④当a>12时,解集为1a,2
⑤当a<0时,解集为-∞,1a∪2,+∞
(2)解:当m+1=0即m=-1时,x≥14;
当m+1≠0即m≠-1时,对应一元二次方程(m+1)x2-4x+1=0中的Δ=16-4m+1=43-m>0得m<3.于是当-13时,x∈;当m<-1时,x≤2+3-mm+1或x≥2-3-mm+1;
综上得①当m<-1时,解集为-∞,2+3-mm+1∪2-3-mm+1,+∞;
②m=-1时,解集为14,+∞;
③当-1 ④m=3时,解集为12;
⑤m>3时,解集为.
注:解题中首先要按二次项系数进行第一次分类,然后按对应的一元二次方程根的大小与存在与否进行二次分类,结论要有序完整.
练习:(1)ax2-a+1x+1≤0
(2)56x2-ax-a2<0
(3)x-mx-m2>0
(4)x2-a+1ax+1<0
二、利用一元二次不等式的解集,求解末知的不等式举例.
例2 已知不等式ax2+bx+2>0的解是-12<x<13,求2x2+bx+a<0的解集.
解:由题意得a<0-ba=-12+132a=-12×13a=-12b=-2,于是不等式为2x2-2x-12<0,即-2 注:这里关键是根据已知的解集来确定二次项系数的正负及系数间的关系,从而让末知不等式变成已知不等式.
练习:已知不等式ax2+bx+c>0的解集是x|α
三、函数定义域值域中含参数一元二次不等式求解举例.
例3 (1)函数y=lgx2-2x+a的定义域是R,则实数a的取值范围是 .
(2)函数y=lgx2-5x-b的值域是R,则b的取值范围是 .
(3)关于x的代数式kx2-kx-1的值恒为负值,则k的取值范围是 .
解:(1)由题意x2-2x+a>0对x∈R恒成立,则Δ=4-4a<0得a>1,所以a的取值范围是1,+∞.
(2)由题意x2-5x-b要取遍所有正数,即u=x2-5x-b与x轴有交点,Δ=25+4b≥0,b≥-254,所以b的取值范围是-254,+∞.
(3)由题意即kx2-kx-1<0对x∈R恒成立,当k=0时不等式为-1<0成立;当k<0时,有Δ=k2+4k<0得-4 练习:(1)若函数f(x)=x+1kx2+4kx+3的定义域是R,求实数k的取值范围.
(2)已知关于x的不等式k2+4k-5x2+41-k+3>0的解集是R,求实数k的取值范围.
四、含参数的一元二次不等式综合应用举例.
例4 已知函数y=fx在定义域-∞,1上是减函数,问是否存在实数,使不等式fk-sinx≥fk2-sin2x对一切x恒成立.
解因为函数y=fx在定义域-∞,1上是减函数,所以有k-sinx≤k2-sin2x≤1对x∈R恒成立,即k2-k≥sin2x-sinxk2≤1+sin2x,
sin2x-sinx=sinx-122-14的最大值是2,1+sin2x的最小值是1,于是有k2-k≥2k2≤1即k≤-1或k≥2-1≤k≤1,所以k=-1.
练习:定义在-∞,3上的减函数fx使得fa2-sinx≤fa+1+cos2x对一切x∈R成立,求实数的取值范围.
五、含参数的一元二次不等式组解法举例.
例5 设集合A=x|x2-4x+3<0,集合B是关于不等式组x-2x+a-8≤0x2-2ax+5≤0的解集,若AB,试确定a的取值范围.
解:A=x|1 练习:关于x的不等式组x2-x-2<02x2+2k+5+5k<0的整数解的集合是-2,求实数k的取值范围.
关于含参数的一元二次不等式只要注意二次项系数的情况(正负零),对应一元二次方程的根的情况,对应二次函数的图象与x轴交点的情况,加强三者之间的比较与联系,问题会变得简单.
例1 解下列不等式
(1)ax2-2a+1x+2<0
(2)(m+1)x2-4x+1≤0
解(1)原不等式可化为ax-1x-2<0
当a=0时,不等式可化为x>2;
当a>0时,不等式可化为x-1ax-2<0
当1a<2即a>12时,1a
当a<0时,不等式可化为x-1ax-2>0;
此时x<1a或x>2
综上得①当a=0时,解集为2,+∞
②当0
④当a>12时,解集为1a,2
⑤当a<0时,解集为-∞,1a∪2,+∞
(2)解:当m+1=0即m=-1时,x≥14;
当m+1≠0即m≠-1时,对应一元二次方程(m+1)x2-4x+1=0中的Δ=16-4m+1=43-m>0得m<3.于是当-1
综上得①当m<-1时,解集为-∞,2+3-mm+1∪2-3-mm+1,+∞;
②m=-1时,解集为14,+∞;
③当-1
⑤m>3时,解集为.
注:解题中首先要按二次项系数进行第一次分类,然后按对应的一元二次方程根的大小与存在与否进行二次分类,结论要有序完整.
练习:(1)ax2-a+1x+1≤0
(2)56x2-ax-a2<0
(3)x-mx-m2>0
(4)x2-a+1ax+1<0
二、利用一元二次不等式的解集,求解末知的不等式举例.
例2 已知不等式ax2+bx+2>0的解是-12<x<13,求2x2+bx+a<0的解集.
解:由题意得a<0-ba=-12+132a=-12×13a=-12b=-2,于是不等式为2x2-2x-12<0,即-2
练习:已知不等式ax2+bx+c>0的解集是x|α
三、函数定义域值域中含参数一元二次不等式求解举例.
例3 (1)函数y=lgx2-2x+a的定义域是R,则实数a的取值范围是 .
(2)函数y=lgx2-5x-b的值域是R,则b的取值范围是 .
(3)关于x的代数式kx2-kx-1的值恒为负值,则k的取值范围是 .
解:(1)由题意x2-2x+a>0对x∈R恒成立,则Δ=4-4a<0得a>1,所以a的取值范围是1,+∞.
(2)由题意x2-5x-b要取遍所有正数,即u=x2-5x-b与x轴有交点,Δ=25+4b≥0,b≥-254,所以b的取值范围是-254,+∞.
(3)由题意即kx2-kx-1<0对x∈R恒成立,当k=0时不等式为-1<0成立;当k<0时,有Δ=k2+4k<0得-4
(2)已知关于x的不等式k2+4k-5x2+41-k+3>0的解集是R,求实数k的取值范围.
四、含参数的一元二次不等式综合应用举例.
例4 已知函数y=fx在定义域-∞,1上是减函数,问是否存在实数,使不等式fk-sinx≥fk2-sin2x对一切x恒成立.
解因为函数y=fx在定义域-∞,1上是减函数,所以有k-sinx≤k2-sin2x≤1对x∈R恒成立,即k2-k≥sin2x-sinxk2≤1+sin2x,
sin2x-sinx=sinx-122-14的最大值是2,1+sin2x的最小值是1,于是有k2-k≥2k2≤1即k≤-1或k≥2-1≤k≤1,所以k=-1.
练习:定义在-∞,3上的减函数fx使得fa2-sinx≤fa+1+cos2x对一切x∈R成立,求实数的取值范围.
五、含参数的一元二次不等式组解法举例.
例5 设集合A=x|x2-4x+3<0,集合B是关于不等式组x-2x+a-8≤0x2-2ax+5≤0的解集,若AB,试确定a的取值范围.
解:A=x|1
关于含参数的一元二次不等式只要注意二次项系数的情况(正负零),对应一元二次方程的根的情况,对应二次函数的图象与x轴交点的情况,加强三者之间的比较与联系,问题会变得简单.