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【摘要】本文从等分曲线中，转换的一类特殊的二元14次代数方程组，应用公式求解和验证。
【关键词】数字几何分角模型 数字方程曲线模型 二元14次方程组 配套求解公式 配套检验公式
引言：
在新提出的演变公理体系的基础上，用两个分式恒等式，转换为两类几何数字分角模型。与数字相关的分角演变图形，其轨迹点通过抽象的自动演化而产生的等分方程曲线，当取数字n=3，m=-2时可转换为二元14次方程组，且具有配套求解公式和检验公式。在前面已发表的文章中，有相关的下列公式：
（1）B型数字几何分角模型：（n，m∈Z，且n≠0，-1 ）
分式恒等式：n+m2nα=α-[n-m2（n+1）α+n-m2n（n+1）α] （α称为被分角，α=α1+360°i ） ①
设其中：分角θ=n+m2nα ，比例角β=n-m2（n+1）α ，基础角ω=n-m2n（n+1）α
（2） 型：方程曲线模型及求解、检验的配套公式：
（3）B型方程曲线的周期公式：
曲线被分角的周期Tα=|n（n+1）n-m|（2π）该式为整数时成立，其分角为Tθ=n+m2nTα；若该式为分数时，则用公式：Tα′=|n（n+1）|b（2π）；分角周期为Tθ′=n+m2nTa′，（ 为分数的最简公约数） ⑤
（4）综合坐标系：是直角坐标系与极坐标系相组合的坐标系， 极点重合于原点，极轴重合于x的正半轴，使用统一的单位长度，逆时针旋转为角的正方向。该坐标系又称为分角坐标系。
1.当取数字n=3，m=-2 时的分角演变起点图形：
（1）角的相互比例关系：
将数字代入①得：分角θ=n+m2nα=16α，（α称为被分角），比例角：β=n-m2（n+1）α=58α，基础角：ω=1nβ=n-m2n（n+1）α=524α .
（2）起点图形的建构：现以数字角度为例，建构图形如图1所示：在平面综合坐标系上，以中心原点O为圆心，以平面上的任意点B（x，y）到点O的距离为半径（OB=r）作圆，该圆称为分圆。分圆交x轴的正半轴于点A ，以OA为始边，到终边OB的角为被分角，设α=120° ，过点O作分线MN，由上述角的比例关系，分角θ=16α=20° （分角是以OA为始边，旋转到终边OF的角），过点B作比例线PQ，比例角β=58α=75° （比例角是以BP为始边，旋转到BO为终边的角），分线与比线相交于M1，由分角理论在分线和比线中，必镶嵌着n个演变相邻等腰三角形（！BOC，！OCD，！CDM），这就构成了六分之一的分角演变起点图形。
2.演变图形及其函数曲线：将数字n=3，m=-2代入周期公式⑤得：Tα=|n（n+1）|b（2π）=12（2π） ，Tθ=n+m2n12（2π）=2（2π），这就是说，被分角终边上的点B，以起点图形为起点，在分圆上逆时针地连续移动，牵动着图形不断发生形状、大小和位置的变化，镶嵌在分线和比线中各三角形的顶点分别在两线上移动，按照演变公理演变图形在运动中始终保持起点图形中各角的比例关系，其轨迹点M到中心点O的距离，用数字（n=3，m=-2）代入方程曲线公式，得OM=ρ=-r（2cos52θ+1） .按照角的变化规律，当B点在分圆上运行十二周（即24π ）时，分角相应地运行两周即θ=4π ，轨迹点M就作出图2的方程曲线（该曲线也可在极坐标中，以分角θ为自变量，矢径ρ为函数，通过列表，描点，连线的方法作出）。
3.函数曲线的代数方程式：应用转换公式：x=ρcosθ，y=ρsinθ， ρ=x2+y2……等，可将极式方程式： ρ=-r（2cos52θ+1）转换为代数方程式（转换过程略）得：
4.给定方程组的求解：
二元14次方程组的求解：由坐标平面上的任意一点（r，α），就可组成二元14次给定方程组，并通过配套求解公式，就可求出14组解（其中，12组主解，2组副解）。再通过公式进行验证。
例1：若取 ；求下列给定方程组的解并用比线方程进行检验。
解：由求解公式③和检验公式④得：
以上12组解，称为主解。它是由绕中心旋转分线上的轨迹点M（xi+1，yi+1） ，按照其分角的连续变化在分线上的移动，使动点M 到定点O 的距离，始终满足于分角函数解析式的特点，从而产生方程曲线。12组解，则是图中旋转的比例线与方程曲线的相交点，因此它既满足于曲线的代数方程，又满足于旋转着的比例线方程。另两组解，称为副解，它是由曲线经过x轴而产生，因为，等分方程曲线是由分线和比线的交点M（x，y） 的运行轨迹而形成，所以寻找副解，一般在分角周期内，将分线重合于x轴（即θ为180° 的倍数），再由极式方程式ρ=-r（2cos52θ+1） 求出。
副解：（即：y=0）
解点M（2，-23） ，以此解点直接代入代数方程进行检验：将方程组中的⑥式F（x14，y14） =0分为三组，得：
方程的左边=右边，解（2，-23）满足于二元14次代数方程。
结论：
本文以有理数集的元素16 为分角系数，描述将数字代入分角曲线模型，获得曲线的方程式，再结合比线旋转轴，组成二元方程组，并公式求解、检验等。充分说明：这无数个特殊的二元高次方程的产生是有规律的，同时证明运用公式求解，是简洁而精确的。有理数是无限的，通过模型而产生的分角演变图形等，更是无穷无尽的。若随其数字的有序取值，曲线和方程，都由简单到复杂，由低层次到高层次无限发展着。
参考文献
[1] 米家鑫，米昌明.《方程与曲线论[21]-几何演变形论》，《中华创新教育》中国（香港）联合商务机构有限公司，2005，第一期，21-24.
[2] 米家鑫，米昌明.方程与曲线论[22]，图形，曲线，方程的数字模型，《教育改革与发展》香港科技联合出版社，2005，06，第三期，7-11.
[3] 米家鑫，米昌明.方程与曲线论[23]演变公理体系，《科技促进发展》编辑部，2007年8月第8期，13-21.
[4] 米家鑫.方程与曲线论[16]等分方程定理（ 型），贵州师范大学学报（自然科学版）2000.18（3）52-54.
[5] 米家鑫.方程与曲线论[17]等分方程定理（ 型），贵州师范大学学报（自然科学版）2000.20（1）74-77.
【关键词】数字几何分角模型 数字方程曲线模型 二元14次方程组 配套求解公式 配套检验公式
引言：
在新提出的演变公理体系的基础上，用两个分式恒等式，转换为两类几何数字分角模型。与数字相关的分角演变图形，其轨迹点通过抽象的自动演化而产生的等分方程曲线，当取数字n=3，m=-2时可转换为二元14次方程组，且具有配套求解公式和检验公式。在前面已发表的文章中，有相关的下列公式：
（1）B型数字几何分角模型：（n，m∈Z，且n≠0，-1 ）
分式恒等式：n+m2nα=α-[n-m2（n+1）α+n-m2n（n+1）α] （α称为被分角，α=α1+360°i ） ①
设其中：分角θ=n+m2nα ，比例角β=n-m2（n+1）α ，基础角ω=n-m2n（n+1）α
（2） 型：方程曲线模型及求解、检验的配套公式：
（3）B型方程曲线的周期公式：
曲线被分角的周期Tα=|n（n+1）n-m|（2π）该式为整数时成立，其分角为Tθ=n+m2nTα；若该式为分数时，则用公式：Tα′=|n（n+1）|b（2π）；分角周期为Tθ′=n+m2nTa′，（ 为分数的最简公约数） ⑤
（4）综合坐标系：是直角坐标系与极坐标系相组合的坐标系， 极点重合于原点，极轴重合于x的正半轴，使用统一的单位长度，逆时针旋转为角的正方向。该坐标系又称为分角坐标系。
1.当取数字n=3，m=-2 时的分角演变起点图形：
（1）角的相互比例关系：
将数字代入①得：分角θ=n+m2nα=16α，（α称为被分角），比例角：β=n-m2（n+1）α=58α，基础角：ω=1nβ=n-m2n（n+1）α=524α .
（2）起点图形的建构：现以数字角度为例，建构图形如图1所示：在平面综合坐标系上，以中心原点O为圆心，以平面上的任意点B（x，y）到点O的距离为半径（OB=r）作圆，该圆称为分圆。分圆交x轴的正半轴于点A ，以OA为始边，到终边OB的角为被分角，设α=120° ，过点O作分线MN，由上述角的比例关系，分角θ=16α=20° （分角是以OA为始边，旋转到终边OF的角），过点B作比例线PQ，比例角β=58α=75° （比例角是以BP为始边，旋转到BO为终边的角），分线与比线相交于M1，由分角理论在分线和比线中，必镶嵌着n个演变相邻等腰三角形（！BOC，！OCD，！CDM），这就构成了六分之一的分角演变起点图形。
2.演变图形及其函数曲线：将数字n=3，m=-2代入周期公式⑤得：Tα=|n（n+1）|b（2π）=12（2π） ，Tθ=n+m2n12（2π）=2（2π），这就是说，被分角终边上的点B，以起点图形为起点，在分圆上逆时针地连续移动，牵动着图形不断发生形状、大小和位置的变化，镶嵌在分线和比线中各三角形的顶点分别在两线上移动，按照演变公理演变图形在运动中始终保持起点图形中各角的比例关系，其轨迹点M到中心点O的距离，用数字（n=3，m=-2）代入方程曲线公式，得OM=ρ=-r（2cos52θ+1） .按照角的变化规律，当B点在分圆上运行十二周（即24π ）时，分角相应地运行两周即θ=4π ，轨迹点M就作出图2的方程曲线（该曲线也可在极坐标中，以分角θ为自变量，矢径ρ为函数，通过列表，描点，连线的方法作出）。
3.函数曲线的代数方程式：应用转换公式：x=ρcosθ，y=ρsinθ， ρ=x2+y2……等，可将极式方程式： ρ=-r（2cos52θ+1）转换为代数方程式（转换过程略）得：
4.给定方程组的求解：
二元14次方程组的求解：由坐标平面上的任意一点（r，α），就可组成二元14次给定方程组，并通过配套求解公式，就可求出14组解（其中，12组主解，2组副解）。再通过公式进行验证。
例1：若取 ；求下列给定方程组的解并用比线方程进行检验。
解：由求解公式③和检验公式④得：
以上12组解，称为主解。它是由绕中心旋转分线上的轨迹点M（xi+1，yi+1） ，按照其分角的连续变化在分线上的移动，使动点M 到定点O 的距离，始终满足于分角函数解析式的特点，从而产生方程曲线。12组解，则是图中旋转的比例线与方程曲线的相交点，因此它既满足于曲线的代数方程，又满足于旋转着的比例线方程。另两组解，称为副解，它是由曲线经过x轴而产生，因为，等分方程曲线是由分线和比线的交点M（x，y） 的运行轨迹而形成，所以寻找副解，一般在分角周期内，将分线重合于x轴（即θ为180° 的倍数），再由极式方程式ρ=-r（2cos52θ+1） 求出。
副解：（即：y=0）
解点M（2，-23） ，以此解点直接代入代数方程进行检验：将方程组中的⑥式F（x14，y14） =0分为三组，得：
方程的左边=右边，解（2，-23）满足于二元14次代数方程。
结论：
本文以有理数集的元素16 为分角系数，描述将数字代入分角曲线模型，获得曲线的方程式，再结合比线旋转轴，组成二元方程组，并公式求解、检验等。充分说明：这无数个特殊的二元高次方程的产生是有规律的，同时证明运用公式求解，是简洁而精确的。有理数是无限的，通过模型而产生的分角演变图形等，更是无穷无尽的。若随其数字的有序取值，曲线和方程，都由简单到复杂，由低层次到高层次无限发展着。
参考文献
[1] 米家鑫，米昌明.《方程与曲线论[21]-几何演变形论》，《中华创新教育》中国（香港）联合商务机构有限公司，2005，第一期，21-24.
[2] 米家鑫，米昌明.方程与曲线论[22]，图形，曲线，方程的数字模型，《教育改革与发展》香港科技联合出版社，2005，06，第三期，7-11.
[3] 米家鑫，米昌明.方程与曲线论[23]演变公理体系，《科技促进发展》编辑部，2007年8月第8期，13-21.
[4] 米家鑫.方程与曲线论[16]等分方程定理（ 型），贵州师范大学学报（自然科学版）2000.18（3）52-54.
[5] 米家鑫.方程与曲线论[17]等分方程定理（ 型），贵州师范大学学报（自然科学版）2000.20（1）74-77.